C．卫星在从A点经轨道2运动到B点的时间为
D．卫星由圆轨道1调整到同步轨道3上，只需要加速一次即可
九、“航天器对接”模型
航天器对接是指两个航天器(宇宙飞船、航天飞机、空间站等) 在太空轨道会合并连接成一个整体，它是实现太空装配、补 给、维修、航天员交换等过程的先决条件，空间交会对接技 术包括两部分相互衔接的空间操作，即空间交会和空间对接， 所谓交会是指两个航天器在轨道上按预定位置和时间相会， 而对接则是两个航天器相会后在结构上连成一个整体.
2018年5月21日，我国发射人类首颗月球中继卫星“鹊桥”，6月14日进入使命轨 道——地月拉格朗日L2轨道，为在月球背面着陆的“嫦娥四号”与地球站之间提供 通信链路。12月8日，我国成功发射“嫦娥四号”探测器，并于2019年1月3日成功 着陆于月球背面，通过中继卫星“鹊桥”传回了月背影像图，如图1所示，揭开了 古老月背的神秘面纱。如图2所示，假设“鹊桥”中继卫星在拉格朗日点L2时，与 月、地两个大天体保持相对静止。设地球的质量为月球的k倍，地月间距为L，拉格 朗日点L2与月球间距为d。地球、月球和“鹊桥”中继卫星均视为质点，忽略太阳
设卫星1(离地球近些)与卫星2某时刻相距最近，如果经过时间t两卫星与 地心连线半径转过的角度相差2π的整数倍，则两卫星又相距最近，即：
t T1
t T2
nn
1,2,3.... 1t 2t
2n (n 1、2、3……)
如果经过时间，两卫星与地心连线半径转过的角度相差2π的奇数倍，则 两卫星相距最远，即：
三、“同步卫星”模型
地球同步卫星是位于赤道上方，相对于地面静止不动的一种人造卫星，主要用于全 球通信和转播电视信号，同步卫星在赤道上空一定高度环绕地球运动也属于“中心天 体—环绕天体”模型，同步卫星具有四个一定:
①定轨道平面:轨道平面与赤道平面共面.
②定运行周期:与地球的自转周期相同，即 T=24h
A．10π 5R－6π 3R B．6π 3R－4π 2R
g
g
g
g
C．10π 5R－2π R D．6π 3R－2π R
【解析】 设此时火箭升空高度为h，此处重力加速度为g’，对火箭内测 试仪平台上的小物体，应用牛顿第二定律，有
F mg ' ma
根据万有引力定律，有
所以有
g
'
G
M r2
1 r2
g' g
R2 (R h)2
将 a g ，F 17 mg 代入上式解得 h R
2
16
3
六、“星体自转不解体”模型
“星体自转不解体”模型指星球表面上的物体随星 球自转而绕自转轴(某点)做匀速圆周运动，其特点为:
③定运行高度: 由 G Mm m(R h)(2 )2
(R h)2
T
得同步卫星离地面的高度为：h
3
GMT 2 4 2
R 3.6104 km
④定运行速率：v GM 3.0km/s
r
一颗同步卫星可以覆盖地球大约40%的面积，若在此轨道上均匀分布3颗通信卫星， 即可实现全球通信(两极有部分盲区)，为了卫星之间不相互干扰，相邻两颗卫星对地心 的张角不能小于30，这样地球的同步轨道上至多能有120颗通信卫星，可见，空间位置 也是一种资源.
解答两个航天器的交会对接问题，其实质仍然是航天器 的变轨运行问题，即根据圆周运动的向心力“供”和“求” 关系进行分析.
【例21】如图所示，m1、m2两颗一前一后在同一轨道上绕地球做 匀速圆周运动的卫星，试述用何种方法可使卫星m2追上前面的卫 星m1?
如图所示为某飞船从轨道Ⅰ经两次变轨绕火星飞行的轨迹图，其中轨道Ⅱ为圆轨道， 轨道Ⅲ为椭圆轨道，三个轨道相切于P点，P、Q两点分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和 近火星点，S是轨道Ⅱ上的点，P、Q、S三点与火星中心在同一直线上，且PQ＝2QS，
mr 2
mr ( 2 T
)2
式中 M 为中心天体的质量，m 为环绕天体的质量，an、v、、T 分别表示环绕天体
做圆周运动的向心加速度、线速度、角速度和周期，根据问题的特点条件，灵活 选用的相应的公式进行分析求解. 此类模型所能求出的物理量也是最多的，
（1）对中心天体而言，可求量有两个:
①质量：M
4 2r3 GT 2
r2
(3)可求第一宇宙速度
物体在地球表面附近环绕地球运转，其实就是“中心天体-圆周轨道”模型。求第 一宇宙速度有两种方法:
①由
G
Mm R2
m
v2 R
得 v
GM R
②由
mg
G
Mm R2
得 v gR
其他星球的第一宇宙速度计算方法同上，M 为该星球的质量, R 为该星球的半径， g 为该星球表面的重力加速度，依据已知条件，灵活选用计算公式.
