变式训练 4 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，an＋1＝ 2Sn (n∈N*)． (1)求数列{an}的通项 an； (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn.
Sn＋1 解 (1)∵an＋1＝2Sn，∴Sn＋1－Sn＝2Sn，∴ ＝3. Sn 又∵S1＝a1＝1， ∴数列{Sn}是首项为 1， 公比为 3 的等 比数列，Sn＝3n－1 (n∈N*)． 当 n≥2 时，an＝2Sn－1＝2· 3n－2， 1，n＝1， ∴an＝ n－2 3 ，n≥2. 2·
2 n－1
n an＝ ， 3
探究提高
－
解答本题的突破口在于将所给条件式视为数
列 {3n－ 1an}的前 n 项和， 从而利用 an 与 Sn 的关系求出通项 3n 1an，进而求得 an；另外乘公比错位相减是数列求和的 一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复 杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能 力的培养．
解：首先由 S10 10 a1
10 9 d 145 d 3 2
则 an a1 (n 1)d 3n 2 a2n 3 2n 2
n 2(1 2 ) 2 n 2n 3 2n1 2n 6 a2 a4 a2n 3(2 2 2 ) 2n 3 1 2
－ －
① ②
点评 本题在求前 n 项和时，要注意通项公式中分 n＝1 和 n≥2 构成分段函数，因此求和时也要分类讨论求和，并检验 n＝1 是否满足前 n 项和公式．
思想方法 感悟提高
方法与技巧 数列求和的方法技巧 (1)倒序相加：用于等差数列与二项式系数相关联的数列的求 和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和数列的求和．
1 an＝21－ n ，求 2
1 k 1－ 2
思维启迪：数列的通项
Sn 可用分组ห้องสมุดไป่ตู้和法．
解
1 1－ 2 1 1 1 ∴Sn＝21－ ＋1－ 2＋…＋1－ n 2 2 2
1 1 1 ak＝1＋ ＋ ＋…＋ k－1＝ 2 4 2
1 ＝21－ k . 2
1 1 1 － 2n 2 1 1 1 1 ＝ n－1＋2n－2. ＝2[(1＋1＋…＋1)－( ＋ 2＋…＋ n)]＝2n－ 2 2 2 1 2 1－ 2
失误与防范 1．直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推 导过程． 2．重点通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析 数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，或 拆为基本数列求和，或转化为基本数列求和．求和过程中 同时要对项数作出准确判断． 3．含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论．
题型分类 深度剖析 题型一 公式法求和 例 1 已知数列{an}是首项 a1＝4，公比 q≠1 的等比数列， Sn 是其前 n 项和，且 4a1，a5，－2a3 成 等差数列． (1)求公比 q 的值； (2)求 Tn＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n 的值．
思维启迪：求出公比，用等比数列求和公式直接求解．
探究提高 应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性， 尤其要区分好等差数列、 等比数列的通项公式及前 n 项和公 式．
＋ 练习1. 3． 设 f(n)＝2＋24＋ 27＋210＋ …＋23n 10(n∈ N)，
则 f(n)等于 ( D ) 2 n A. (8 －1) 7 2 n＋ 3 C. (8 －1) 7
2 n＋ 1 B. (8 － 1) 7 2 n＋ 4 D. (8 －1) 7
2．(教材习题改编)已知等比数列{an}中，an＝ 2×3n－1，则由此数列的奇数项所组成的新数列的 1 n (9 －1) ． 前n项和为________ 4
题型二 分组转化求和 例2
1 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋…＋ 求和 Sn＝1＋1＋ ＋1＋ ＋ ＋…＋ 2 4 n－1. 2 2 2 4
n个
探究提高 先将求和式中的项进行适当分组调整，使之每 一个组为等差或等比数列，然后分别求和，从而得出原数 列的和．它是通过对数列通项结构特点的分析研究，将数 列分解转化为若干个能求和的新数列的和或差，从而求得 原数列的和的一种求和方法．
练习：若数列{an}的通项公式为 an＝2n＋2n－1，则数列{an}的 前 n 项和为(
2．数列{an}的通项公式是 an＝
，若 n＋ n＋1 数列的前 n 项和为 10，则项数为( C ) A．11 B．99 C．120 D．121
1
题型四 错位相减法求和 例 4 设数列{an}满足 a1＋3a2＋3 a3＋…＋3 n∈N*. (1)求数列{an}的通项； n (2)设 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an n 解 (1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝ ， 3
数列求和
要点梳理
n(n－1) n ( a ＋ a ) 1 n 1．等差数列前 n 项和 Sn＝ ＝ na1＋ d， 2 2 倒序相加法 ； 推导方法：
等比数列前 n 项和
q＝1， na1， Sn＝ a (1－qn) a －a q 1 n 1 1－q ＝ 1－q ， q≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法．
题型三 裂项相消法求和 例 3 已知数列{an}中，a1＝1，当 n≥2 时，其前 n 项和 1 2 Sn 满足 Sn＝anSn－ . 2 (1)求 Sn 的表达式； Sn (2)设 bn＝ ，求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n＋1
解
2 1 2 ∴Sn＝(Sn－Sn－1)Sn－2， 即 2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn， 由题意 Sn－1· Sn≠0，
2．常见数列的前 n 项和
n(n＋1) (1)1＋ 2＋ 3＋…＋n＝ ； 2
(2)2＋ 4＋ 6＋…＋2n＝ n2＋n ； (3)1＋ 3＋ 5＋…＋(2n－1)＝ n2 ；
n(n＋1)(2n＋1) (4)1 ＋ 2 ＋3 ＋…＋ n ＝ ； 6
2 2 2 2
n(n＋1) 2 (5)1 ＋ 2 ＋3 ＋…＋ n ＝ [ 2 ] .
