2019-2020学年广西南宁三中重点班高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设i为虚数单位，复数z满足z（i﹣2）＝5，则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁3．用数学归纳法证明1﹣+﹣+…+﹣＝++…+（n∈N*），则从“n＝k到n＝k+1”，左边所要添加的项是（）A．B．﹣C．﹣D．﹣4．已知函数f（x）＝x3﹣2x2，x∈[﹣1，3]，则下列说法不正确的是（）A．最大值为9B．最小值为﹣3C．函数f（x）在区间[1，3]上单调递增D．x＝0是它的极大值点5．抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件A为“两个点数不同”，事件B为“两个点数中最大点数为4”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．6．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则P（X≤2）＝（）A．B．C．D．7．2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F6人（其中A是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为（）A．36种B．48种C．56种D．72种8．甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队不超过4场即获胜的概率是（）A．0.18B．0.21C．0.39D．0.429．电路从A到B上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率为，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是（）A．B．C．D．10．已知f（x）＝alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）11．已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X≤0）＝P（X≥a），则（1+ax）3•（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．680B．640C．180D．4012．在R上的可导函数，极大值点x1∈（0，1），极小值点x2∈（1，2），则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，甲、乙至少有1人入选的不同选法的种数为．14．定积分（+2x﹣）的值．15．已知（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1（x+1）+…+a5（x+1）5，则a1+a3+a5＝．16．已知函数f（x）＝x+e x﹣a，g（x）＝1n（x+2）﹣4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0，使f（x0）﹣g（x0）＝3成立，则实数a的值为．三、解答题（解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，第17-21题每题12分，选做题10分，共70分.）17．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，△PAB为等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，Q为PB中点．（1）求证：AQ⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．19．近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：土地使用面积x（单位：亩）12345管理时间y（单位：月）810132524并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x，求x的分布列及数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828参考数据：≈25.220．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，直线FM的斜率为，且原点到直线FM的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不经过点F的直线l：y＝kx+m（k＜0，m＞0）与椭圆C交于A，B两点，且与圆x2+y2＝1相切．试探究△ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣2ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）内单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2＞．选做题：考生需从第22题和第23题中选--道作答[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）设点M的极坐标为，求△ABM面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|，x∈R．（1）当a＝4时，求不等式f（x）＞9的解集；（2）对任意x∈R，恒有f（x）≥5﹣a，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设i为虚数单位，复数z满足z（i﹣2）＝5，则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．解：z（i﹣2）＝5，则z＝﹣＝﹣＝﹣2﹣i．则在复平面内，＝﹣2+i对应的点（﹣2，1）位于第二象限．故选：B．2．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论．解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，故选：A．3．用数学归纳法证明1﹣+﹣+…+﹣＝++…+（n∈N*），则从“n＝k到n＝k+1”，左边所要添加的项是（）A．B．﹣C．﹣D．﹣【分析】根据式子的结构特征，求出当n＝k时，等式的左边，再求出n＝k+1 时，等式的左边，比较可得所求．解：当n＝k时，等式的左边为1﹣+﹣+…+﹣，当n＝k+1 时，等式的左边为1﹣+﹣+…+﹣+，故从“n＝k到n＝k+1”，左边所要添加的项是．故选：D．4．已知函数f（x）＝x3﹣2x2，x∈[﹣1，3]，则下列说法不正确的是（）A．最大值为9B．