【解析】以赤道上的物体为研究对象，由于天体自转使物体对天体表面压力恰 好为零，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
G
Mm R2
m( 4 T
)2 R,
M 4 R3
3
解得： T 3
G
所以选D.
七、“双星”模型
如何确定双星的旋转中心？
宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统.它们 以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着 某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周 期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么， 这双星系统中两颗恒星的质量关系是( BCD ) A.这两颗恒星的质量必定相等 B.这两颗恒星的质量之和为 C.这两颗恒星的质量之比为m1∶m2=R2∶R1 D.必有一颗恒星的质量为
五、“地球自转忽略”模型
在地球表面，分析计算表明:物体在赤道上所受的向心力最大， 也才是地球引力的0.34%，故通常情形可忽略地球的自转效应， 近似地认为质量为m的物体重力等于所受的地球引力，即
Mm mg G
R2
所以，地表附近的重力加速度为
g
GM R2
利用这一思路，我们可推出“黄金代换式”GM gR2
如图所示，A为地球同步卫星，B为运行轨道比A低 的一颗卫星，C为地球赤道上某一高山山顶上的一 个物体，两颗卫星及物体C的质量都相同，关于它 们的线速度、角速度、运行周期和所受到的万有引 力的比较，下列关系式正确的是（ AD ）
A. vB>vA>vC B. ωA>ωb>ωC C. FA>FB>FC D. TA=TC>TB
总结万有引力与航天模型
白杨
航空航天与宇宙探测是现代科技中的重点内容，也是高考理综物 理命题的热点内容，所涉及到的知识内容比较抽象，习题类型较 多，不少学生普遍感觉到建模困难，导致解题时找不到切入点， 下面就本模块不同类型习题的建模与解题方法做一归类分析.
一、“椭圆轨道”模型
“椭圆轨道” 模型 指行星(卫星)的运动轨道为椭圆，恒星(或 行星)位于该椭圆轨道的一个焦点上，由于受数学如识的限制， 此类模型适宜高中生做的题目不多，所用知识为开普勒第二、 三定律及椭圆轨道的对称性.
②密度： 3 r3
GT 2R3
特殊地，当环绕天体为近地卫星时( R r )，有:
3 GT 2
(2)对环绕天体而言，可求量有六个:
①线速度 v GM
r
②角速度 GM r3
③周期 T 4 2r3 GM
GM
④向心加速度 an r2
Mm
⑤向心力 F G r2
⑥轨道所在处的向心加速度 g ' GM
若物体在距地面h高处，则有
Mm mg ' G
(R h)2
所以，在距地面高处的重力加速度为
g'
GM (R h)2
R2 (R h)2
g
【例11】“神舟”六号飞船发射升空时，火箭内测试仪平台上放一个压力传 感器，传感器上面压着一个质量为m的物体，火箭点火后从地面向上加速升 空，当升到某一高度时，加速度为g/2，压力传感器此时显示出物体对平台 的压力为点火前压力的17/16，已知地球的半径为R, 地面附近的重力加速度 为g，试求此时火箭离地面的高度.
已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍．若某行星 的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的 高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为（ B ）
A小时
四、“天体相遇”模型
两天体(行星、卫星或探测器)相遇，实际上是指两天体相距最 近，若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与 中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧时相距近，两 环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的异侧时 则相距最远.
A．2003年8月29日，火星的线速度大于地球的线速度 B．2003年8月29日，火星的加速度大于地球的加速度 C．2004年8月29日，必将产生下一个“火星冲日” D．火星离地球最远时，火星、太阳、地球三者必在一条直 线上
若金星和地球的公转轨道均视为圆形，且在同一平 面内，如图所示．在地球上观测，发现金星与太阳 可呈现的视角（太阳与金星均视为质点，它们与眼 睛连线的夹角）有最大值，最大视角的正弦值为k， 则金星的公转周期为（ D ）
八、“卫星变轨”模型
解答这一模型的有关问题，可根据圆周运动的向心力供求平 衡关系进行分析求解:
①若 F供 F求，供求平衡--物体做匀速圆周运动. ②若 F供 F求，供不应求--物体做离心运动. ③若 F供 F求 ，供过于求--物体做向心运动.
2018年12月9日2时28分高分五号卫星在太原卫星发射中心用长征四号丙运载 火箭发射升空。该卫星首次搭载了大气痕量气体差分吸收光谱仪、主要温室 气体探测仪、大气多角度偏振探测仪等，是实现高光谱分辨率对地观测的标 志。高分五号卫星由半径为RA的圆轨道1经椭圆轨道2变轨到同步轨道3时的情 况如图所示，已知高分五号卫星在轨道1上运行的周期为T1，已知地球半径 R0<RA，引力常量为G，则下列说法正确的是（ C ） A．地球的平均密度为3π/GT12 B．在轨道3上稳定运行时，卫星每天可两次经过地表上同一点的正上方