第九章结构动力学§9.1概述一、结构动力计算的特点和内容前面各章讨论了结构在静力荷载作用下的计算问题。

它研究的是当结构处于静力平衡位置时，外荷载对结构的影响。

此时，荷载的大小、方向和作用点以及结构产生的内力、位移等均看作是不随时间t变化的。

本章将讨论结构在动力荷载作用下的计算问题。

所谓动力荷载，亦称为干扰力，是指大小、方向和作用位置等随时间ｔ变化，并且使结构产生不容忽视的惯性力的荷载。

与静力计算所不同的是，结构在动力荷载作用下，其质量具有加速度，计算过程中必须考虑惯性力的作用。

结构的内力和位移是位置和时间ｔ的函数，称为动内力和动位移，统称为结构的动力反应。

在实际工程中，绝大多数荷载都是随着时间变化的。

从工程实用角度来说，为了简化计算，往往将使结构产生的振动很小以至于惯性力可以略去不计的荷载视为静力荷载。

例如当人群缓慢行走在桥梁上时，桥梁不会产生明显的振动，这时人群的自重可以作为静力荷载考虑；当人群跑动通过时，桥梁将产生明显的振动，其上各质量将产生不容忽视的惯性力，因而，人群的自重必须作为动力荷载来考虑。

显然，区分静力荷载和动力荷载，主要是看其对结构产生的影响。

本章内容只将不仅随时间变化而且使结构产生较大动力反应的荷载作为动力荷载来考虑。

随着科学技术的迅速发展，研究动力荷载作用下结构的计算方法具有十分重要的工程意义。

在结构设计中，如何减小机器振动对现代化厂房的影响，如何减小风荷载及地震作用引起的高层建筑的动力反应等，都需要对动力荷载的作用进行深入的研究。

结构的动力反应与结构本身的动力特性和动力荷载的变化规律密切相关。

研究结构的自－192－－193－由振动，得到的结构自振频率、振型和阻尼参数等正是反应结构动力特性的指标。

因此，研究结构的动力计算方法，需要分析结构的自由振动和动力荷载作用下的受迫振动两种情况，前者计算结构的动力特性，后者进一步计算结构的动力反应。

二、动力荷载的分类根据动力荷载的变化规律及其对结构作用的变化特点，将其分为以下几类：１、简谐性周期荷载 它是按简谐规律随时间连续变化其量值的荷载，可以用正弦或余弦函数表示，也称为简谐荷载，是工程中最常见的动力荷载。

如图9-1所示具有偏心质量的回转机器，当其匀速转动时，传到结构上的由偏心质量ｍ产生的离心力2θmr P =，它的垂直分力t P θsin 和水平分力t P θcos 就是简谐荷载。

