d 1 - 3
对内壁
K 2 1 1 i 2 p， 3 ri -p K -1 2K 2p d 1 - 3 2 K -1 K 2 -1 p 2 2K p max
因而
相应对载荷的限制为：
或
K 2 -1 2K 2
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第三章 当 K 时，p max 0.5 ，其含义是， 对厚壁圆筒，其壁厚的无限增加只能换来允许承受载 荷的有限增加。即用增加壁厚来增大承载能力是有限 和有条件的。在应力低的筒体外壁处增大壁厚，对筒 体提高承载能力作用不大，甚至造成浪费或其他问题。 多层板厚壁筒体及绕带筒体的采用，可以有效 地避开单层厚壁筒体的上述局限性。
2
(3-46)
整理并略去高阶无穷小量，且： d d sin 2 2
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故得出 ： r dr rd r dr 0
r r
d r 0 (3-46a) dr
' b u du
c'
c d
d
d'
b a
这就是微元体的平衡方程。 微元体各面的位移情况如图 3-18所示。若坐标为r的圆柱面ad 径向位移为u，坐标为（r+dr）的 圆柱面bc径向位移为u+du，则微 元体的径向应变为：
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三、与薄壁圆筒壳应力公式的比较 厚壁圆筒应力计算公式可以用于任何壁厚的承受内压圆筒，是比较 精确地公式。 比较厚壁圆筒应力计算公式与薄壁圆筒壳应力计算公式，对 第三章 了解圆筒壳应力计算公式的精确度和适用范围是十分有益的。 以环向应力为例，圆筒壳环向薄膜应力为：
R0 - Ri r K -1 r
(3-50)
2 2 Ri2 p R0 p R0 2 2 (1 2 ) 2 (1 2 ) R0 - Ri r K -1 r
应力最大点在圆筒体内壁上：
ri -p
(3-51)
i i
K 2 1 K 2 -1 1 K 2 -1
dr
2

r dr
0
(3-46f)就是求解微元体应力的微元方程。
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第三章 将式（3-46f）整理并积分得：
(3-47) 将 代入式(3-46a)得：
r
1 r C1 C2 2 r 1 C1 C2 2 r
(3-48) 式中，C1 ， C2 为积分常数，可根据边界条件确定。厚壁圆筒承受 内压时，边界条件为： r Ri时， ri -p
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第三章
第四节 厚壁圆筒在内压作 用下的应力
一、圆平板在内压作用下的弯曲 一、厚壁壳体的应力特点 二、绕度微分方程及其求解 二、轴向应力分析 三、径向应力分与环向应力分析 四、厚壁与薄壁圆筒应力公式的比较 五、单层厚壁圆筒应力承载的局限性
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p p
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2P K 2 -1
第三章 应力最小的点在圆筒 外壁上：

r0 0 0 K 2 -1 p
2
K 2 1 K 2 -1
p
P K 2 -1
p
0
1 K 2 -1
p

其应力沿壁厚的分布 如图3-19所示。

图3-19 承受内压厚壁圆筒的应力分布
r R0时， r0 0
因而
Ri2 C1 p 2 R0 - Ri2
2 R0 Ri2 C2 2 p 2 R0 - Ri
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厚壁圆筒体承受内压时的径向应力和环向应力分别为： (3-49) 2 2 第三章 Ri2 p R0 p R0 r 2 (1 - 2 ) 2 (1 - 2 ) 2

Ri2 p 2 p 2 2 R0 - Ri K -1
(3-45)
2 （R0 Ri2） pRi2 0
R0 ，Ri——厚壁圆筒体的外半径及内半径； K——厚壁圆筒体外半径与内半径之比； P——内压。
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——轴向应力；
三、环向应力 和径向应力 r
i 0
K 2 1 p 2 K 2 1 K 1 2 2 p K 2 -1
(3-35)
随着厚壁增大，K值增加，内壁和外壁处应力的差异加大， 见表3-2。 表3-2 厚壁圆筒内外壁面应力比随K的变化
K
i 0

