2015-2016学年湖北省武汉市武昌区高三（上）元月调考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B（）A．（2，3] B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）2．（5分）已知（1+2i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z 的共轭复数），则z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．（5分）在区间[0，1]上随机取一个数x，则事件“log0.5（4x﹣3）≥0”发生的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）如图程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x+1问题”．执行该程序框图，若输入的N=3，则输出i=（）A．6 B．7 C．8 D．95．（5分）“a≤0”是“函数 f （x）=2x+a有零点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知，且α为第三象限角，则tan2α的值等于（）A．B．﹣ C．D．﹣7．（5分）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．48．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M （x0，4）到焦点F 的距离|MF|=x0，则直线 MF 的斜率k MF=（）A．2 B．C．D．9．（5分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a2，b2，c2成等差数列，则cosB的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为（）A．14h B．15h C．16h D．17h11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣πD．8﹣12．（5分）已知函数 f（x）=sinx﹣xcosx．现有下列结论：①f（x）是R 上的奇函数；②f（x）在[π，2π]上是增函数；③∀x∈[0，π]，f（x）≥0．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为．14．（5分）双曲线C：的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于．15．（5分）已知，若对任意实数，都有|f（x）|＜m，则实数 m 的取值范围是．16．（5分）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为2，则该球的表面积为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知S n是公差不为0 的等差数列{a n}的前n 项和，S1，S2，S4成等比数列，且，（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n 项和T n．18．（12分）某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]＞300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染重度污染天数61418272015（Ⅰ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y=，若在本年内随机抽取一天，试估计这一天的经济损失超过400元的概率；（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非严重污染严重污染合计供暖季非供暖季合计100附：参考公式：K2=P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001k 2.706 3.841 5.024 6.63510.82819．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD=PD=2MA．（Ⅰ）求证：平面EFG⊥平面PDC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣MAB与四棱锥P﹣ABCD的体积之比．20．（12分）过椭圆右焦点F2的直线交椭圆于A，B 两点，F1为其左焦点．当直线AB⊥x轴时，△AF1B为正三角形，且其周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设 C 为直线x=2上的一点，且满足 CF2⊥AB，若（其中O为坐标原点），求四边形OACB的面积．21．（12分）已知函数f（x）=（λx+1）lnx﹣x+1．（Ⅰ）若λ=0，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直，证明：．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，EC切⊙O于点C，直线EO交⊙O于A，B两点，CD⊥AB，垂足为D．（Ⅰ）证明：CA平分∠DCE；（Ⅱ）若EA=2AD，EC=2，求⊙O的直径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线 l：3x+2y﹣6=0与Γ 的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|kx﹣1|（k∈R）．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为，求k的值；（Ⅱ）若f（1）+f（2）＜5，求k的取值范围．2015-2016学年湖北省武汉市武昌区高三（上）元月调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2016•河南二模）已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B（）A．