返回
3 3 3 3
3．(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (2)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式， 相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. (3)错位相减： 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘 构成的数列求和． (4)倒序相加：例如，等差数列前 n 项和公式的推导． 4．常见的拆项公式 1 1 1 (1) ＝ － ； n(n＋1) n n＋1 1 1 1 1 － (2) ＝ ； (2n－1)(2n＋1) 22n－1 2n＋1 1 (3) ＝ n＋1－ n. n＋ n＋1
[难点正本
疑点清源]
5．数列求和的思想方法： (1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求 通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关 或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方 法求和． (2)解决非等差、等比数列的求和，主要是转化的思想 ------即将复杂的数列设法转化为等差或等比数列，这 一思想方法往往通过通项分解、裂项相消法、错位相 减法、倒序相加法等来求和．
C
)． B．2n＋1＋n2－1 D．2n＋n－2
A．2n＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2
21－2n n1＋2n－1 n＋1 解析 Sn＝ ＋ ＝2 －2＋n2. 2 1－2
例 2（分部求和法）已知等差数列 an 的首项为 1，前 10 项的和为 145， 思考 : 求 a2 a4 a2n .
∴当 n≥2 时， n－1 a1＋3a2＋3 a3＋…＋3 an－1＝ ， ② 3 1 1 ①－②得 3n－1an＝ ，∴an＝ n. 3 3 1 1 1 在①中，令 n＝1，得 a1＝ ，适合 an＝ n，∴an＝ n. 3 3 3
2 n－2
2
n－1
n an＝ ， 3
①
题型四 错位相减法求和 例 4 设数列{an}满足 a1＋3a2＋3 a3＋…＋3 n∈N*. (1)求数列{an}的通项； n (2)设 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an n (2)∵bn＝ ，∴bn＝n· 3 n. an
解 (1)由题意得 2a5＝4a1－2a3. ∵{an}是等比数列且 a1＝4，公比 q≠1， 4 2 4 2 ∴2a1q ＝4a1－2a1q ，∴q ＋q －2＝0， 2 2 解得 q ＝－2(舍去)或 q ＝1，∴q＝－1. (2)∵a2，a4，a6，…，a2n 是首项为 a2＝ 2 4×(－1)＝－4，公比为 q ＝1 的等比数 列，∴Tn＝na2＝－4n.
(2)Tn＝ a1＋2a2＋ 3a3＋…＋nan， 当 n＝ 1 时， T1＝ 1； 当 n≥ 2 时， Tn＝ 1＋ 4· 30＋6· 31＋…＋ 2n· 3n－ 2， 3Tn＝ 3＋ 4· 31＋6· 32＋…＋2n· 3n－1， ①－② 得：－ 2Tn＝2＋ 2(31＋ 32＋…＋3n 2)－ 2n· 3n 1 n－ 2 3(1－ 3 ) ＝ 2＋ 2· －2n· 3n－1＝－ 1＋(1－2n)· 3n－ 1. 1－ 3 1 1 n－1 ∴ Tn＝ ＋n－ 3 (n≥2)． 2 2 1 1 n－ 1 又∵ T1 也满足上式，故 Tn＝ ＋n－ 3 (n∈ N*)． 2 2
1 2 (1)∵Sn＝an Sn－ ，an＝Sn－Sn－1


(n≥2)，
①
1 1 ①式两边同除以 Sn－ 1· Sn，得 － ＝2， Sn Sn－ 1 1 1 1 ∴数列 是首项为 ＝ ＝ 1，公差为 2 的等差数列． S1 a1 Sn 1 1 ∴ ＝ 1＋ 2(n－1)＝2n－1，∴ Sn＝ . Sn 2n－1 Sn 1 (2)又 bn＝ ＝ 2n＋ 1 (2n－1)(2n＋ 1) 1 1 － 1 ＝ ， 22n－ 1 2n＋ 1 ∴ Tn＝ b1＋b2＋… ＋bn 1 1 1 1 1 1 ＝ 1－3 ＋3－5＋…＋2n－1－2n＋1 2 1 1 n 1 － ＝ ＝ . 2 2n＋ 1 2 n ＋ 1