考点51 几何证明选讲
一、选择题
1.（2020·北京高考理科·Ｔ5）如图. ∠ACB=90º，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则( ) A. CE ·CB=AD ·DB B. CE ·CB=AD ·AB C. AD ·AB=CD ²
D.CE ·EB=CD ²
【解题指南】利用切割线定理及直角三角形中的射影定理.
【解析】选A.Q CD AB ⊥，∴以BD 为直径的圆与CD 相切，∴2
CD CE CB =⋅。

在Rt ABC ∆中，CD 为斜边AB 上的高，有2
CD AD DB =⋅，
因此，CE ·CB=AD ·DB. 二、填空题
2.（2020·湖北高考理科·Ｔ15）如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB=4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为
_____________.
【解题指南】本题考查直线与圆的位置关系，解答本题的关键是利用直线与圆的位置关系，取AB 的中点，连OC ，把CD 表示出来.
【解析】取AB 的中点为E ，连接CD ，OE ，则2222
4CD OC OD OE OD =-=+-，要求CD 的最大值，
则点D 与E 重合.可知结果为：2. 【答案】2.
A
D
B
E
C
3.（2020·陕西高考理科·Ｔ15）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB ⋅= . 【解题指南】围绕Rt △BDE 和圆的有关性质列出成比例线段.
【解析】连接AD,因为6AB =，1AE =,所以BE=5, 在Rt △ABD 中，
2155DE AE BE =⋅=⨯=,,在Rt △BDE 中,由射影定理得2
5DF DB DE ⋅==.
【答案】5.
4. （2020·广东高考文科·Ｔ15）如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B,D 是弦AC 上的点，
PBA DBA ∠=∠.若AD=m,AC=n,则AB= .
【解题指南】本小题要注意利用圆的几何性质。

判断出ABP ACB ABD ∠=∠=∠,从而证出
ABD ACB ∆∆:是解决此问题的关键.
【解析】由题意知ABP ACB ABD ∠=∠=∠，所以ABD ACB ∆∆:,
所以,
AD AB
AB AC =所以AB AD AC mn =⋅=.
【答案】mn .
5.（2020·广东高考理科·Ｔ15）如图，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足30ABC ∠=o
，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA=_____________. 【解题指南】本小题要注意利用圆的几何性质。

连接OA ，AC
从而可得60AOC ∠=o
, AOC ∆为等边三角形，30PAC ∠=o
, PAC ∆为等腰三角形，并且AC=CP=1,到
此问题基本得以解决.
【解析】连接AO 、AC ，因为30ABC ∠=o ,所以30CAP ∠=o ,60,AOC AOC ∠=∆o 为等边三角形，则
120,30,ACP APC ACP ∠=∴∠=∴∆o o 为等腰三角形，且1,21sin 603AC CP AP ==∴=⨯⨯=o .
【答案】3.
6.（2020·天津高考文科·Ｔ13）与（2020·天津高考理科·Ｔ13）相同
如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ，过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF=3，FB=1，3
2
EF =，则线段CD 的长为_________. 【解题指南】利用相交线及切线的比例关系求解。

【解析】设CD=x,则AD=4x,因为AF ·FB=CF ·FE,所以CF=2, 又
3843CF AF BD BD AB ==⇒=
,又24
.43
BD x x x =⇒=.
【答案】
4
3.
三、解答题
7. （2020·辽宁高考文科·T22）与（2020·辽宁高考理科·T22）相同 如图，⊙O 和⊙/
O 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，
D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E.证明 (Ⅰ)AC BD AD AB ⋅=⋅； (Ⅱ) AC A
E =.
【解题指南】据弦切角等于圆周角，证明三角形相似，对应边成比例，证明等式. 【解析】(1)由AC 与圆O '相切于点A ，得CAB ADB ∠=∠;同理，ACB DAB ∠=∠
从而ACB ∆∽DAB ∆，所以AC AB
AC BD AB BD
AD BD =⇒⋅=⋅
（2）由AD 与圆O 相切于点A ，得AED
BAD ∠=∠;
又ADE BDA ∠=∠,从而EAD ∆∽ABD ∆，所以AE AD
AE BD AB AD
AB BD =⇒⋅=⋅
又由（1）知，
AC BD AB BD ⋅=⋅
所以AC BD AE BD AC AE ⋅=⋅⇒=.
F C
B
8.（2020·新课标全国高考文科·Ｔ22）与（2020·新课标全国高考理科·Ｔ22）相同
如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF//AB ，证明：
F
G
D
E A
B
C
(Ⅰ)CD=BC； (Ⅱ)△BCD∽△GBD
【解题指南】（1）连接AF ，作为中间量过渡，证CD AF BC ==，证明时充分利用图形中出现的平行四边形；（2）利用图形中的平行四边形及等腰三角形关系，设法寻找△BCD 与△GBD 中的两组对应角相等，从而可得△BCD∽△GBD .
【解析】（1）因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以//DE BC ，
又已知//CF AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF BD AD ==.而//CF AD ，连结AF ，所以ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF.
因为//CF AB ，所以BC AF =，故CD BC =. （2）因为//,FG BC 故GB CF =. 由（1）可知BD CF =，所以GB BD =.
而DGB EFC DBC ∠=∠=∠，故BCD ∆∽GBD ∆.
9. （2020·江苏高考·Ｔ21）如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C ，使BD = DC ，连接AC ，AE ，DE ． 求证：E C ∠=∠．
A
E
D C
O
【解题指南】要证E C ∠=∠，就得找一个中间量代换，一方面考虑到B E ∠∠和是同弧所对圆周角，相等；另一方面由AB 是圆O 的直径和BD DC =可知AD 是线段BC 的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到B C ∠=∠，从而得证. 【解析】证明：连接AD .
∵AB 是圆O 的直径，∴0
90ADB ∠=（直径所对的圆周角是直角）。

∴AD BD ⊥（垂直的定义）。

又∵BD DC =，∴AD 是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）。

∴AB AC =（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。

∴B C ∠=∠（等腰三角形等边对等角的性质）。

又∵,D E 为圆上位于AB 异侧的两点， ∴B E ∠=∠（同弧所对圆周角相等）。

∴E C ∠=∠（等量代换）.
【一题多解】可连接OD ，利用三角形中位线来求证B C ∠=∠。

证明：连接OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点， 所以OD//AC,于是ODB C ∠∠＝ 因为OB ＝OD ，所以ODB B ∠∠＝ 于是C B ∠∠＝
因为点A ，E ，B ，D ，都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，所以E ∠和B ∠为同弧所对的圆周角，故E B ∠∠＝，所以E C ∠=∠.。