1.2
1.3
1.4
1.6
1.8
2.0
2.5
3.0
1.11
1.22

pR


p(R 0 Ri ) K 1 p 2(R 0 Ri ) 2(K - 1)
式中，R为圆筒壳平均半径。 若以厚壁圆筒应力公式进行计算，其最大环向应力为：
K 2 1 max i 2 p K -1
max
K 2 1 2 （ 2 K 2 1 ） K 1 p 2 K 1 （K 1 ） 2(K - 1)
第三章 随半径r的变化规律，必须借助于微 元体，考虑其平衡条件及变形条件 ，进行综合分析。如图3-17所示。
微单元体 b

r d r
c

a
dr
d
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ba

r
r
dr
d r
c d

d 2
厚壁圆筒 图3-17 厚壁圆筒微元体受力情况
r
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第三章 进而得出：
d 1 d d ( r) dr E dr dr 1 1 ( r ) ( r ) r rE
将上述公式代入公式(3-46d) 得 d d r 1 ( r ) (3-46e) dr dr r 式（3-46e）是根据微元体的几何变化关系及物理关系得出 的补充方程，将其与式（3-46a）联立并整理，得： d 2 r 3 d r
即
d 1 du u 1 du u 2 ( ) dr r dr r r dr r d 1 ( r ) dr r
(3-46d)
式（3-46d）称做微元体的变形协调方程，表示微元体 径向位移和环向位移的互相制约关系。根据广义虎克定律， 有： 1 1 r [ r ( )] [ ( r )] E E
可以看出，在K≦1.2时，用圆筒壳应力公式算得的环向应力 是十分接近按厚壁圆筒应力公式算得的最大环向应力的。薄 壁及厚壁圆筒分别按第三强度理论计算得到的当量应力，在 K值较小时，也比较接近。
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四、单层厚壁圆筒承载的局限性 （一）单层厚壁承内压圆筒的内外壁面应力不均，随K的增 第三章 加而增加，仍以环向应力为例：
第三章
•
第四节 厚壁圆筒在内压作用 下的应力
锅炉及中、低压容器中采用的各类圆筒形受压元件， 一般都是按薄壁圆筒进行应力分析和强度计算的，这样 处理通常能满足安全使用的要求。 如前所述，厚壁与薄壁是相对的，并没有一个严格 的界限。实际采用的圆筒形元件都有一定的壁厚，严格 的讲，应力沿壁厚并不是均匀分布的，把实际圆筒形元 件看做薄壁圆筒壳是一种近似处理，存在着误差。壁厚 越厚，这种误差就越大。对于高压容器及某些特定情况， 为了严格、精确地进行安全设计和安全评定，必须按厚 壁圆筒体进行应力分析，了解应力沿壁厚的分布情况。
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第三章
p
二、轴向应力
厚壁圆筒两端 封闭承受内压时， 在远离端部的横截 面中，其轴向应力 可用截面法求得。 如图3-16所示，
图3-16

p
D1=2R1 D0=2R0


厚壁圆筒的轴向应力
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第三章
假定将圆筒体横截成两部分，考虑 其中一部分轴向力的平衡，有：
r
(u du ) u du dr dr
u
a'
dr
r
(3-46b)
图3-18 厚壁圆筒微元体变形情况
微元体的环向应变为：
(r u )d rd u rd r
(3-46c)
式（3-46b）和式（3-46c）就是微元体的几何方程，它 第三章 表明微元体的径向应变和环向应变均取决于径向位移。 由（3-46c）对r求导得出：
（3-52）
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第三章

max
随K值的增加而增加，见表3-1
表3-1 圆筒壳环向应力与厚壁圆筒最大环向应力的比较 K
max
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.5
3.0
1.000 1.008 1.028 1.053 1.082 1.111 1.184 1.250
r
d 2
第三章
在圆筒体半径为r处，以相距dr的二环向截面及夹角 d 的二径向截面截取任一微元体，其微元体在轴向的长度为1。 由于轴向应力对径向应力的平衡没有影响，所以图中未标出 轴向应力。 根据半径r方向力的平衡条件，有： d ( r d r )(r dr )d - r rd - 2 dr sin 0
变形
*里层材料的约束 *外层材料的限制
2、径向应力沿壁厚非均匀分布