（2，3] B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的并集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+4）＞0，解得：x＜﹣4或x＞2，即B=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），∵A=[﹣2，3]，∴A∪B=（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞），故选：B．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015秋•武昌区月考）已知（1+2i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z 的共轭复数），则z 的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【解答】解：∵（1+2i）=4+3i，∴====2﹣i，∴z=2+i，∴z的虚部为1．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）（2015秋•武昌区月考）在区间[0，1]上随机取一个数x，则事件“log0.5（4x﹣3）≥0”发生的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得区间长度，解对数不等式可得事件所占区间长度，由几何概型的概率公式可得．【解答】解：在区间[0，1]上随机地取一个数x，则x所占的区间长度为1﹣0=1，不等式log0.5（4x﹣3）≥0可化为0＜4x﹣3，解得＜x≤1，∴事件“log0.5（4x﹣3）≥0”发生x所占的区间长度为，∴由几何概型可得所求概率为故选：D．【点评】本题考查几何概型，涉及对数不等式的解法，属基础题．4．（5分）（2016•福建校级模拟）如图程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x+1问题”．执行该程序框图，若输入的N=3，则输出i=（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得n=3，i=1满足条件n是奇数，n=10，i=2不满足条件n=1，不满足条件n是奇数，n=5，i=3不满足条件n=1，满足条件n是奇数，n=16，i=4不满足条件n=1，不满足条件n是奇数，n=8，i=5不满足条件n=1，不满足条件n是奇数，n=4，i=6不满足条件n=1，不满足条件n是奇数，n=2，i=7不满足条件n=1，不满足条件n是奇数，n=1，i=8满足条件n=1，退出循环，输出i的值为8．故选：C．【点评】本题考查的知识点是循环结构的程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．5．（5分）（2015秋•武昌区月考）“a≤0”是“函数 f （x）=2x+a有零点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据函数零点的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若函数 f （x）=2x+a有零点，则f （x）=2x+a=0有解，即a=﹣2x有解，∵﹣2x＜0，∴a＜0，则“a≤0”是“函数 f （x）=2x+a有零点”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数零点的条件以及指数函数的性质求出a的取值范围是解决本题的关键．6．（5分）（2015秋•武昌区月考）已知，且α为第三象限角，则tan2α的值等于（）A．B．﹣ C．D．﹣【分析】利用诱导公式求得cosα的值，利用同角三角函数的基本关系求得sinα和tanα 的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值【解答】解：∵=﹣cosα，∴cosα=﹣，∵α为第三象限角，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，则tan2α==，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．7．（5分）（2014•福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．4【分析】虑用特殊值法去做，因为O为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个．【解答】解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4故选：D．【点评】本题考查了平面向量的加法，做题时应掌握规律，认真解答．8．（5分）（2016春•湖北期中）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M （x0，4）到焦点F 的距离|MF|=x0，则直线 MF 的斜率k MF=（）A．2 B．C．D．【分析】根据定义抛物线y2=2px（p＞0）上一点M （x0，4）到焦点F的距离|MF|=x0，求出x0，然后M （2p，4）代入y2=2px，可得p=2，即可求出直线MF的斜率．【解答】解：根据定义抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|=x0，∴x0+=x0，x0=2p，∴M（2p，4）代入y2=2px，可得p=2，∴M（4，4），F（1，0），∴k MF==．故选：B．【点评】本题考查了抛物线的定义和性质，解题的关键是根据定义得出M的坐标，属于基础题．9．（5分）（2015秋•武昌区月考）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a2，b2，c2成等差数列，则cosB的最小值为（）A．B．C．D．【分析】a2，b2，c2成等差数列，可得2b2=a2+c2，利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：在△ABC 中，∵a2，b2，c2成等差数列，∴2b2=a2+c2，∴cosB===≥=，当且仅当a=c=b时取等号．∴cosB的最小值为．