最小值为﹣3C．函数f（x）在区间[1，3]上单调递增D．x＝0是它的极大值点【分析】对f（x）求导，分析f′（x）的正负，进而得f（x）的单调区间，极值可判断C错误，D正确，再计算出极值，端点处函数值f（1），f（3），可得函数f（x）的最大值，最小值，进而可判断A正确，B正确．解：f′（x）＝3x2﹣4x，令f′（x）＝3x2﹣4x＞0，解得x＜0或x＞，所以当x∈[﹣1，0），（，3]时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，C错误，所以x＝0是它的极大值点，D正确，因为f（0）＝0，f（3）＝27﹣2×9＝9，所以函数f（x）的最大值为9，A正确，因为f（﹣1）＝﹣1﹣2＝﹣3，f（）＝﹣2×＝﹣，所以函数f（x）的最小值为﹣3，B正确，故选：C．5．抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件A为“两个点数不同”，事件B为“两个点数中最大点数为4”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．【分析】由条件概率与独立事件得：用列举法列出事件A的基本事件个数为36﹣6＝30，列出事件B的基本事件有6个，即P（B|A）＝＝，得解．解：事件A为“两个点数不同”的基本事件个数为36﹣6＝30，事件B为“两个点数中最大点数为4”的基本事件有（1，4），（2，4），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共6个，即P（B|A）＝＝，故选：C．6．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则P（X≤2）＝（）A．B．C．D．【分析】每次取到次品的概率都是p＝＝，X表示取得次品的次数，则X～B（3，），P（X≤2）＝1﹣P（X＝3），由此能求出结果．解：有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），则每次取到次品的概率都是p＝＝，X表示取得次品的次数，则X～B（3，），∴P（X≤2）＝1﹣P（X＝3）＝1﹣（）3＝．故选：D．7．2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F6人（其中A是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为（）A．36种B．48种C．56种D．72种【分析】解：根据题意，分2步进行分析：①领导和队长站在两端，由排列数公式计算可得其排法数目，②中间5人分2种情况讨论：若BC相邻且与D相邻，若BC相邻且不与D相邻，由加法原理可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①领导和队长站在两端，有A22＝2种情况，②中间5人分2种情况讨论：若BC相邻且与D相邻，有A22A33＝12种安排方法，若BC相邻且不与D相邻，有A22A22A32＝24种安排方法，则中间5人有12+24＝36种安排方法，则有2×36＝72种不同的安排方法；故选：D．8．甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队不超过4场即获胜的概率是（）A．0.18B．0.21C．0.39D．0.42【分析】甲队不超过4场即获胜包含的情况有2种：①甲连胜3场，②前三场甲两胜一负，第四场甲胜，由此利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出甲队不超过4场即获胜的概率．解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队不超过4场即获胜包含的情况有2种：①甲连胜3场，②前三场甲两胜一负，第四场甲胜，则甲队不超过4场即获胜的概率是：P＝0.6×0.6×0.5+（0.4×0.6×0.5+0.6×0.4×0.5+0.6×0.6×0.5）×0.5＝0.39．故选：C．9．电路从A到B上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率为，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用对立事件概率加法公式和相互独立事件事件概率公式能求出从A到B连通的概率．解：∵电路从A到B上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率为，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是：P＝（1﹣）×[1﹣（1﹣）（1﹣）]＝．故选：B．10．已知f（x）＝alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立”转换成f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2，构造函数h（x）＝f（x）﹣2x，根据增减性求出导函数，即可求出a的范围．解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，假设x1＞x2，f（x1）﹣f（x2）＞2x1﹣2x2，即f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2对于任意x1＞x2＞0成立，令h（x）＝f（x）﹣2x，h（x）在（0，+∞）为增函数，∴h'（x）＝+x﹣2≥0在（0，+∞）上恒成立，+x﹣2≥0，则a≥（2x﹣x2）max＝1故选：D．11．已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X≤0）＝P（X≥a），则（1+ax）3•（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．680B．640C．180D．40【分析】先根据正态分布曲线的性质，求出a的值，然后结合两个二项式的通项求出含x4的项．解：因为随机变量X～N（1，σ2），且P（X≤0）＝P（X≥a），所以a＝2，代入可得，该式展开式中含x4的项为：+＝40x4+640x4＝680x4．故x4的系数为680．故选：A．12．在R上的可导函数，极大值点x1∈（0，1），极小值点x2∈（1，2），则的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】求出导函数，由当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取得极小值求出f′（0），f′（1），f′（2），判断出它们的符号，得到所求的范围即可．