7 – 3 稳恒磁场的基本性质
第七章 稳恒磁场
四 安培环路定理的应用举例
例1 求长直密绕螺线管内磁场
解 1 ) 对称性分析螺旋管内为均匀场 , 方向沿
轴向, 外部磁感强度趋于零 ，即 B 0 .
7 – 3 稳恒磁场的基本性质
第七章 稳恒磁场
2 ) 选回路 L .
磁场 B 的方向与
电流 I 成右螺旋.
s
B dS B dS
S
S
-Br 2
7 – 3 稳恒磁场的基本性质
第七章 稳恒磁场
例 如图载流长直导线的电流为 I ,
形面积的磁通量.
解 先求
试求通过矩 B ，对变磁场
B
给B出dΦ后0I 积分求BΦ// S
I
l
2π x dΦ BdS
0I
ldx

M
NB
++++++++++++
P
LO

B dl B dl B dl BPM
B MN 0nMNI B 0nI
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场 为零.
7 – 3 稳恒磁场的基本性质
第七章 稳恒磁场
例3 无限长载流圆柱体的磁场
I
解 1）对称性分析 2）选取回路
RR

rR
Bdl l
0I
L
2π rB 0I
B 0I
2π r
r B
0 r R
l
B
d
l

0
π π
r2 R2
I

I . dB
2π
rB

0r2
R2
I
B

0Ir
2π R2
dI B
第七章 稳恒磁场
例2
求载流螺绕环内的磁场

解 1） 对称性分析； 环内 B
线为同心圆，环外 B 为零.
2）选回路 .
l B dl 2π RB 0NI
B 0NI
d
2π R
R
令 L 2πR B 0 NI L
当 2R d 时，螺绕环内可视为均匀场 .
7 – 3 稳恒磁场的基本性质
n
B dl 0 Ii
i 1
• 以无限长载流直导线为例
7 – 3 稳恒磁场的基本性质
第七章 稳恒磁场
载流长直导线的磁感强
度为 B 0I
2π R
I
B
dl
l
B

dl


0
2π
I dl R
oR
l
B dl
0I
dl
l
2π R l

B dl
（2）磁感应线和载流回路互相套合（每条磁感应线 至少围绕一根载流导线）
（3）任两条磁感应线不相交
7 – 3 稳恒磁场的基本性质 二 磁通量 磁场的高斯定理
第七章 稳恒磁场
S B
B N S
磁场中某点处垂直B矢量 的单位面积上通过的磁感 线数目等于该点 B的数值.
7 – 3 稳恒磁场的基本性质
7 – 3 稳恒磁场的基本性质
第七章 稳恒磁场

Bdl
L

0 (I1

I1
I1
I2)

（0 I1

I
）
2
I1
I2 I3
I1
L
I1

问 1）B 是否与回路 L 外电流有关？


2）若 B d l 0 ，是否回路 L上各处 B 0？ L
是否回路 L 内无电流穿过？

enB
B
s s

B
dS

B
s
第七章 稳恒磁场
磁通量：通过某一曲
面的磁感线数为通过此曲
面的磁通量.
Φ BS cosBS
Φ

B

S
B
en
S
dΦ B dS
dΦ BdS cos
Φ s BdS
单位 1Wb 1T 1m2
7 – 3 稳恒磁场的基本性质
第七章 稳恒磁场
比一比：静电场高斯定理与磁场高斯定理
qi
E dS
i
0

B dS 0
有源场，存 在正负电荷
无源场，不存 在正负磁荷
7 – 3 稳恒磁场的基本性质
第七章 稳恒磁场
求通过S的磁通量

B dS 0

B dS B dS 0 S S

0I
d
2π r
2π

B dl
l
0I
7 – 3 稳恒磁场的基本性质
第七章 稳恒磁场
电流在回路之外
B1
B2
d
I
r1
dl1
dl2
r2
l
B1

0I
2π r1
，
B2

0I
2π r2
B1
dl1

B2
dl2


0I
2π
d
B1 dl1 B2 dl2 0

l B d l 0
7 – 3 稳恒磁场的基本性质
第七章 稳恒磁场
多电流情况
I1
I2
I3
l

B B1 B2 B3

Bdl
l
0(I2
I3)
以上结果对任意形状
的闭合电流（伸向无限远 的电流）均成立.
安培环路定理

n
B dl 0 Ii
7 – 3 稳恒磁场的基本性质
第七章 稳恒磁场
一 磁感线
规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感 强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强度 B 的大小.
I
I
I
7 – 3 稳恒磁场的基本性质
I S
S N
第七章 稳恒磁场
I N
磁感应线的特点 （1）磁感应线是旋涡状的闭合曲线或两端伸向无穷 远处
i 1
7 – 3 稳恒磁场的基本性质
第七章 稳恒磁场
安培环路定理

n
B dl 0 Ii
i 1

一闭合即路在径真的空积的分稳的恒值磁，场等中于，磁0感乘应以强该度闭合B 路沿径任
所包围的各电流的代数和.
注意
电流 I 正负的规定 ：I 与 L 成右螺旋时， I 为正；反之为负.
7 – 3 稳恒磁场的基本性质
第七章 稳恒磁场

B 的方向与 I 成右螺旋
0 r R,
B

0Ir
2π R2
r R,
B 0I
2π r
I
0I B
2π R
R
oR r
7 – 3 稳恒磁场的基本性质
第七章 稳恒磁场
例4：求无限大平面电流的磁场分布。已知面电流
密度（通过与电流方向垂直的单位长度的电流）到
处均匀，大小为j
• 解：无限大平面电流可看成是无限多根平等排列 的长直电流所组成。
• 根据对称性分析，取积分环路abcda
d a
LB dl c B dl d B dl b c
a B dl b B dl
B 2l 0 jl
l
0I
设闭合回路 l 为圆形 回路（l 与 I成右螺旋）
7 – 3 稳恒磁场的基本性质
第七章 稳恒磁场
I
B
dl
oR
l
d
dl
B
Ir
l
l 与 I 成右螺旋
若回路绕向化为逆时针时，则
l
B

dl


0I
2π
2π
0
d

0I
对任意形状的回路
B dl

0I
rd

B dS1
1 B1
S
B2

2
dS2
磁场高斯定理
第七章 稳恒磁场
dΦ1 B1 dS1 0
dΦ2 B2 dS2 0
SB cosdS 0
S B d S 0
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必等于零
（故磁场是无源的.）
7 – 3 稳恒磁场的基本性质
2π x
d1 d2
Φ
S
B dS

0Il
2π
d2
d1
dx x
o
x
Φ 0Il ln d2
2π d1
7 – 3 稳恒磁场的基本性质
第七章 稳恒磁场
三 磁场的安培环路定理
• 安培环路定理：在恒定磁场中，磁感应强度沿任何
闭合环路的线积分，等于穿过该环路的所有电流的
代数和的μ0倍，即