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的性质、余弦定理与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2015秋•武昌区月考）如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为（）A．14h B．15h C．16h D．17h【分析】设风暴中心最初在A处，经th后到达B处．自B向x轴作垂线，垂足为C．若在点B处受到热带风暴的影响，则OB=450，求出t，即可得出结论．【解答】（本题满分为12分）解：设风暴中心最初在A处，经th后到达B处．自B向x轴作垂线，垂足为C．若在点B处受到热带风暴的影响，则OB=450，即=450，…（2分）即=450，…（4分）上式两边平方并化简、整理得4t2﹣120t+1575=0，…（6分）解得t=或，…（9分）又≈13.7，﹣=15，…（11分）所以，经过约13.7后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间为15h．故选：B．…（12分）【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生解决实际问题的能力，属于中档题．11．（5分）（2015秋•武昌区月考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣πD．8﹣【分析】由题意，几何体是棱长为2的正方体减半个圆柱，圆柱的底面半径为2，高为1，即可求出几何体的体积．【解答】：由题意，几何体是棱长为2的正方体减半个圆柱，圆柱的底面半径为2，高为1．∴几何体的体积为=8﹣，故选：D．【点评】本题考查几何体的体积，考查学生的计算能力，比较基础．12．（5分）（2015秋•武昌区月考）已知函数 f（x）=sinx﹣xcosx．现有下列结论：①f（x）是R 上的奇函数；②f（x）在[π，2π]上是增函数；③∀x∈[0，π]，f（x）≥0．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用三角函数的奇偶性判断①正确；利用导数研究函数的单调性，可得f（x）在[π，2π]上是减函数，故②错误；利用导数求得f（x）在[0，π]上是增函数，f（x）≥f（0），从而得出结论．【解答】解：根据 f（x）=sinx﹣xcosx，可得f（﹣x）=﹣sinx+xcosx=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故①：f（x）是R 上的奇函数，正确．f（x）在[π，2π]上，f′（x）=cosx﹣cosx+xsinx=xsinx＜0，故函数f（x）是减函数，故②不正确．③∀x∈[0，π]，f′（x）=xsinx＞0，故f（x）是增函数，故f（x）的最小值为f（0）=0，∴f（x）≥0，故③正确，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性和单调性，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2015秋•武昌区月考）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为 3 ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+2y为y=﹣，结合图象可知，当目标函数通过点（1，1）时，z取得最小值，z min=1+2×1=3．故答案为：3．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（5分）（2015秋•武昌区月考）双曲线C：的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于8 ．【分析】根据双曲线的离心率结合焦点到渐近线的距离建立方程关系求出a的值即可．【解答】解：∵双曲线的渐近方程为y=±x，设一个焦点坐标为F（c，0），一个渐近线方程为bx﹣ay=0，则焦点到渐近线的距离为3，即d==b=3，∵双曲线C：的离心率为，∴e==，即c=a，则c2=a2=a2+9，即a2=9，则a2=16，即a=4，则C的实轴长等于2a=8，故答案为：8．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．15．（5分）（2015秋•武昌区月考）已知，若对任意实数，都有|f （x）|＜m，则实数 m 的取值范围是[，+∞）．【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得m的取值范围．【解答】解：已知=2sin（2x﹣），任意实数，2x﹣∈（﹣，），sin（2x﹣）∈（﹣，），f（x）=2sin（2x﹣）∈（﹣，1），再根据|f（x）|＜m，可得m≥，故答案为：[，+∞）．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．16．（5分）（2016•大庆二模）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为2，则该球的表面积为25π．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PE上，求出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，根据平面几何中的射影定理可得PA2=PF•PE，因为AE=2，所以侧棱长PA==2，PF=2R，所以20=2R×4，所以R=，所以S=4πR2=25π故答案为：25π．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2015秋•武昌区月考）已知S n是公差不为0 的等差数列{a n}的前n 项和，S1，S2，S4成等比数列，且，（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n 项和T n．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得d=﹣1，a1=﹣，可得a n=﹣；（Ⅱ）求得b n==﹣=﹣（﹣），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），S1，S2，S4成等比数列，且，可得S22=S1S4，a1+2d=﹣，即有（2a1+d）2=a1（4a1+6d），化为d=2a1，解得d=﹣1，a1=﹣，可得a n=a1+（n﹣1）d=﹣﹣（n﹣1）=﹣；（Ⅱ）b n==﹣=﹣（﹣），则前n项和T n=﹣（1﹣+﹣+…+﹣）=﹣（1﹣）=﹣．