澳瀚教育学习是一个不断积累的过程，不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海，在学习中一定要持之以恒，相信自己，你一定可以获得成功！高中数学一、定义1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn a a mn -- 定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )二．例题讲解。

一.基本问题例1：在等差数列{}n a 中 111111(1)(1)2()2, (1)(1)2()2, .m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明：（1）已知3315=a ，15345=a ，求61a （2）已知488=S ，16812=S ，求1a 和d （3）已知316=a ，求31S变式：（1）（2008陕西）已知{}n a 是等差数列，421=+a a ，2887=+a a ，则该数列的前10项的和等于（ ）A. 64B. 100C. 110D. 120(2) (2008广东)记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211=a ，204=S ，则=6S （ ） A. 16 B. 24 C. 36 D. 48例2：在等差数列{n a }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a .例3： 等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80. 求通项 n a二.性质的应用例1：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146。

，且所有项的和为390，则这个数列有_____项（2）已知数列{}n a 的前m 项和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是______ （3）设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和，若对于任意的*N n ∈，都有27417++=n n T S n n ，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比为________变式：（1）已知等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程0162=--x x 的两根，则_____1110987=++++a a a a a （2）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为{}n A 和{}n B ，且3635++=n n B A n n ，则使得nn b a为整数的正整数n 的个数是________三.等差数列的判定例1：已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足)2(21≥=-n S S a n n n ，11=a（1）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列（2）求n a 的表达式变式：数列{}n a 中，211=a ，11+=+n n n a a a ，求其通项公式三、考点解析类型一：直接利用等差数列的定义、公式求解例1.（1）求等差数列3，7，11，……的第11项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 思路点拨:（1）根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项；（2）题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数.总结升华：1.根据所给数列的前2项求得首项1a 和公差d ，写出通项公式n a .2.要注意解题步骤的规范性与准确性. 举一反三：【变式1】求等差数列8，5，2…的第21项 【变式2】－20是不是等差数列0，72-，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.【变式3】求集合*{|7,,100}M m m n n N m ==∈<的元素的个数，并求这些元素的和 类型二：根据公式列方程（组）求解例2．已知等差数列{}n a 中，1533a =，45153a =，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。

思路点拨:由于在条件中已知两项的值（两个等式），所以在求解方法上，可以考虑运用方程思想求解基本量首项1a 和公差d ，也可以利用性质求d ，再就是考虑运用等差数列的几何意义。

总结升华：1. 等差数列的关键是首项1a 与公差d ；五个基本量1a 、n 、d 、n a 、n S 中，已知三个基本量便可求出其余两个量；2.列方程（组）求等差数列的首项1a 和公差d ，再求出n a 、n S ，是数列中的基本方法. 举一反三：【变式1】等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 【变式2】等差数列{}n a 中, 4d =, 18n a =, 48n S =,求1a 的值. 【变式3】已知等差数列{}n a ，354a =，734a =-，则15a = 。

类型三：等差数列的判断与证明例3.已知数列{}n a 的前n 项和为243n S n n =+，求证：数列{}n a 为等差数列.思路点拨:由等差数列的定义，要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1--n n a a （2n ≥）是不是一个与n 无关的常数。

总结升华：1. 定义法和等差中项法是证明等差数列的常用方法.2. 一般地，如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么当常数项0r =时，这个数列一定是等差数列；当常数项0r ≠时，这个数列不是等差数列，但从第二项开始的新数列是等差数列.举一反三：【变式1】已知数列{}n a 的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？【变式2】已知数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+（*n N ∈），求证：1{}na 是等差数列。

类型四：利用等差数列的性质例4. 已知等差数列}{n a 中，若381312a a a ++=,381328a a a =,求}{n a 的通项公式。

思路点拨:可以直接列方程组求解1a 和d ；同时留意到脚标31382+=⨯，可以用性质：当2m n p +=时2m n p a a a +=解题.总结升华：利用等差数列的性质解题，往往比较简捷.举一反三：【变式1】在等差数列}{n a 中，2818a a +=，则5a =【变式2】在等差数列}{n a 中，2581120a a a a +++=，则67a a +=【变式3】在等差数列}{n a 中，若169a a +=,47a =, 则3a = , 9a = 例5．等差数列}{n a 前m 项和为30，前2m 项和为100，求它的前3m 项和. 思路点拨:利用等差数列的前n 项和公式d n n na S n 2)1(1-+=求解；或利用性质：“等差数列的连续10项和构成一个新的等差数列”和等差中项求解；或利用相关的函数（2n S An Bn =+）等知识求解。

解析：方法一：利用等差数列的前n 项和公式d n n na S n 2)1(1-+=求解。

方法二：利用等差数列前n 项和公式2)(1n n a a n S +=及性质m n p q +=+,则m n p qa a a a +=+求解。

方法三：根据性质：“已知{a n }成等差数列，则S n ,S 2n -S n , S 3n -S 2n ,……,S kn -S (k-1)n ,……(k ≥2)成等差数列”解题。

方法四：由d n n na S n 2)1(1-+=的变形式解题，由上式知，2)1(1dn a n S n -+= 方法五：∵{a n }为等差数列， ∴设2n S An Bn =+ ∴S m =am 2+bm=30,S 2m =4m 2a+2mb=100, 得220A m =，10B m= ∴S 3m =9m 2a+3mb=210.举一反三：【变式1】等差数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=30, a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=80, 则a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=___________.【变式2】等差数列{a n }中，S m =S n 且m ≠n, 则S m+n =_________.【变式3】等差数列}{n a 前10项和为100，前20项和为10，求它的前30项和. 例6．已知两等差数列}{n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且27417++=n n T S n n ，试求1111b a . 思路点拨:利用前n 项和公式与性质22m n p m n p a a a +=⇒+=解题，或利用21(21)n n S n a -=-解决，或利用等差数列前n 项和2()n S An Bn An B n =+=+形式解题.总结升华：依据等差数列的性质1212n n a a a -+=可以得到12121(21)()(21)2n n n n a a S n a ---+==-，当已知两等差数列}{n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T 时，有2121n n n n a S b T --=，12121212--⋅--=n m n m T S m n b a . 举一反三：【变式1】等差数列}{n a 中，若49a =, 则7S =_________. 【变式2】已知两等差数列}{n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且4352n n S n T n +=-，则1010ab = . 例7．已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数。