圆周运动临界问题 极值问题
相关知识复习：
一、由于受静摩擦力作用
二、绳 杆等恰好无作用力或者有承受最大力
三、两个典型模型
1、绳球模型（已知绳长L ，小球质量m ，线速度V ）
1）画出小球的受力示意图
2）写出小球过最高点的动力学方程
3）若小球刚好过最高点，F =拉 ，此时 V=
2、杆球模型 （已知杆长L ，小球质量m ，线速度V ）
1）若小球刚好过最高点，杆对球的作用力F = ，方向 此时 V=
2
）若v =
F = 。
3
）若v >F = ，方向 。
4
）若0v <F = ，方向 。
四、带电粒子在磁场中的临界问题 极值问题
举例 :
1 对滑冰运动员的最大摩擦力为其重力的k 倍，在水平冰面上沿半径为R 的圆周滑行的运动员，若仅依靠摩擦力来提供向心力而不冲出圆形滑道，其运动的速度应满足
A ．v ≥kRg
B ．v ≤kRg
C ．v ≤kRg 2
D ．v ≤
2kRg 2 如图所示，用细绳一端系着的质量为M ＝0.6 kg 的物体A 静止在水平转盘上，细绳另
一端通过转盘中心的光滑小孔O 吊着质量为m ＝0.3 kg 的小球B ，A 的重心到O 点的距
离为0.2 m ．若A 与转盘间的最大静摩擦力为F f ＝2 N ，为使小球B 保持静止，求转盘
绕中心O 旋转的角速度ω的取值范围．（取g ＝10 m/s 2）
3 质量为m A 和m B 的两个小球A 和B 用轻质弹簧连在一起，用长为L 1的细绳将
A 球系于O 轴上，使A
B 两球均以角速度ω在光滑的水平面上绕OO ′轴做匀速
圆周运动，如图所示，当两球间的距离为L 2时，将线烧断，线被烧断的瞬间，
两球加速度a A 和a B 各是多少？
4 光滑管形圆轨道，且轨道半径为R （管径远小于R ），小球的质量为m ，其直径略小
于管径，能在管中无摩擦运动。
则：1）小球在最低点的速度v 至少多大时，才能使小球在管内做完整的圆周运动？
2）当小球在最低点的速度
时，小球在轨道最高点对轨道是否有压力？
gR
v
5=
5 如图所示，长度为l 的细绳上端固定在天花板上O 点，下端拴着质量为m 的小球。
当
把细绳拉直时，细绳与竖直线夹角为θ=60°，此时小球静止于光滑的水平面上。
1)当球以角速度L g =1ω做圆锥摆运动时，细绳的张力T 为多大？水平面受到的压力N
是多大？
2)当球以角速度L
g 42=ω做圆锥摆运动时，细绳的张力'T 及水平面受到的压力'N 各是多大？
6 小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的
小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。
当球某次运动到最低点时，绳
突然断掉，球飞行水平距离d 后落地。
如题24图所示。
已知握绳的手离地面高度
为d ，手与球之间的绳长为34
d,重力加速度为g 。
忽略手的运动半径和空气阻力。
（1）求绳断时球的速度大小1v 和球落地时的速度大小2v 。
（2）问绳能承受的最大拉力多大？
（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？
7 如图所示，光滑的水平面上钉有两枚铁钉A 和B ，相距0.1 m 、长1 m 的柔软细绳拴在A 上，另一端系一质量为0.5 k g 的小球，小球的初始位置在AB 连线上A 的一侧，把细线拉紧，给小球以2 m/s 的垂直细线方向的水平速度使它做圆周运动．由于钉子B 的存在，使线慢慢地缠在A 、B 上．
（1）如果细线不会断裂，从小球开始运动到细线完全缠在A 、B 上需要多长时间?
（2）如果细线的抗断拉力为7 N ，从开始运动到细线断裂需经历多长时间?
1【解析】 摩擦力提供向心力；根据临界条件，mgk ＝m R v 2
，得v ＝kRg
则v ≤kRg
【答案】 B
2 【解析】 要使B 静止，A 必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A 需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成，角速度取最大值时，A 有离心趋势，静摩擦力指向圆心O ；角速度取最小值时，A 有向心力运动的趋势，静摩擦力背离圆心O ．
对于B ，F ＝mg
对于A ，F ＋F f ＝Mrω12
F －F f ＝Mrω22
解得：ω1＝Mr F mg f
+＝6.5 r ad/s ；
ω2＝
Mr F mg f
+＝2.9 r ad/s 【答案】 2.9 r ad/s≤ω≤6.5 r ad/s
3【解析】 B 球绕O 点做匀速圆周运动时，向心力由弹簧的弹力提供，则
F ＝m B ω2（L 1＋L 2）
烧断线的瞬间，A 、B 受的合外力均为F ＝m B ω2（L 1＋L 2），所以，两球的加速度分别为 a A ＝)(212L L m m m F A B A +=ω
a B ＝)
(212L L m F B +=ω
【答案】 )
();(212212L L L L m m A B ++ωω
8 【解析】 小球交替地绕A 、B 做匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力F 不断增大，半周期不断减小．推算出每个半周期的时间及半周期数，就可求出总时间，根据绳子能承受的最大拉力，可求出细绳断裂所经历的时间．
在第一个半周期内：F 1＝m 02L v t 1＝v L 0
π
在第二个半周期内：F 2＝m AB L L v -02
t 2＝
v L L AB )
(0-π
在第三个半周期内：F 3＝m AB L L v 202
-
t 3＝
v L L AB )
2(0-π
……
在第n 个半周期内： F n ＝m AB L n L v )1(02
--
t n ＝[]
v L n L AB )1(0--π 由于1.010=AB L L ＝10 所以n≤10
（1）小球从开始运动到细线完全缠到A 、B 上的时间
t ＝t 1＋t 2＋…＋t 10 ＝[]{}
AB L L v )110(321100-++++- π
＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡
⨯-⨯-1.02)110(10100L v π≈8.6 s （2）设在第x 个半周期时，Fx ＝7 N
由Fx ＝m AB L x L v )1(02
--
代入数据后得x ＝8
则所经历的时间
t ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯-AB L L v 2)18(880π＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-⨯-⨯1.02)18(8182πs≈8.2 s
【说明】 运用递推规律写出通式及对数列的求和都是物理解题中常用到的数学方法．物理和数学是紧密联系的，应用数学处理物理问题的能力是高考要求的五种能力之一，近几年的高考均对该能力提出了较高的要求．因此，在平时的练习中，应注意数学知识与物理知识的结合，能在正确分析、清楚地理解试题所给的物理现象、物理过程的基础上，运用数学知识列式、推导和求解。