p i Ri2 − p 0 R02 A= R02 − Ri2
B=
( pi − p0 )Ri2 R02
R02 − Ri2
13
2.3 厚壁圆筒应力分析
周向应力
pi Ri2 − p 0 R02 ( pi − p 0 )Ri2 R02 1 σθ = + 2 2 R0 − Ri R02 − Ri2 r2
2 pi Ri2 − p 0 R0 ( pi − p 0 )Ri2 R02 1 σr = − 2 2 R0 − Ri R02 − Ri2 r2
热应 力
σ
t r
任意半径r 处
pt −
圆筒内壁Kr = K 处 圆筒外壁Kr =1处 0 0
2K 2 K 2 −1
σθ
t
( P(
(
ln Kr ln K
+
2 Kr −1 K 2 −1
1−ln K r t ln K
− K 2 −1
dσ r σθ −σ r = r dr
θ
2
=0
（2-26） ）
8
2.3 厚壁圆筒应力分析
c. 几何方程 (应力－应变） 应力－ 应力 应变）
m'1 n' 1 w+d +dw +d n
m
1
1
m' w m n
n'
d θ
r
图2-16 厚壁圆筒中微元体的位移
9
2.3 厚壁圆筒应力分析
c. 几何方程（续） 几何方程（ 径向应变 周向应变
dσ r dr
d 2σ r dσ r r 2 +3 = 0 （2－33） － ） dr dr
B σr = A− 2 ; r
B σθ = A + 2 r
12
2.3 厚壁圆筒应力分析
边界条件为：当 r = Ri 时，σr = − pi ； 当 r = R0 时，σ r = − p0 。
由此得积分常数A和 为 由此得积分常数 和B为：
πRi2 p i − πR02 p 0 p i Ri2 − p 0 R02 σz = = 2 2 π (R0 − Ri ) R02 − Ri2
） ＝ A （2-25）
6
2.3 厚壁圆筒应力分析
2、周向应力与径向应力 、 由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时， 由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着 手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。 分析其应力和变形及它们之间的相互关系。 a. 微元体 b. 平衡方程 c. 几何方程 (位移－应变） (位移 应变） 位移－ d. 物理方程（应变－应力） 物理方程（应变－应力） e. 平衡、几何和物理方程综合 求解应力的微分方程 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程 （求解微分方程，积分，边界条件定常数） 求解微分方程，积分，边界条件定常数）
（2-29）
11
2.3 厚壁圆筒应力分析
e. 平衡、几何和物理方程综合 求解应力的微分方程 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程
εr =
1 [σ r − µ (σ θ + σ z )] E 1 ε θ = [σ θ − µ (σ r + σ z )] E
dε θ 1 + µ (σ r − σ θ ) = dr rE
应力
7
2.3 厚壁圆筒应力分析
a. 微元体 如图2 15(c)、(d)所示 由圆柱面mn 所示， mn、 和纵截面mm 如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1组 微元在轴线方向的长度为1单位。 成，微元在轴线方向的长度为1单位。 b. 平衡方程
(σ r + dσ r )(r + dr)dθ −σ r rdθ − 2σθ drsin
(σ θ )r =R =R (σ θ )r = R
0
=
i
2 K 2 +1
19
例题
20
讨论
21
2.3 厚壁圆筒应力分析
二、温度变化引起的弹性热应力
1、热应力概念 、 2、厚壁圆筒的热应力 、 3、内压与温差同时作用引起的弹性应力 、 4、热应力的特点 、
22
2.3 厚壁圆筒应力分析
1、热应力概念 因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束， 因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体内 所引起的应力，称为热应力。 所引起的应力，称为热应力。 单向约束： 单向约束：
径向应力
（2-34）
轴向应力
p i Ri2 − p 0 R02 σz = R02 − Ri2
称Lamè（拉美）公式
14
