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数列求和PPT课件



1 n+
n+1=
n+1-
n.
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4.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项 之积构成的,那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求,如等比 数列的前 n 项和公式就是用此法推导的.
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考点一 分组转化法求和 命 1.分组、拆、拼、转化为 题 常数列或等差数列求和 点 2.转化为等比数列求和
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(2)并项求和法 在一个数列的前 n 项和中,可两两结合 求解,则称之为并项求和. 形如 an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解. 例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(1002-992)+(982 -972)+…+(22-12)=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050.
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1.数列32,94,285,6156,…的前 n 项和 Sn 为________.
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解析:∵32=1+12,94=2+14,285=3+18,
6156=4+116,…
∴Sn=32+94+285+6156+…+n+21n
=(1+2+3+…+n)+12+212+213+…+21n
a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=
23-a1,…,a57=a1,a58=113+a1,a59=2-a1,a60=119-a1,
∴a1+a2+…+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a57
+a58+a59+a60)=10+26+42+…+234
=nn+ 2 1+1211--1212n=nn+ 2 1+1-21n. 答案:nn+ 2 1+1-21n
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2.数列{an}的通项公式为 an=(-1)n-1·(4n-3),则它的前 100 项
之和 S100 等于( )
A.200
B.-200
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1.公式法与分组求和法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和. ①等差数列的前 n 项和公式: Sn=na12+an= na1+nn-2 1d
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[例 2] (1)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 an=n·2n,则 Sn= ________.
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解析:∵an=n×2n ∴Sn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n① ∴2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1② ①-②得-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=2×1-1-2 2n-n×2n+ 1=2n+1-2-n×2n+1 ∴Sn=(n-1)×2n+1+2. 答案:(n-1)×2n+1+2
②等比数列的前 n 项和公式:
na1,q=1,
Sn=
a11--aqnq=a111--qqn,q≠1.
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(2)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组 成,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减.
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2.倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相 等或等于 同一个常数 ,那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加 法,如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的.
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[例 1] (1)已知函数 f(n)=n-2n当2n当为n奇为数偶时数时,, 且 an=f(n)+f(n
+1),则 a1+a2+a3+…+a100 等于( )
A.0
B.100
C.-100
D.10 200
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解析:由题意,得 a1+a2+a3+…+a100 =12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012 =-(1+2)+(3+2)-…-(99+100)+(101+100) =-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101) =-1+101=100.故选 B. 答案:B
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3.裂项相消法 (1)把数列的通项拆成 两项之差 ,在求和时中间的一些项可以相 互抵消,从而求得其和. (2)常见的裂项技巧 ①nn1+1=1n-n+1 1. ②nn1+2=121n-n+1 2.
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③2n-112n+1=122n1-1-2n1+1.
C.400
D.-400
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解析:选 B.S100=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3)-…-(4×100 -3)=4×[(1-2)+(3-4)+…+(99-100)]=4×(-50)=-200.
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考点二 错位相减法求和 命 题 对于“an·bn” 型的数列求和 点
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(2)(2016·高考山东卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2+8n,{bn} 是等差数列,且 an=bn+bn+1. ①求数列{bn}的通项公式; ②令 cn=abn+n+12n+n1,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
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(2)数列{an}满足 an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前 60 项和为 ________.
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解析:利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解.
∵an+1+(-1)nan=2n-1,
∴a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1,
=15×102+234=1 830. 答案:1 830
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[方法引航] 分组转化法求和的常见类型 (1)若 an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组转 化法求{an}的前 n 项和. (2)通项公式为 an=bcnn,,nn为为偶奇数数, 的数列,其中数列{bn},{cn} 是等比或等差数列,可采用分组转化法求和.
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