椭圆和双曲线综合练习卷1.其中）的离心率分别为 ，则（ ） A ． B ． C ． D ．与1大小不确定【答案】B.2. 的左焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】C 设上，直线，由，因为在双曲线上，所以，化简得C ． 3. 已知，若圆与双曲线（ ）ABCD 【答案】A 由圆及双曲线的对称性可知，当时，圆与双曲线A ． 4. 为双曲线的渐近线位于第一象限上的一点，若点到该双曲线左焦点的距离为，则点到其右焦点的距离为（ ）0>>n m 12e ,e 121e ,e >121e ,e <121e ,e =12e ,e B F F C H P 3FP FH =u u u r u u u rH FH 3FP FH =u u u r u u u r P 22413c a =0,>b a 222b y x =+a b ≥222b y x =+P P PA．B C D．【答案】A 由题意，知，，渐近线方程为，解得，所以点到其A．5. 设点，它们在第一象限交于点，，则双曲线的离心率的取值为（）【答案】B因为，即，B．6.的离心率为（）ABC．2 D【答案】AA.7. 的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆切于菱形，则双曲线的离心率为（）ABCD【答案】C 直线方程为，即，由题意，∵，C．211a=2c=1a=P 21FF、M︒=∠9021MFF2C1e︒=∠9021MFF22212a a c+=12,A A12,B B12,F F12,A A1122F B F B12B F0bx cy bc+-=42310e e-+=1e>8.右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于两点，且点的横坐标为2，则的周长为（ ）ABCD【答案】D 易知，所以周长为 9. 若点F 1、F 2分别为椭圆C :的左、右焦点,点P 为椭圆C 上的动点,则∵PF 1F 2的重心G的轨迹方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C10.l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB |＝4，则满足条件的直线l 有（ ）A ．4条B ．3条 C ．2条 D ．无数条 【答案】B ∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4， ∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，，∴，∴直线AB 的长度是4， 综上可知有三条直线满足|AB|=4，故选B ．11. 在区间和分别取一个数，记为和，的双曲线的概率为（ ） A B C D 12,F F 2F C ,P Q P 1PF Q ∆2(2,0)F PQ x ⊥1ΔPF Q 2y =±[]1,5[]2,6a b【答案】B它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程故选B.12.右焦点分别为，，双曲线的离心率为，若双曲线上一点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B 得，由双曲线定义得B. 13. 已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值围是（）1F2F e P221F P F F⋅u u u u r u u u u r323-2-1,2a c==(1,0)M,A B0MA MB•=u u u r u u u rMA BA•u u u r u u u rAB ．C D【答案】C 设，则，由题意有，所以所以，当时，有最大值，当时，有最小值 C.14. 的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值围是,那么直线斜率的取值围是（）A BCD【答案】B 15. 已知分别是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,若是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值围是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：C16. 的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则 ）A ．10B ．13C ．16D ．19 【答案】B最小值为.[1,9]1122(,),(,)A x y B x y 11221212(1,),(1,),(,)MA x y MB x y BA x x y y =-=-=--u u u r u u u r u u u r1212(1)(1)0MA MB x x y y •=--+=u u u r u u u r21121121112112(1)()()(1)(1)MA BA x x x y y y x x x x y y y •=--+-=---+-u u u r u u u r2x =-MA BA •u u u r u u u r 9MA BA •u u u r u u u r 12,A A P C 2PA []2,1--1PA P ()221:44C x y ++=()222:41C x y -+=,M N 1517. 过点作直线与双曲线交于A ，B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线（ ） A ．存在一条,且方程为 B ．存在无数条 C ．存在两条,方程为 D ．不存在答案：D18. 已知双曲线()0012222>>=-b a by a x ，的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值围是________． 【答案】[2，＋∞)19. 已知双曲线：的左、右焦点分别是，，正三角形的一边与双曲线左支交于点，且，则双曲线的离心率为 ． 【解析】设，则，所以20. 的左、右焦点分别为，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为______________．