4．已知非零向量
A→B
与
A→C
满足(
A→B |A→B|
＋
A→C |A→C|
)·B→C
＝0且
|AA→→BB|·|AA→ →CC|＝12，则△ABC为(
)
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．等边三角形
答案 D
解析 由|O→A|＝|O→B|＝|O→C|知，O是三角形的外心，排除 答案A，B.
由N→A＋N→B＋N→C＝0得出N必然为重心． ∵P→A·P→B＝P→B·P→C，∴(P→A－P→C)·P→B＝0. ∴C→A·P→B＝0，∴CA⊥PB，同理，AP⊥BC. ∴P为△ABC的垂心，故选C.
3．在△ABC中，若动点P满足C→A2＝C→B2－2A→B·C→P ，则
2．三角形各心的向量表示 (1)O 是△ABC 的重心⇔O→A＋O→B＋O→C＝0； (2)O 是△ABC 的垂心⇔O→A·O→B＝O→B·O→C＝O→C·O→A； (3)O 是△ABC 的外心⇔|O→A|＝|O→B|＝|O→C|(或O→A2＝O→B2 ＝O→C2)；
(4)O 是△ABC 的内心⇔O→A·(|AA→→BB|－|AA→ →CC|)＝O→B·(|BB→→AA|－|BB→ →CC|) ＝O→C·(|CC→→AA|－|CC→ →BB|)＝0.
B．内心
C．重心
D．垂心
答案 D
2．已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|O→A|＝|O→B|＝ |O→C|，N→A＋N→B＋N→C＝0，P→A·P→B＝P→B·P→C＝P→C·P→A，则点O， N，P依次是△ABC的( )
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 答案 C
P点轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
答案 A
解析 2 A→B·C→P ＝ C→B 2－C→A 2＝( C→B － C→A )·( C→B ＋C→A )＝ A→B·(C→B＋C→A)，即2A→B·C→P＝A→B·(C→B＋C→A)，∴A→B·(2C→P－C→B －C→A)＝A→B·(B→P＋A→P)＝0.∴以B→P，A→P为邻边的平行四边形 的对角线互相垂直．∴点P在线段AB的中垂线上，故选A.
题型二 将平面向量与三角形垂心结合考查
例 2 点 P 是△ABC 所在平面上一点，若P→A·P→B＝P→B·P→C
＝P→C·P→A，则点 P 是△ABC 的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【解析】 由P→A·P→B＝P→B·P→C，得P→A·P→B－P→B·P→C＝0， 即P→B·(P→A－P→C)＝0，即P→B·C→A＝0，则PB⊥CA.
题型四 将平面向量与三角形重心结合考查 例 4 点 P 是△ABC 所在平面内任一点．G 是△ABC 的 重心⇔P→G＝13(P→A＋P→B＋P→C)．
【证明】 ∵P→G＝P→A＋A→G＝P→B＋B→G＝P→C＋C→G， ∴3P→G＝(A→G＋B→G＋C→G)＋(P→A＋P→B＋P→C)． ∵点G是△ABC的重心，∴G→A＋G→B＋G→C＝0. ∴A→G＋B→G＋C→G＝0，即3P→G＝P→A＋P→B＋P→C. 由此得P→G＝13(P→A＋P→B＋P→C)． 反之亦然(证略)．
平面向量与三角形的“心”
三角形的“心”的向量表示及应用 1．三角形各心的概念介绍 重心：三角形的三条中线的交点； 垂心：三角形的三条高线的交点； 内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆 的圆心)； 外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接 圆的圆心)．
根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长 度分成2∶1；垂线与对应边垂直；角平分线上的任意点到角 两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．
同理O→P2·O→P3＝O→P3·O→P1＝－12. ∴|P→1P2|＝|P→2P3|＝|P→3P1|＝ 3. 从而△P1P2P3是正三角形．
对点训练
1．若O为空间中一定点，动点P在A，B，C三点确定的
平面内且满足(O→P－O→A)·(A→B－A→C)＝0，则点P的轨迹一定过
△ABC的( )
A．外心
A．外心 C．重心
B．内心 D．垂心
【解析】 因为|AA→→BB|是向量A→B的单位向量，设A→B与A→C 方向上的单位向量分别为e1和e2，又O→P －O→A ＝A→P，则原式 可化为 A→P ＝λ(e1＋e2)，由菱形的基本性质可知AP平分∠ BAC，那么在△ABC中，AP平分∠BAC，故选B.
注意 向量 λ(|AA→→BB|＋|AA→ →CC|)(λ≠0)所在直线过△ABC 的内 心(是∠BAC 的角平分线所在直线)
题型一 将平面向量与三角形外心结合考查
例 1 若 O 为△ABC 内一点，|O→A|＝|O→B|＝|O→C|，则 O
是△ABC 的( )
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
【解析】 由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相 等，故O是△ABC的外心，故选B.
同理PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心．故选 D.
【点评】 本题考查平面向量有关运算，及“数量积为 零，则两向量所在直线垂直”、三角形的垂心的定义等相关 知识．将三角形的垂心的定义与平面向量有关运算及“数量 积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合．
题型三 将平面向量与三角形内心结合考查 例 3 O 是平面上一定点，A，B， 是平面上不共线的 三个点，动点 P 满足O→P＝O→A＋λ(|AA→→BB|＋|AA→ →CC|)，λ∈(0，＋∞)， 则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
题型五 将平面向量与三角形四心结合考查 例 5 已知向量O→P1，O→P2，O→P3满足条件O→P1＋O→P2＋O→P3 ＝0，|O→P1|＝|O→P2|＝|O→P3|＝1，求证：△P1P2P3 是正三角形．
【证明】 由已知条件可得O→P1＋O→P2＝－O→P3，两边平 方，得O→P1·O→P2＝－12.