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18．（12分）（2015秋•武昌区月考）某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]＞300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染重度污染天数61418272015（Ⅰ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y=，若在本年内随机抽取一天，试估计这一天的经济损失超过400元的概率；（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非严重污染严重污染合计供暖季22 8 30非供暖季63 7 70合计85 15 100附：参考公式：K2=P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【分析】（Ⅰ）根据题意，问题转化为求空气质量指数大于200的频率即可；（Ⅱ）根据题意填写列联表，计算观测值K2，对照临界值即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）记“在本年内随机抽取一天，该天的经济损失超过400元”为事件A，由y＞400，得x ＞200；由统计数据可知，空气质量指数大于200的频数为35，所以P（A）==0.35；（Ⅱ）根据题设中的数据填写2×2 列联表如下，非严重污染严重污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100把列联表中的数据代入公式K2=中计算，得K2=≈4.575，因为4.575＞3.841，所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”．【点评】本题考查了频率分布表的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题目．19．（12分）（2010•山东）如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD=PD=2MA．（Ⅰ）求证：平面EFG⊥平面PDC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣MAB与四棱锥P﹣ABCD的体积之比．【分析】（I）欲证平面EFG⊥平面PDC，根据面面垂直的判定定理可知在平面EFG内一直线与平面PDC垂直，而根据线面垂直的判定定理可知GF⊥平面PDC，GF∈平面EFG，满足定理条件；（II）不妨设MA=1，求出PD=AD，得到V p﹣ABCD=S正方形ABCD，求出PD，根据DA⊥面MAB，所以DA即为点P到平面MAB的距离，根据三棱锥的体积公式求出体积得到V P﹣MAB：V P﹣ABCD的比值．【解答】解：（I）证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD又BC⊂平面ABCD，因为四边形ABCD为正方形，所以PD⊥BC又PD∩DC=D，因此BC⊥平面PDC在△PBC中，因为G、F分别是PB、PC中点，所以GF∥BC因此GF⊥平面PDC又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC；（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1，则PD=AD=2，所以V p﹣ABCD=S正方形ABCD，PD=由于DA⊥面MAB的距离所以DA即为点P到平面MAB的距离，三棱锥Vp﹣MAB=××1×2×2=，所以V P﹣MAB：V P﹣ABCD=1：4．【点评】本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面垂直、面面垂直的判定及几何体体积的计算，考查试图能力和逻辑思维能力．20．（12分）（2015秋•武昌区月考）过椭圆右焦点F2的直线交椭圆于A，B 两点，F1为其左焦点．当直线AB⊥x轴时，△AF1B为正三角形，且其周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设 C 为直线x=2上的一点，且满足 CF2⊥AB，若（其中O为坐标原点），求四边形OACB的面积．【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义，周长为即可求得a的值，根据正三角形高求得c的值，即可求得b的值，写出椭圆的标准方程；（Ⅱ）设出直线AB方程，利用CF2⊥AB，表示出直线CF2的方程，求得C点坐标，并将直线AB方程代入椭圆方程，求得关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，求得y1+y2及y1y2值，利用平行四边形面积公式求得OACB的面积．【解答】解：（Ⅰ），由椭圆的定义，周长为，得4a=4，即a=，由△AF1B为正三角形，周长为，∴边长丨AF1丨=，∴AB边高F1F2的长为丨AF1丨，丨F1F2丨=2，即2c=2，c=1，∵a2+b2=c2，∴b=2，故椭圆方程：，（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：F2（1，0）由题意可知：设AB的方程可设x=ty+1，由CF2⊥AB可知，CF2的方程为y=﹣t（x﹣1），由，得C（2，﹣t），由，消去x，整理得：（2t2+3）y2+4ty﹣4=0，其判断△=16t2+16（2t2+3）＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则，y1+y2=﹣，y1y2=﹣，∴x1+x2=t（y1+y2）+2=，∵=，∴四边形0ACB为平行四边形，且（x1，y1）=（2﹣x2，﹣t﹣y2），∴，解得t=0，，解得t=0，此时y1+y2=0，y1y2=﹣，∴S OACB=2S△OAB=丨OF2丨•丨y1﹣y2丨=，=，=．