Sn2

an
(Sn

1 ), 2
an Sn Sn1
∴ Sn2

(Sn

Sn 1 )(Sn

1) 2

1 2
(Sn1

Sn )

Sn Sn 1
递
1 1 2
推
Sn Sn1
∴数列
∴1
Sn
1

S
n


是以
1

S1
1 2(n S1

1)
1首项，2为公差的等差数列
2n 1 即
而 a6k 1 a6k 2 a6k 3 a6k4 a6k 5 a6k 6 0
∴ S 2002 (a1 a2 a3 a6 ) (a7 a8 a12 ) (a6k1 a6k2 a6k6 )
等差数列求和公式：S n

n(a1 an ) 2

na1

n(n 1) d 2
等比数列求和公式：Sn


na1 a1 (1
q
n
)
1 q

a1 anq 1 q
(q 1) (q 1)
知识回顾：公式法求和
一些常用的求和公式:
Sn 1 2 3 n
n(n 1) 2

1 2
(1

1 2n
1 1
)

n 2n1
2
Sn

2(1
1 2n

n 2n1
)
2
1 2n1

n 2n
利用数列周期性求和
有的数列是周期数列，把握了数列的周期则可顺利求和.关 键之处是寻找周期。
例6：在数列 an 中， a1 1, a2 3, a3 2, an2 an1 an
a2 a4 a2n
解：首先由
S10
10a1
10 9 d 2
145 d
3
则
an a1 (n 1)d 3n 2 a2n 3 2n 2
∴ a2 a4 a2n 3(2 22 2n ) 2n
3 2 (1 2n ) 2n 3 2n1 2n 6 1 2
Sn

1 2n 1
法
数列求和法小结
公式法求和
分组求和法
倒序相加法
裂项相消法
错位相减法
周期法求和
其它方法:递推法、合并法
课件设计与制作：徐文才
陆川县中学
再见
2
f (5) f (4) f (5) f (6)
的值为 3 2 。
【解析】∵ f (x) 1
2x 2
∴ f (1 x) 1 2x 21x 2 2 2 2x
1 2x 2
2 2x
1 1 2x
∴ f (x) f (1 x) 2 2
而且S2k1 S2k a2k 2k (4k 1) 2k 1 (2k 1) 法
Sn (1)n n
其它方法求和
例8：已知数列 an
的前n项和
S
与
n
a
n满足：a
n
,
S
n
,
S
n

1 2
(n 2)成等比数列，且 a1 1，求 S n
解：由题意：
分组法求和
练习：求数列 n 2n 的前n项和。
答案： n(n 1) 2n1 2 2
倒序法求和
倒序相加法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式 相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，这 样的数列可用倒序相加法求和。
倒序法求和
例3.若 f (x) 1
2x
，则
解：设 Sn 1 3 5 (1)n (2n 1)
合
当n为偶数时，设n=2k，则
并
S2k 1 3 5 [(4k 3)] (4k 1)
求
(1 3) (5 7) [(4k 3) (4k 1)]
和
2k
数列求和法
数列求和是数列的重要内容之一，数列求和是 数学中的一种常见题型，除了等差数列和等比数列 用求和公式求和外，还有一些数列的求和需要用到 其他的方法. 下面对数列的求和方法做一个小结。
知识回顾：公式法求和
直接求和法:如等差数列和等比数列均可直接套
用公式求和,这种方法也叫公式法. 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最 重要的方法.
错位相减法
例5、求数列
{n

1 2n
}
的前n项和
解：
Sn
1
1 2

2
1 4
3
1 8

n
1 2n
①
1 2
Sn

1
1 4

2

1 8

3
1 16



(n
1)

1 2n

n

1 2n1
②
两式相减：1 2
Sn

1 2

1 4

1 8

1 2n

n
1 2n1
∴ 1 1
1
1 4 4 7
(3n 2)(3n 1)
1 [(1 1) (1 1) ( 1 1 )]
3 4 47
3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
错位相减法
错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列 对应项相乘得的新数列求和，此法即为等比数列求 和公式的推导方法.

log3
2

log 3
1 2
x1 2
∴x x2 xn 1 (1)2 (1)n
22
2

1 [1 (1 )n ] 22
1 1
1
1 2n
2
分组法求和
分组法求和：把数列的每一项分成几项，使其转化为几个等 差、等比数列，再求和.
例2 已知等差数列 an 的首项为1，前10项的和为145，求
Sn 1 3 5 (2n 1) n2
Sn 2 4 6 2n n2 n
Sn
12

22

n2

1 6
n(n 1)(2n
1)
知识回顾：公式法求和
例1：求和：
解：①当a 0时，Sn b n
②当a 0且 b 0 时，Sn an
n(n 2) 2 n n 2
n1 n
裂项法求和
例4：求数列1, 1 , 1 , 1 ,,
1
,(n N*)
12 123 1234 123n
的前n项和
提示： an

1
2
1
n

2 n(n 1)Leabharlann 2( 1 n
1) n 1
Sn

2[1
1 2
2x 2 2
裂项法求和
所谓”裂项法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相邻的 两 项彼此相消,就可以化简后求和.
一些常用的裂项公式:
(1)
1
nn 1

1 n

n
1
1
(2)
(2n
1
1)2n
1

1 2
(
1 2n 1

1) 2n 1
(3) 1 1 (1 1 ) (4)
1
n1 n
求 S 2002
解：由 a1 1, a2 3, a3 2, an2 an1 an 可得
a4 1, a5 3, a6 2,
a7 1, a8 3, a9 2, a10 1, a11 3, a12 2,
……
利用数列周期性求和
a6k1 1, a6k2 3, a6k3 2, a6k4 1, a6k5 3, a6k6 2
③当a b 0时，Sn (n 1)a n
④ 当ab

0, a

b时，Sn

an[1 ( b )n1] a
1 b

a n 1 a
bn1 b
a
知识回顾：公式法求和
练习：已知
log 3
x

1 log 2 3
，求
x
x2

xn
？
提示：log 3
x

1 log 2 3
(a1993 a1994 a1998 ) a1999 a2000 a2001 a2002
a1999 a2000 a2001 a2002
a1 a2 a3 a4 5
其它方法求和
例7：求和 1 3 5 (1)n (2n 1)



1 2

1 3



1 n

1
n 1

21
1
n 1

2n n 1
裂项法求和
练习：求和 1 1 1
1
1 4 4 7 7 10 (3n 2)(3n 1)
提示：
1
1( 1 1 )
(3n 2)(3n 1) 3 3n 2 3n 1