g3.1030数列与函数的极限（1）一、知识回顾1、 数列极限定义（1）定义：设{a n }是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数n>N ，就有|a n -a|<ε，那么就称数列{a n }以a 为极限，记作lim ∞→n a n =a 。

对前任何有限项情况无关。

*（2）几何解释：设ε>0，我们把区间(a-ε，a+ε)叫做数轴上点a 的ε邻域；极限定义中的不等式|a n -a|<ε也可以写成a-ε<a n <a+ε，即a n ∈(a-ε，a+ε)；因此，借助数轴可以直观地理解数列极限定义：不论a 点的ε邻域怎么小，数列{a n }从某一项以后的所有项都要进入这个邻域中，也可以说点a 的任意小的ε邻域(a-ε，a+ε)中含有无穷数列{a n }的几乎所有的项，而在这个邻域之外至多存在有限个项，由此可以想像无穷数列{a n }的项是多么稠密地分布在点a 的附近。

2、几个常用极限①lim ∞→n C=C （常数列的极限就是这个常数） ②设a>0，则特别地 01lim=∞→nn ③设q ∈(-1，1)，则lim ∞→n q n=0；;1lim ,1==∞→n n q q ,1-=q 或n n q q ∞→>lim ,1不存在。

若无穷等比数列1,,,,11<-q aq aq a n 叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）为：qa s s n n -==∞→1lim 13、数列极限的运算法则如果lim ∞→n a n =A ，lim ∞→n b n =B ，那么(1)lim ∞→n (a n ±b n )=A ±B (2)lim∞→n (a n ·b n )=A ·B(3)lim ∞→n n n b a =BA(B ≠0) 极限不存在的情况是1、±∞=∞→n n a lim ；2、极限值不唯一，跳跃，如1，-1，1，-1….注意：数列极限运算法则运用的前提: (1)参与运算的各个数列均有极限;(2)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能首先套用. 二.基本训练1、n n n n 2312lim 22++∞→= ；22322lim n n n n n→∞+++= 2、135(21)lim2462n n n→∞+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=_________________3．已知a 、b 、c 是实常数，且acn can b cn c bn c bn c an n n n ++=--=-+∞→∞→∞→2222lim ,3lim ,2lim 则的值是………（ ）A .121 B .61 C .23D .64．已知a 、b 都是实数，且a >0，如果0)(lim =+∞→nn ba b ，那么a 与b 的关系是………………（ ）A .a <2bB .－a <2bC .－a <bD .－a <b <2a5.在等比数列中，a 1>1,前项和S n 满足11lim n n S a →∞=，那么a 1的取值范围是……………………（ ）（A ）（1，＋∞） （B ）（1，4） （C ）（1，2） （D ）（1） 6.等比数列｛a n ｝中，a 1=－1,前n 项和为S n ，若10531,32S S =则lim n n S →∞=………………………（ ）（A ）23 （B ）－23（C ）2 (D )－2 三、例题分析 例1求下列极限(1)lim∞→n (1223-n n -122+n n ) (2)lim ∞→n [n (1+n -n )] (3)lim ∞→n (21n +24n +27n +…+223n n -) (4)lim∞→n )1()1()1()1(11n n n n a a a a a a -+--+--+(a ≠1) 例2：已知)413(22limn bnan cn n n -+++∞→=5，求常数a 、b 、c 的值。

例3．设数列a 1，a 2，…，a n ，…的前n 项的和S n 和a n 的关系是nn n b ba S )1(11+--=，其中b 是与n 无关的常数，且b ≠―1（1）求a n 和a n －1的关系式； （2）写出用n 和b 表示a n 的表达式;（3）当0<b <1时，求极限n n S ∞→lim例4、已知数例{a n }前n 项之和S n =1+ka n （k 为不是0、1的常数）。

(1)用n ，k 表示a n ； (2)若lim ∞→n S n =1，求k 的取值范围。

例5、某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？备用:某县地处水乡，县政府原计划从今年起填湖围造一部分生产和生活用地。