2.3 厚壁圆筒应力分析
表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值
受力 位 应 力
情况
置 分 析
仅受内压 仅受外压 po=0 pi=0 任意半径 r 内壁处 外壁处 任意半径 r 内壁处 r=Ri r=Ro r=Ri 处 处
（详细推导见文献[11]附录）
26
2.3 厚壁圆筒应力分析
2、厚壁圆筒的热应力
1 − ln K r K r2 + 1 Eα∆t t 周向热应力 σ θ = − 2 2(1 − µ ) ln K K − 1 ln K r K r2 − 1 Eα∆t t − 径向热应力 σ r = + 2 2(1 − µ ) ln K K − 1 Eα∆t 1 − 2 ln K r 2 t 轴向热应力 σ z = − 2 2(1 − µ ) ln K K − 1
2.3 厚壁圆筒应力分析
②在数值上有如下规律： 在数值上有如下规律： 有最大值，其值为： 内壁周向应力 σ θ 有最大值，其值为： σ θ max 外壁处减至最小，其值为： 外壁处减至最小，其值为： 内外壁 σ θ 之差为 p i ；
σ θ min
K 2 +1 = pi 2 K −1 2 = pi 2 K −1
2 Ro 1− 2 K −1 r 2
外壁处 r=Ro
− po
K 2 +1 − po 2 K −1
σr
σθ
pi
− pi
K +1 Pi 2 K −1
2
0
2 pi 2 K −1
− po K 2 Ri2 1− 2 K −1 r 2 − po K 2 Ri2 1+ 2 K −1 r 2
dε θ 1 dσ θ dσ r = −µ dr E dr dr
ε r − εθ =
1+ µ [σ r − σ θ ] E
dε θ 1 = (ε r − ε θ ) dr r
dσ θ dσ r 1 + µ (σ r − σ θ ) −µ = dr dr r
σθ −σ r = r
3
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
p0
po pi
研究在内压、 研究在内压、 外压作用下， 外压作用下， 厚壁圆筒中的 应力。 应力。
po
pi
a.
b.
r
m1 n1 m pi n
θ
m1 m
d r + dr dr
n1drn来自rθRi c.
Ro d.
图2-15 厚壁圆筒中的应力
4
r
2.3 厚壁圆筒应力分析
增加， 径向应力内壁处为 − pi ，随着 r 增加， 径向应力绝对值 逐渐减小， 逐渐减小，在外壁处 σ r =0； ； 轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布， 轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力 和的一半， 和的一半，即
1 σ z = (σ θ + σ r ) 2
18
2.3 厚壁圆筒应力分析
厚壁容器： 厚壁容器： 应力
Do / Di > 1.1 − 1.2
径向应力不能忽略，处于三向应力状态；应力 径向应力不能忽略，处于三向应力状态； 是半径的函数。 仅是半径的函数。 周向位移为零，只有径向位移和轴向位移 周向位移为零， 径向应变、轴向应变和周向应变 径向应变、
位移 应变
分析方法
8个未知数，只有2个平衡方程，属静不定问 个未知数，只有 个平衡方程 个平衡方程， 个未知数 需平衡、几何、物理等方程联立求解。 题，需平衡、几何、物理等方程联立求解。
σθ min = pi
2 K2 −1
z
pi σz = K 2 −1
σ r min = 0
σ rr min
=0
σ r max = − p i
σ z = − p0
rK2
K2 −1
σ r max = − p 0
σ
θ min
= p0
K2 +1 K 2 −1
2K 2 σθ max = − p0 K 2 −1
(a)仅受内压
(b)仅受外压
16
图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布
2.3 厚壁圆筒应力分析
仅在内压作用下，筒壁中的应力分布规律： 仅在内压作用下，筒壁中的应力分布规律： 均为拉应力（正值）， ①周向应力 σθ 及轴向应力 σ z 均为拉应力（正值）， 为压应力（负值）。 径向应力 σ r 为压应力（负值）。
17
0
2K 2 − po 2 K −1
2 Ro 1+ K 2 −1 r 2
pi
σz
1 pi 2 K −1
K2 − po 2 K −1
15
2.3 厚壁圆筒应力分析
z
K2 +1 σ θ max = pi K2 −1
(w + dw) − w = dw εr =