(1,1)P 2212y x -=210x y --=()210x y ±+=C 1F 2F 12AF F 1AF B 114AF BF =u u u r u u u rC 11||4||=4mAF BF =u u u r u u u r2222222||||||2||||cos6013BF AF AB AF AB m =+-=o u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r()()12,0,,0F c F c -,A B ()2224x c y c ++=C x 12//F A F B C【解析】由双曲线定义得，因为，所以，再利用余弦定理得21. 的左右焦点分别为，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为__________.【答案】【解析】由双曲线定义可知，故，可知当三点共线时，最小，且最小值为.22. 上有一点,它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足,设,则该双曲线离心率的取值围为．【解析】设是左焦点，则，，因为，，又，则．又∵，2222,22AF a c BF c a=+=-12//F A F B2112cos cos F F A F F B∠=-∠12F 、F P Q (23)-，1||||PQ PF +72||||21+=PF PF 1||||PQ PF +2||||21++=PF PQ 2,,F P Q 1||||PQ PF +7252||2=+=+QF A B F AF BF ⊥ABF α∠=e 1F 2x y a -=AF BF ⊥2222(2)4x y c c +==22()(2)x y a -=222()xy c a =-2ABF OAFS S ∆∆=222sin 2c a c α-=23. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：∵设A 、B 为两个定点，k 为正常数，，则动点P 的轨迹为椭圆；∵∵方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；∵和定点其中真命题的序号为 _______ 【答案】∵∵【解析】∵中需要对的取值围加以限定；∵∵中方程的两个根分别是∵∵∵. 24. 的左顶点为，上顶点为，右焦点为.设线段的中点为，若，则该椭圆离心率的取值围为25. 过点A ．B 两点，若点恰好为弦的中点，则所在直线的方程为 ． 【答案】【解析】设，由∵-∵因为点是弦的中点，∵，=，又因为直线过点（1,1），所以直线的方程为，即.26. 设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，||||PA PB k +=u u u r u u u r02522=+-x x )0,5(A k 2A B F AB M 022≥+•BF MF MA (1,1)M M AB AB 013-94=+y x ),(),,(2221y x B x x A M AB 2,22121=+=+y y x x k M AB013-94=+y xB 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3. （1）求椭圆C 的焦距；（2）如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程． 解：(1)设焦距为2c ，则F 1(－c,0)F 2(c,0)∵k l ＝tan60°＝ 3 ∵l 的方程为y ＝3(x －c ) 即：3x －y －3c ＝0 ∵f 1到直线l 的距离为2 3 ∵|－3c －3c |(3)2＋(－1)2＝23c2＝3c ＝23∵c ＝2 ∵椭圆C 的焦距为4(2)设A (x 1，y 1)B (x 2，y )由题可知y 1＜0，y 2＞0 直线l 的方程为y ＝3(x －2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －2)x 2a 2＋y 2b 2＝1得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 2(a 2－4)＝0 由韦达定理可得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝43b 23a ＋b2 ∵y 1，y 2＝－3b 2(a 2－4)3a 2＋b2∵∵AF →＝2F 2B →∵－y 1＝2y 2，代入∵∵得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－43b 23a 2＋b 2∵－2y 22＝－3b 2(a 2－4)3a 2＋b2∵∵2∵得12＝48b 4(3a 2＋b 2)2·3a 2＋b 23b 2(a 2－4)＝16b 2(3a 2＋b 2)(a －4) ∵ 又a 2＝b 2＋4 ∵ 由∵∵解得a 2＝9b 2＝5∵椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝127. 已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在轴上,虚轴长为. （1）求双曲线的标准方程；（2）若直线与曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点,求证：直线过定点,并求出定点的坐标.【答案】（12试题解析：（1C x 2C :l y kx m =+C ,A B ,A B AB CD l,解得,所以双曲线的标准方程为.（2）设,联立,得,有,,以为直径的圆过双曲线的左顶点,,即,,解得或.当时,的方程为,直线过定点,与已知矛盾；当时,的方程为,直线过定点,经检验符合已知条件,所以直线过定点,定点坐标为. 28. 已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．