数列——大题训练1．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足：a 2a 4＝64，a 1＋a 5＝18. (1)若1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值．(2)设b n ＝n(2n ＋1)S n ，是否存在一个最小的常数m 使得b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由． 解 (1)数列{a n }为等差数列，因为a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18， 又a 2a 4＝65，所以a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根， 又公差d >0，所以a 2<a 4，所以a 2＝5，a 4＝13.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，①所以a 1＝1，d ＝4.所以a n ＝4n －3.由1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项， 所以a 1a 21＝a 2i ，即1×81＝(4i －3)2，解得i ＝3.(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ，所以b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，②所以b 1＋b 2＋…＋b n＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1， 因为n 2n ＋1＝12－12(2n ＋1)<12，③所以存在m ＝12使b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立．2．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *. (1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．解 (1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21.因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2. 当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1－1＝S n －1， 两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1.于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列． 因此，a n ＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1.①2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .② ①－②，得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n .从而B n ＝1＋(n －1)·2n .即数列{na n }的前n 项和为1＋(n －1)·2n .3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设数列{b n }满足b n ＝a n ＋2n .(1)求证数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)若数列c n ＝6n －3b n，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明：T n <3.(1)解 当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，2S n －1＝a n－2n＋1 ⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n ⇒a n ＋1＝3a n ＋2n ，从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )＝3b n ，故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列， b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －1＝3n ，a n ＝3n －2n (n ≥2)，因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n －2n . (2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －13n －1，则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，①13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②，得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n＝2－13n －1－2n －13n＝2－2(n ＋1)3n ，故T n ＝3－n ＋13n －1<3.4．已知单调递增数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝12(a 2n ＋n )．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)n ＝1时，a 1＝12(a 21＋1)，得a 1＝1，由S n ＝12(a 2n ＋n )，①则当n ≥2时，S n －1＝12(a 2n －1＋n －1)，②①－②得a n ＝S n －S n －1＝12(a 2n －a 2n －1＋1)， 化简得(a n －1)2－a 2n －1＝0，a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1(n ≥2)， 又{a n }是单调递增数列，故a n －a n －1＝1，所以{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . (2)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，当n 为偶数时，T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c n ) ＝(122－1＋142－1＋…＋1n 2－1)＋3×(21＋23＋…＋2n －1)＋n 2＝11×3＋13×5＋…＋1(n －1)×(n ＋1)＋3×2(1－4n2)1－4＋n 2＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1)＋2×(4n 2－1)＋n2 ＝2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1).当n 为奇数时，T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n )＋(c 2＋c 4＋…＋c n －1) ＝[122－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1]＋3×(21＋23＋…＋2n －2)＋n －12 ＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＋2×(4n －12－1)＋n －12 ＝2n＋n 2－2n －92(n ＋2).所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n＋n 2－2n －92(n ＋2)(n 为奇数)，2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1)(n 为偶数).5．已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (1a n )，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n －1a n (n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0142对一切n ∈N *恒成立，求最小正整数m .解 (1)∵a n ＋1＝f (1a n )＝2a n ＋33a n ＝2＋3a n 3＝a n ＋23，∴{a n }是以1为首项，23为公差的等差数列．∴a n ＝1＋(n －1)×23＝23n ＋13.(2)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1(23n －13)(23n ＋13) ＝1(2n －1)(2n ＋1)9＝92(12n －1－12n ＋1)，又b 1＝3＝92(1－13)，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝92(1－12n ＋1)＝9n2n ＋1，∵S n <m －2 0142对一切n ∈N *恒成立，即9n 2n ＋1<m －2 0142对一切n ∈N *恒成立，又9n 2n ＋1<92，∴m －2 0142≥92，即m ≥2 023.∴最小正整数m 为2 023.6. 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式.2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和. 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。

有条件可知a>0,故13q =。

由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =。

故数列{a n }的通项式为a n =13n 。

（Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=-故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n nb b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}nb 的前n 项和为21n n -+7.已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10（I ）求数列{an}的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和．解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分 （II ）设数列1{}2n n n a n S -的前项和为，即2111,122nn n a a S a S -=+++=故，12.2242n nn S a a a =+++所以，当1n >时，1211111222211121()2422121(1)22n n n n n nn n n nS a a a a a a n n------=+++--=-+++--=---.2n n所以1.2n n n S -=综上，数列11{}.22n n n n a nn S --=的前项和 ………………12分8.已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)0,2nn n n n n n b a a b a b ++++-++==， *n ∈N ，且122,4a a ==．（Ⅰ）求345,,a a a 的值；（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；（I ）解：由*3(1),,2nn b n N +-=∈可得1,n n b ⎧=⎨⎩为奇数2,n 为偶数 又1120,n n n n n b a a b a +++++=123123234434543;5;4.=-=-=当n=1时,a +a +2a =0,由a =2,a =4,可得a 当n=2时,2a +a +a =0,可得a 当n=3时,a +a +2a =0,可得a（II ）证明：对任意*,n N ∈ 2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,n n n a a a ++++= ② 21222320,n n n a a a +++++= ③②—③，得223.n n a a += ④将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+即*1()n n c c n N +=-∈ 又1131,0,n c a a =+=-≠故c因此11,{}n n n c c c +=-所以是等比数列.9.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S （17）解：（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+21233(222)2n n --=++++2(1)12n +-=。