圆锥曲线测试题一、选择题（ 共12题，每题5分 ）1已知椭圆的两个焦点为、，且，弦125222=+y ax )5(>a 1F 2F 8||21=F F AB 过点，则△的周长为（ ）1F 2ABF （A ）10 （B ）20 （C ）2（D ） 414142椭圆上的点P 到它的左准线的距离是10，那么点P13610022=+y x 到它的右焦点的距离是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）83椭圆的焦点、，P 为椭圆上的一点，已知，192522=+y x 1F 2F 21PF PF ⊥则△的面积为（ ）21PF F （A ）9 （B ）12 （C ）10 （D ）84以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（ ）（A ） （B ）222=-y x 222=-x y （C ）或 （D ）或422=-y x 422=-x y 222=-y x 222=-x y 5双曲线右支点上的一点P 到右焦点的距离为2，则P191622=-y x 点到左准线的距离为（ ）（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）126过双曲线的右焦点F 2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F 1是左焦822=-y x 点，那么△F 1PQ 的周长为（ ）（A ）28 （B ）（C ）（D ）2814-2814+287双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F 1、F 2，︒=∠12021MF F ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）32636338在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为( )(A)22 ( B) 2 ( C) 2 ( D) 229 如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直193622=+y x 线方程是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）02=-y x 042=-+y x 01232=-+y x 082=-+y x 10如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是（ ）(A) (B)　(C) (D) 11 中心在原点，焦点在y 轴的椭圆方程是 22sin cos 1x y αα+= ，(0,)2πα∈，则 α∈ （ ）A ．(0,)4π B ．(0,4π C ．(,)42ππ D ．[,42ππ12 已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 且斜率为的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为（ ）A 、65 B 、75 C 、58D 、95二、填空题（ 20 ）13 与椭圆具有相同的离心率且过点（2，）的椭圆的标22143x y +=准方程是 。

14 离心率，一条准线为的椭圆的标准方程35=e 3=x 是 。

15 以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为 16已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F aPF F c=，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．三、解答题（ 70 ）17) 已知椭圆C 的焦点F 1（－，0）和F 2（，0），长轴2222长6，设直线交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐2+=x y 标。

18) 已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为125922=+y x ，求双曲线方程.51419)求两条渐近线为且截直线所得弦长为02=±y x 03=--y x 338的双曲线方程。

20．(1)椭圆C:(a ＞b ＞0)上的点A(1,)到两焦点的距12222=+b y a x 23离之和为4,求椭圆的方程;(2)设K 是(1)中椭圆上的动点, F 1是左焦点, 求线段F 1K 的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点, 当直线PM 、PN 的斜率都存在并记为k PM 、k PN 时，那么是与点P 位置无关的定值。

PN PMk k ⋅试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证12222=-b y a x 明。

解：(1)13422=+y x (2)设中点为(x,y), F 1(-1,0) K(-2-x,-y)在上 ⇒13422=+y x 134)2(22=++y x (3)设M(x 1,y 1), N(-x 1,-y 1), P(x o ,y o ) , x o ≠x 1 则 )1(22122-=a x o b y )1(221221-=ax b y 2221202212022120212010101010)(a b x x b x x y y x x y y x x y y PN PM a x x k k ===⋅=⋅---++--- 为定值。

21 (1)当k 为何值时，直线l 与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点。

(2) 过点P （1，2）的直线交双曲线于A 、B 两点，若P 为弦AB 的中点，求直线AB 的方程；（3）是否存在直线，使Q （1，1）为被双曲线所截弦的中点。

l l 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。

l 解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得(2－k 2)x 2+2(k 2－2k)x －k 2+4k －6=0(*)(ⅰ)当2－k 2=0,即k=±时，方程(*)有一个根，l与C 有2一个交点.(ⅱ)当2－k 2≠0,即k ≠±时2Δ=［2(k 2－2k)］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k)①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l 与C23有一个交点.②当Δ＞0,即k ＜,又k ≠±,故当k ＜－或－＜k23222＜或＜k ＜时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点.2223③当Δ＜0，即k ＞时，方程(*)无解，l 与C 无交点.23综上知：当k=±,或k=，或k 不存在时，l 与C 只有一223个交点；当＜k ＜,或－＜k ＜,或k ＜－时，l 与C 有两223222个交点；当k ＞时，l 与C 没有交点.23（2）假设以P 为中点的弦为AB ，且A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2)又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=4 ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1 即k AB ==12121x x y y --但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB 与有交点，所以以P2为中点的弦为：y=x+1.(3)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2)又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1 即k AB ==22121x x y y --但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB 与C 无交点，故假设2不正确，即以Q 为中点的弦不存在.13)与椭圆具有相同的离心率且过点（2，）的椭圆22143x y +=的标准方程是 或。

22186x y +=223412525y x +=14）离心率，一条准线为的椭圆的标准方程是35=e 3=x 。

2291520x y +=17)已知椭圆C 的焦点F 1（－，0）和F 2（，0），长轴长6，2222设直线交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

(82+=x y 分)解:由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上,其中c=,a=3,从而22b=1,所以其标准方程是:.联立方程组,消去y 得, .2219x y +=22192x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩21036270x x ++=设A(),B(),AB 线段的中点为M()则:,11,x y 22,x y 00,x y 12185x x +=-=0x 12925x x +=所以=+2=.也就是说线段AB 中点坐标为(-,).0y 0x 15951518) 已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为125922=+y x ，求双曲线方程.(10分)514解:由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为e=,所以双曲线的焦点±45为F(0,4),离心率为2,±从而所以求双曲线方程为:.221412y x -=20)求两条渐近线为且截直线所得弦长为02=±y x 03=--y x 338的双曲线方程。

(10分)解:设双曲线方程为x 2-4y 2=.λ联立方程组得: ,消去y 得，3x 2-24x+(36+)=022x -4y =30x y λ⎧⎨--=⎩λ设直线被双曲线截得的弦为AB ，且A(),B()，那么：11,x y 22,x y 1212283632412(36)0x x x x λλ+=⎧⎪+⎪=⎨⎪∆=-+>⎪⎩那么：===解得: =4,所以，所求双曲线方程是：λ2214x y -=。