（1）数m 的取值围；（2）求∵AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0，∵ 设M 为AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫2mb m 2＋2，m 2bm 2＋2，222a b c +=2,1a b ==2214x y -=()()1122,,,A x y B x y 2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()()222148410k x mkx m ---+=()()()2222122212264161410801441014m k k m mkx x k m x x k ⎧⎪∆=+-+>⎪⎪+=<⎨-⎪⎪-+⎪=>-⎩()()()2222121212122414m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=-AB C ()2,0D -1AD BD k k ∴=-g ()()2221212121222212414161,240,4022141414m y y m k mk y y x x x x x x k k k-+-=-∴++++=∴+++=++---g 22316200m mk k ∴-+=2m k =103km =2m k =l ()2y k x =+()2,0-103k m =l 103y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭l 10,03⎛⎫-⎪⎝⎭代入直线方程y ＝mx ＋12 解得b ＝－m 2＋22m 2.∵ 由∵∵得m <－63或m >63. (2)令t ＝1m ∵⎝⎛⎭⎫－62，0∵⎝⎛⎭⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12， 且O 到直线AB 的距离d ＝t 2＋12t 2＋1.设∵AOB 的面积为S (t )，所以 S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22， 当且仅当t 2＝12时，等号成立．故∵AOB 面积的最大值为22.29. 已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为(,0)F c -,，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ，334=FM （1）求直线FM 的斜率；（2）求椭圆的方程；（3）设动点P 在椭圆上，若直线FP ，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值围.【答案】(I) ； (II) 22132x y += ；(III) ,⎛-∞ ⎝U . 【解析】(I) 由已知有2213c a =，又由222a b c =+，可得223a c =，222b c =， 设直线FM 的斜率为(0)k k >，则直线FM 的方程为()y k x c =+，由已知有22222c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得k = (II)由(I)得椭圆方程为2222132x y c c+=，直线FM 的方程为()y k x c =+，两个方程联立，消去y ，整理得223250x cx c +-=，解得53x c =-或x c =，因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由FM ==，解得1c =，所以椭圆方程为22132x y +=(III)设点P 的坐标为(,)x y ，直线FP 的斜率为t ，得1y t x =+，即(1)y t x =+(1)x ≠-,与椭圆方程联立22(1)132y t x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得22223(1)6x t x ++=，又由已知，得226223(1)x t x -=>+，解得312x -<<-或10x -<<， 设直线OP 的斜率为m ，得y m x =，即(0)y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得22223m x =-. ∵当3,12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，有(1)0y t x =+<，因此0m >，于是2223m x =-，得223,33m ⎛⎫∈ ⎪ ∵当()1,0x ∈-时，有(1)0y t x =+>，因此0m <，于是2223m x =--，得23,3m ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝ 综上，直线OP 的斜率的取值围是23223,,333⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝U 30. 已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ． （1）求椭圆E 的离心率； （2）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程． 【答案】（I ）32；（II ）221123x y +=． 【解析】试题分析：（I ）先写过点(),0c ，()0,b 的直线方程，再计算原点O 到该直线的距离，进而可得椭圆E 的离心率；（II ）先由（I ）知椭圆E 的方程，设AB 的方程，联立()2222144y k x x y b⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得12x x +和12x x 的值，进而可得k ，再利用10AB =可得2b 的值，进而可得椭圆E 的方程．试题解析：（I ）过点(),0c ，()0,b 的直线方程为0bx cy bc +-=，学优高考网则原点O 到直线的距离bc d a==，由12d c =，得2a b ==，解得离心率c a =. (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (1)依题意，圆心()2,1M -是线段AB 的中点，且|AB |=.易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k ++-+=-=-++ 由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得12k =. 从而21282x x b =-.于是12|AB |||x x =-==由|AB |==，解得23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=.。