【点评】本题考查的知识点是椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题，联立直线方程，运用韦达定理，考查运算能力，综合性强，转化困难，属于难题．21．（12分）（2015秋•武昌区月考）已知函数f（x）=（λx+1）lnx﹣x+1．（Ⅰ）若λ=0，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直，证明：．【分析】（Ⅰ）求得函数的定义域为（0，+∞），当λ=0，f（x）=lnx﹣x+1，求导，令f′（x）=0，根据函数的单调性可知，当x=1时，f（x）取最大值；（Ⅱ）求导，f′（1）=1，即λ=1，由（Ⅰ）可知，lnx﹣x﹣1＜0，分类当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x﹣1=xlnx+（lnx﹣x+1）＜0，当x＞1时，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）=lnx﹣x（ln﹣+1）＞0，可知．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）的定义域为（0，+∞），当λ=0，f（x）=lnx﹣x+1，求导，f′（x）=﹣1，令f′（x）=0，解得：x=1，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上是增函数；当x＞1，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；故f（x）在x=1处取最大值，f（1）=0，（Ⅱ）证明：求导，f′（x）=λlnx+﹣1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=1，即λ=1，∴f（x）=（x+1）lnx﹣x+1，由（Ⅰ）可知，lnx﹣x﹣1＜0（x≠1），当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x﹣1=xlnx+（lnx﹣x+1）＜0，∴＞0，当x＞1时，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）=lnx﹣x（ln﹣+1）＞0，∴＞0，综上可知：＞0．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查导数的几何意义及两直线垂直的充要条件，考查转化思想，属于中档题．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2015秋•武昌区月考）如图，EC切⊙O于点C，直线EO交⊙O于A，B两点，CD⊥AB，垂足为D．（Ⅰ）证明：CA平分∠DCE；（Ⅱ）若EA=2AD，EC=2，求⊙O的直径．【分析】（Ⅰ）利用AB为圆O的直径，CD⊥AB，得出∠CAB+∠DCA=90°，可得∠DCA=∠B．利用EC切⊙O 于点C，可得∠ACE=∠B，从而∠DCA=∠ACE，即可证明：CA平分∠DCE；（Ⅱ）若EA=2AD，EC=2，利用射影定理，切割线定理建立方程，即可求⊙O的直径．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB为圆O的直径，∴∠CAB+∠B=90°，∵CD⊥AB，∴∠CAB+∠DCA=90°，∴∠DCA=∠B．∵EC切⊙O于点C，∴∠ACE=∠B，∴∠DCA=∠ACE，∴CA平分∠DCE；（Ⅱ）解：如图，连接CO．∵EC切⊙O于点C，∴OC⊥CE．Rt△COE中，CD⊥AB．由射影定理得EC2=ED•EO．设圆O的半径为r，AD=x，则EA=2x，∵，∴（2）2=3x（2x+r）①由切割线定理得EC2=EA•EB，∴（2）2=2x（2x+2r）②由①②，解得x=1，r=2，∴⊙O的直径为4．【点评】本题考查圆的直径、切线的性质，考查射影定理、切割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•河南二模）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线 l：3x+2y﹣6=0与Γ 的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【分析】（1）首先，设出所求点的坐标，然后，建立坐标之间的关系式，求解其普通方程，再将其化为参数方程即可；（2）联立方程组，然后，解得两个交点坐标，从而确定其中点坐标，从而求解其直线方程，再化为极坐标形式即可．【解答】解：（1）设点（x1，y1）为圆上的任意一点，在已知变换下变为T上点（x，y），根据题意，得，即，根据，得，即曲线T的方程为，所以，曲线T的参数方程为（t为参数）．（2）联立方程组，解得或，不妨设点P1（2，0），P2（0，3），则线段的中点坐标为（1，），所求直线的斜率k=，于是所求直线方程为：y﹣=（x﹣1），即4x﹣6y+5=0，将此化为极坐标方程，得到4ρcosθ﹣6ρsinθ+5=0．【点评】本题重点考查了直线的参数方程和普通方程、极坐标方程的互化等知识，考查了直线方程有关内容，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2015秋•武昌区月考）设函数f（x）=|kx﹣1|（k∈R）．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为，求k的值；（Ⅱ）若f（1）+f（2）＜5，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用不等式的解集与方程解的关系，根据不等式f（x）≤2的解集为，即可求k的值；（Ⅱ）若f（1）+f（2）＜5，则|k﹣1|+|2k﹣1|＜5，分类讨论求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵不等式f（x）≤2的解集为，∴|﹣k﹣1|=2且|k﹣1|=2，∴k=3；（Ⅱ）若f（1）+f（2）＜5，则|k﹣1|+|2k﹣1|＜5．k＜时，﹣k+1﹣2k+1＜5，∴k＞﹣1，∴﹣1＜k＜；≤k≤1时，﹣k+1+2k﹣1＜5，∴k＜5，∴≤k≤1；k＞1时，k﹣1+2k﹣1＜5，∴k＜，∴1＜k＜，综上所述，﹣1＜k＜．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。