解：f′（x）＝x2+ax+2b，由函数当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取得极小值：f′（0）＝2b＞0；f′（1）＝1+a+2b＜0；f′（2）＝4+2a+2b＞0；根据条件，画出满足条件的平面区域，而表示平面区域内的点与过P（1，2）的直线的斜率，结合图象，K AP＝，K PC＝1，所以∈（，1），故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，甲、乙至少有1人入选的不同选法的种数为64．【分析】根据题意，用间接法分析：先计算从10名大学毕业生中选3个人的选法，再计算其中甲乙都没有入选的选法，分析可得答案．解：根据题意，从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，有C103＝120种选法，其中甲乙都没有入选的选法有C83＝56种，则甲、乙至少有1人入选的不同选法有120﹣56＝64种；故答案为：6414．定积分（+2x﹣）的值1．【分析】采用分项积分，（+2x﹣）＝（）+（2x﹣），其中（）表示个单位圆的面积，即；根据定积分的运算法则求出（2x ﹣）的值，再将两者相加即可得解．解：（+2x﹣）＝（）+（2x﹣），（）表示个单位圆的面积，即；（2x﹣）＝＝1﹣，所以原式＝+（1﹣）＝1．故答案为：1．15．已知（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1（x+1）+…+a5（x+1）5，则a1+a3+a5＝1．【分析】由（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1（x+1）+…+a5（x+1）5，令x＝0可得：2＝a0+a1+…+a5；令x＝﹣2可得：0＝a0﹣a1+a2+…﹣a5．相减即可得出．解：由（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1（x+1）+…+a5（x+1）5，令x＝0可得：2＝a0+a1+…+a5；令x＝﹣2可得：0＝a0﹣a1+a2+…﹣a5．相减可得：2（a1+a3+a5）＝2，则a1+a3+a5＝1．故答案为：1．16．已知函数f（x）＝x+e x﹣a，g（x）＝1n（x+2）﹣4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0，使f（x0）﹣g（x0）＝3成立，则实数a的值为﹣1﹣ln2．【分析】令f（x）﹣g（x）＝x+e x﹣a﹣1n（x+2）+4e a﹣x，从而可证明f（x）﹣g（x）≥3，从而解得．解：令f（x）﹣g（x）＝x+e x﹣a﹣1n（x+2）+4e a﹣x，令y＝x﹣ln（x+2），y′＝1﹣＝，故y＝x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，故当x＝﹣1时，y有最小值﹣1﹣0＝﹣1，而e x﹣a+4e a﹣x≥4，（当且仅当e x﹣a＝4e a﹣x，即x＝a+ln2时，等号成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故x＝a+ln2＝﹣1，即a＝﹣1﹣ln2．故答案为：﹣1﹣ln2．三、解答题（解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，第17-21题每题12分，选做题10分，共70分.）17．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，写出它的分布列，计算数学期望值；（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X＝0）＝（1﹣）×（1﹣）（1﹣）＝，P（X＝1）＝×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×＝，P（X＝2）＝（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）＝，P（X＝3）＝××＝；所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望为E（X）＝0×+1×+2×+3×＝；（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z＝1）＝P（Y＝0，Z＝1）+P（Y＝1，Z＝0）＝P（Y＝0）•P（Z＝1）+P（Y＝1）•P（Z＝0）＝×+×＝；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，△PAB为等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，Q为PB中点．（1）求证：AQ⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【分析】（1）推导出AB⊥BC，从而BC⊥平面PAB，进而BC⊥AQ，再求出PB⊥AQ，由此能证明AQ⊥平面PBC．（2）取AB中点为O，连接PO，推导出PO⊥AB，PO⊥平面ABCD，OD⊥AB．以AB 中点O为坐标原点，分别以OD，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）因为AB∥CD，∠BCD＝90°，所以AB⊥BC，又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面PAB，（1分）又AQ⊂平面PAB，所以BC⊥AQ，因为Q为PB中点，且△PAB为等边三角形，所以PB⊥AQ，又PB∩BC＝B，所以AQ⊥平面PBC．解：（2）取AB中点为O，连接PO，因为△PAB为等边三角形，所以PO⊥AB，由平面PAB⊥平面ABCD，因为PO⊂平面PAB，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OD，由AB＝2BC＝2CD＝4，∠ABC＝90°，可知OD∥BC，所以OD⊥AB．以AB中点O为坐标原点，分别以OD，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．所以A（0，﹣2，0），D（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2），B（0，2，0），则＝（﹣2，0，2），＝（0，﹣2，0），因为Q为PB中点，所以Q（0，1，），由（1）知，平面PBC的一个法向量为＝（0，3，），设平面PCD的法向量为＝（x，y，z），由，取z＝1，得＝（），由cos＜＞＝＝＝．因为二面角B﹣PC﹣D为钝角，所以，二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣．19．