但根据前几年抗洪救灾得到的经验教训和环境保护、生态平衡的要求，准备重新研究修改计划。

为了寻求合理的计划方案，需要研究以下问题：(1)若按原计划填湖造地，水面的减少必然导致蓄水能力的下降。

为了保证防洪能力不会下降，除了填湖费用外，还需要增加排水设备费用，所需经费与当年所填湖造地的面积x （亩）的平方成正比，其比例系数为a 。

又知每亩水面的年平均经济收益为b 元，填湖造地后的每亩土地的年平均经济收益为c 元（其中a ，b ，c 均为常数）。

若按原计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x 的最大值。

(2)如果以每年1%的速度减少填湖造地的新增面积，并为保证水面的蓄洪能力和环保要求，填湖造地的总面积永远不能超过现有水面面积的41，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几？解析：(1)收入不小于支出的条件可以表示为：cx-(ax 2+bx)≥0 即ax 2+(b-c)x ≤0，x[ax-(c-b)] ≤0 当c-b ≤0时，abc -≤x ≤0，此时不能填湖造地 当c-b>0时，0≤x ≤a b c -，此时所填面积的最大值为abc -亩。

(2)设该县现有水面为m 亩，今年填湖造地的面积为x 亩，则x+(1-1%)x+(1-1%)2x+…+(1-1%)n x+…≤4m不等式左边是无穷等比数列的和，故有99.01-x ≤4m ，即x ≤400m=0.25%m今年填湖造地的面积最多只能占有水面的0.25%。

[思维点拔]此列应用数极限解决实际问题。

三、课堂小结1、极限的四则运算，要特别注意四则运算的条件是否满足。

2、极限运算最终转化为lim ∞→n q n =0(|q|<1)，nn 1lim∞→=0，lim ∞→n C=C(C 为常数) 3、本节复习内容是数列极限在代数，平面几何、三角、解析几何中的综合应用，尤其要注意公式S=qa -11的运用。

四、作业g3.1030数列与函数的极限（1）1．已知a 、b 是互不相等的正数，则=+-∞→nnnn n b a b a lim A .1 B .－1或1 C .0 D .－1或0 2．a n 是(1+x )n 展开式中含x 2的项的系数，则)111(lim 32nn a a a +⋅⋅⋅++∞→等于 A .2 B .1 C . 21 D .313．已知数列{a n }中，a 1=1，2a n +1=a n (n =1，2，3…)，则这个数列前n 项和的极限是A .2B .21C .3D .31 4. （05广东卷）已知数列{}n x 满足122x x =，()1212n n n x x x --=+，3,4,n =…．若lim 2n n x →∞=，则 x 1等于 ()（Ａ）32（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５ 5. （05湖南卷）已知数列{log 2(a n －1)}（n ∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则nn n a a a a a a -++-+-+∞→12312lim 111(）=（ ）A ．2B ．23C ．1D ．216.．（05浙江卷）limn →∞2123nn ++++＝( )(A) 2 (B) 4 (C)21(D)07．0<a <1,计算.______)1()1)(1)(1(lim 242=+⋅⋅⋅+++∞→nn a a a a8．首项为1，公比为q (q >0)的等比数列前n 项和为S n ，则.______lim1=+∞→n nn S S9．s 和t 分别表示(1+2x )n 和(1+3x )n 展开式中各项系数和，则._____lim=+-∞→ts ts n10．有一系列椭圆，满足条件：（1）中心在原点；（2）以x =2为准线；（3）离心率),2,1()21(⋅⋅⋅==n e n n 。

则所有这些椭圆的长轴长之和为__________________.11. （05山东）2222lim __________(1)n n nn C C n -→∞+=+9．求极限：).632632632632(lim 333222n nn n ++⋅⋅⋅++++++∞→10．已知S n =2+ka n 为数列的前n 项和，其中k 为不等于1的常数。

（1）求a n ； （2）若2lim =∞→n n S ，求k 的取值范围.答案例1. (1)41 (2) 21 (3) 23 (4)当|a|<1时，原式=1；当|a|>1时，原式=a ；当a=-1时极限不存在 例2. a=0，b=43，c=415例3. 111(1)(1);(2);(3)lim 1.1(1)(1)(1)n n n n n n n n b b b b a a a S b b b b -++→∞-=+===+-+ 例4. (1) a n =k -11(1-k k )n-1 .(2) k<21 例5.每年新增汽车不应超过3.6万辆。

作业1—6. BAABCC. 7、1.1a - 8、1或1.q 9、-1. 10、2. 11、3.212、3.2 13、1.2k <。