3.直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于 该直角边在斜边上的 射影与斜边的乘积 ，斜边上的高的平方等于 两条直角边 在斜边上的射影的乘积 . 4.圆中有关的定理 (1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的 一半 . (2)圆心角定理：圆心角的度数等于 它所对弧 的度数.
(3)切线的判定与性质定理 ①切线的判定定理 过半径外端且与这条半径 垂直 的直线是圆的切线. ②切线的性质定理 圆的切线 垂直 于经过切点的半径. (4)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长 相等 .
解析
思维升华
(1)三角形相似的证明方法 很多，解题时应根据条件， 结合图形选择恰当的方法. 一般的思考程序：先找两 对内角对应相等；若只有 一个角对应相等，再判定 这个角的两邻边是否对应 成比例；若无角对应相等， 就要证明三边对应成比例.
题型一 相似三角形的判定及性 质例1 如图，已知在 △ABC中，点D是 BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相 交于点E，EC与AD相交于点F. (1)求证：△ABC∽△FCD；
解析
思维升华
(1)三角形相似的证明方法 很多，解题时应根据条件， 结合图形选择恰当的方法. 一般的思考程序：先找两 对内角对应相等；若只有 一个角对应相等，再判定 这个角的两邻边是否对应 成比例；若无角对应相等， 就要证明三边对应成比例.
(CADE )2＝9.
解析
题型一 相似三角形的判定及性 质例1 如图，已知在
△ABC中，点D是
BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相
交于点E，EC与AD相交于点F. (1)求证：△ABC∽△FCD；
思维升华
题型一 相似三角形的判定及性 质例1 如图，已知在 △ABC中，点D是 BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相 交于点E，EC与AD相交于点F. (1)求证：△ABC∽△FCD；
2.相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定定理 ①两角对应 相等 的两个三角形 相似 ； ②两边对应成 比例 且夹角 相等 的两个三角形 相似 ； ③三边对应成 比例 的两个三角形 相似 .
(2)相似三角形的性质定理 ①相似三角形的对应线段的比等于 相似比 . ②相似三角形周长的比等于 相似比 . ③相似三角形面积的比等于 相似比的平方 .
(5)弦切角定理 弦切角的度数等于其所夹弧的度数的 一半 . (6)相交弦定理 圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积 相等 . (7)割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的 两条线段长的积 相等 .
(8)切割线定理 从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到 割线与圆的两个交点的线段长的 等比中项 . (9)圆内接四边形的性质与判定定理 ①圆内接四边形判定定理 (ⅰ)如果四边形的对角 互补 ，则此四边形内接于圆； (ⅱ)如果四边形的一个外角 等于 它的内角的对角，那么这 个四边形的四个顶点共圆.
解析
思维升华
解得AM＝4， 又 DE∥AM，∴ADME＝BBMD，
∵DM＝12DC＝52，BM＝BD ＋DM＝5＋52＝125， ∴D4E＝155，解得 DE＝83.
2
例1 如图，已知在 △ABC中，点D是 BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相 交于点E，EC与AD相交于点F. (2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE 的长.
解析
思维升华
证明 ∵DE⊥BC，D是BC 边上的中点， ∴EB ＝ EC ， ∴∠B ＝ ∠ECD，又AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴△ABC∽△FCD.
题型一 相似三角形的判定及性 质例1 如图，已知在 △ABC中，点D是 BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相 交于点E，EC与AD相交于点F. (1)求证：△ABC∽△FCD；
数学 苏（理）
第十四章 系列4选讲
§14.1 几何证明选讲
➢ 基础知识·自主学习 ➢ 题型分类·深度剖析 ➢ 思想方法·感悟提高 ➢ 练出高分
1.平行截割定理 (1)平行线等分线段定理 如果一组 平行线 在一条直线上截得的线段 相等 ，那么在 任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也 相等 . (2)平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对 应线段成 比例 .
解析
思维升华
∴SS△△FACBDC＝(CBDC)2＝4，
又∵S△FCD＝5， ∴S△ABC＝20， 又 S△ABC＝12×BC×AM ＝12×10×AM＝20，
Байду номын сангаас
例1 如图，已知在 △ABC中，点D是 BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相 交于点E，EC与AD相交于点F. (2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE 的长.
②圆内接四边形性质定理 (ⅰ)圆内接四边形的对角 互补 ； (ⅱ)圆内接四边形的外角 等于 它的内角的对角.
题号
1 2 3 4
答案
9
a 2
4
6
解析
在平行四边形 ABCD 中，因为 EB＝2AE，所以AABE＝13 ＝CADE ，故CADE ＝3.
因为
AE∥CD，
所以△AEF∽△CDF，所以
S△CDF＝ S△AEF
例1 如图，已知在 △ABC中，点D是 BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相 交于点E，EC与AD相交于点F. (2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE 的长.
解析
思维升华
解 过点A作AM⊥BC，垂 足为点M， ∵△ABC∽△FCD，BC＝ 2CD，
例1 如图，已知在 △ABC中，点D是 BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相 交于点E，EC与AD相交于点F. (2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE 的长.
解析
思维升华
(2)证明等积式的一般方法 是化为等积的比例式，若 题目中无平行线，需利用 相似三角形的性质证明.
解析
例1 如图，已知在 △ABC中，点D是 BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相 交于点E，EC与AD相交于点F. (2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE 的长.
思维升华