近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：土地使用面积12345 x（单位：亩）管理时间y（单810132524位：月）并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x，求x的分布列及数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828参考数据：≈25.2【分析】（1）分别求出＝3，＝16，从而＝10，＝254，＝47，求出＝≈0.933，从而得到管理时间y与土地使用面积x线性相关．（2）完善列联表，求出K2＝18.75＞10.828，从而有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，由此能求出X的分布列和数学期望．解：（1）依题意＝＝3，＝＝16，故＝4+1+1+4＝10，＝64+36+9+81+64＝254，＝（﹣2）×（﹣8）+（﹣1）×（﹣6）+1×9+2×8＝47，则＝≈0.933，故管理时间y与土地使用面积x线性相关．（2）依题意，完善表格如下：愿意参与管理不愿意参与管理总计男性村民15050200女性村民5050100总计200100300计算得K2的观测值为：＝＝＝18.75＞10.828，故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）依题意，x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，故X的分布列为：X0123P则数学期望为：E（X）＝+3×＝．20．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，直线FM的斜率为，且原点到直线FM的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不经过点F的直线l：y＝kx+m（k＜0，m＞0）与椭圆C交于A，B两点，且与圆x2+y2＝1相切．试探究△ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）可设F（c，0），M（0，b），由直线的斜率公式和点到直线的距离公式，解方程可得b，c，进而得到a，可得椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（x1＞0，x2＞0），运用勾股定理和点满足椭圆方程，求得|AQ|＝x1，同理可得|BQ|＝x2，再由焦半径公式，即可得到周长为定值．解：（1）可设F（c，0），M（0，b），可得﹣＝﹣，直线FM的方程为bx+cy＝bc，即有＝，解得b＝1，c＝，a＝，则椭圆方程为+y2＝1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（x1＞0，x2＞0），连接OA，OQ，在△OAQ中，|AQ|2＝x12+y12﹣1＝x12+1﹣﹣1＝x12，即|AQ|＝x1，同理可得|BQ|＝x2，∴|AB|＝|AQ|+|BQ|＝（x1+x2），∴|AB|+|AF|+|BF|＝（x1+x2）+﹣x1+﹣x2＝2，∴△ABF的周长是定值2．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣2ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）内单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2＞．【分析】（I）令f′（x）≤0恒成立，分离参数得出4a≥，利用函数单调性求出函数g（x）＝的最大值即可得出a的范围；（II）令＝t，根据分析法构造关于t的不等式，再利用函数单调性证明不等式恒成立即可．解：（I）f′（x）＝lnx﹣4ax+2，若f（x）在（0，+∞）内单调递减，则f′（x）≤0恒成立，即4a≥在（0，+∞）上恒成立．令g（x）＝，则g′（x）＝，∴当0＜x＜时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴g（x）的最大值为g（）＝e，∴4a≥e，即a≥．∴a的取值范围是[，+∞）．（II）∵f（x）有两个极值点，∴f′（x）＝0在（0，+∞）上有两解，即4a＝有两解，由（1）可知0＜a＜．由lnx1﹣4ax1+2＝0，lnx2﹣4ax2+2＝0，可得lnx1﹣lnx2＝4a（x1﹣x2），不妨设0＜x1＜x2，要证明x1+x2＞，只需证明＜，即证明＞lnx1﹣lnx2，只需证明＞ln，令h（x）＝﹣lnx（0＜x＜1），则h′（x）＝＜0，故h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1）＝0，即＞lnx在（0，1）上恒成立，∴不等式＞ln恒成立，综上，x1+x2＞．选做题：考生需从第22题和第23题中选--道作答[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）设点M的极坐标为，求△ABM面积的最小值．【分析】（Ⅰ）利用参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化关系直接求解可；（Ⅱ）先表示出△ABM的面积，再利用余弦函数的有界性求解即可．解：（Ⅰ）将曲线C1化为普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，又，则曲线C1的极坐标方程为ρ1＝2cosθ；又根据题意有ρ1ρ2＝8，可知，即为曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）由＝，而cos2θ≤1，故△ABM面积的最小值为2．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|，x∈R．（1）当a＝4时，求不等式f（x）＞9的解集；（2）对任意x∈R，恒有f（x）≥5﹣a，求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝4代入f（x）中，然后将f（x）写为分段函数的形式，再根据f（x）＞9，分别解不等式可得解集；（2）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，然后根据对任意x∈R，恒有f（x）≥5﹣a，可得f（x）min≥5﹣a，再解关于a的不等式可得a的范围．解：（1）当a＝4时，f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣4|＝．∵f（x）＞9，∴或，∴x＜﹣1或，∴不等式的解集为；（2）∵f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|≥|（2x﹣1）﹣（2x﹣a）|＝|a﹣1|，∴f（x）min＝|a﹣1|．∵对任意x∈一、选择题，恒有f（x）≥5﹣a，∴f（x）min≥5﹣a，即|a﹣1|≥5﹣a，∴a≥3，∴a的取值范围为[3，+∞）．。