图9-1２、一般周期荷载图9-2它是指除了简谐荷载以外的其它形式的周期荷载。

如图9-2a所示的曲柄连杆机构，当其匀速转动时，产生的水平干扰力的变化规律即为图9-2b所示的周期性多波形。

３、冲击荷载它是短时间内作用于结构上，荷载值急剧增大或急剧减小的荷载。

如各种爆炸荷载、锻锤对机器的碰撞等都属于这类荷载。

图9-3所示为一种爆炸荷载，荷载值急剧减小。

图9-3４、随机荷载它是指荷载值随时间的变化极不规律，任一时刻的数值不能事先确定的荷载。

因为不能将荷载与时间的关系做出准确的数学描述，又称为非确定荷载。

如风荷载、地震作用等都属于随机荷载。

分析随机荷载，需要应用概率和数理统计的方法。

三、动力计算中体系振动的自由度在动力计算中，需要考虑质量的惯性力，而惯性力又与质量的运动状态有关，因此，必须确定质量的分布情况并计算质点的位移。

在动力计算中，总是以质点的位移作为基本未知量，结构上全部质量有几个独立的位移，就有几个独立的未知量。

结构振动时，确定某一时刻全部质量的位置所需要的独立几何参数的数目，称为体系振动的自由度。

一切实际结构都具有分布质量，严格说来都是具有无限自由度的体系。

但在一定条件下，可以略去次要因素而使问题简化。

将实际结构简化为有限自由度体系的方法很多，最常见的方法是将分布质量集中为有限个质点，集中质点数目可以根据具体情况及精度要求来确定。

图9-4a所示简支梁，跨中安装一台电动机。

当梁本身的质量远小于机器的质量时，可以－194－－195－图9-4 略去不计取图9-4b 所示的计算简图。

如果不考虑梁的轴向变形并略去机器的转动惯性，集中质量可以视为质点。

在梁作小变形振动的前提下，该质点只能在竖直方向振动，即质点ｍ的位置可以由挠度)(t y 确定，故体系的振动自由度等于１。

这种体系称为单自由度体系。

同理，图9-5所示体系的振动自由度也等于１，虽然体系有三个集中质量，但它们的位置只用一个几何参数)(t 便可确定。

图9—5图9-6a 所示两层平面刚架，在水平力作用下作水平振动时，其横梁沿竖直方向的振动很小，可以忽略不计。

计算时把梁柱的质量集中在结点上，则简化后的体系有四个集中质量，图9-6－196－计算简图如图9-6b 所示。

若忽略梁和柱的轴向变形，则质点有四个水平位移，且21y y =， 43y y =，故体系有两个振动自由度。

图9-7所示悬臂刚架的计算简图。

梁端部有一集中质量，刚架振动时，集中质量既有水平位移x 又有竖向位移y 。

决定质点位置有两个独立的几何参数，因此，体系具有两个振动自由度。

图9-7除了上述杆件体系外，在实际工程中，时常遇到具有质量块的体系。

图9-8所示构架式基础，计算时将顶板简化为一刚性质量块。

当不考虑地基变形时，顶板只能沿水平面运动。

此时，将柱的31质量集中在柱顶，32质量集中在柱底，则板的运动情况可用其质心在水平面的两个分位移)(t u 、)(t v 及板的扭转角)(t θ表示，故体系的振动自由度等于3。

凡具有两个以上且为有限数目振动自由度的体系称为多自由度体系。

图9-8 图9-9 图9-9所示具有连续分布质量的体系，可将其视为无限多个质点，而每个质点的位移又是独立的，因而其振动自由度有无限多个，这种体系称为无限自由度体系。

需要考虑杆件本身质量的结构（称为质量杆）都是无限自由度体系。

严格的讲，一切弹性体系都是无限自由度体系。

由上述讨论可见：１、体系的振动自由度数目不一定等于体系的集中质量数目；２、体系的振动自由度数目与体系是静定或超静定无关；３、体系的振动自由度数目与计算精度有关，如图9-6b所示刚架，若考虑梁和柱的轴向变形，体系的振动自由度数目将增加。

§9.2单自由度体系的无阻尼自由振动实际工程中的很多动力问题都可以简化为单自由度体系进行近似计算。

单自由度体系的动力分析又是多自由度体系动力分析的基础。

本节讨论单自由度体系的无阻尼自由振动。

一、运动微分方程的建立图9-10a所示为一单自由度体系，梁本身的质量忽略不计。

当其未受外界干扰时，梁将在质点重量Ｗ的作用下处于虚线所示的静平衡位置，质点m的静力位移为st y。

如果质点ｍ在外界干扰下离开了静平衡位置，干扰消失后，由于梁的弹性作用，质点m将在静平衡位置附近作往返运动。

这种在运动过程中不受干扰力作用，而由初始位移或初始速度或两者共同作用下所引起的振动称为自由振动或固有振动。

它可以用图9-10b所示的理想模型（称为弹性体系）图9-10－197－－198－表示。

此时，梁对质量m 提供的弹性力用弹簧来表示。

因此，弹簧的刚度系数11k （使弹簧伸长或缩短单位长度需要的力）与梁在端点处的刚度系数（使端点产生单位竖向位移时在端点处施加的竖向力）相等。

下面介绍两种建立自由振动微分方程的方法。

１、刚度法取质量ｍ为隔离体，如图9-10c 所示。

在振动的任意时刻ｔ，作用与质量m 上的力有：（１）重力Ｗ；（２）弹性力)(t F e 。

它的方向与位移)(t y 的方向相反，其值为：)()()(1111d st e y y k t y k t F +-=-=（３）惯性力)(t F I 。

它的方向恒与加速度)(t y的方向相反，其值为： )()()(d st I yy m t y m t F +-=-= 根据达朗伯原理，列出隔离体的动力平衡方程为：)(11d st y y k ++)(d st yy m += W （a ） 式中是由Ｗ产生的静力位移，故有Ｗ＝11k st y ，0=st y，则式（a ）简化为： 011=+d d y k ym （b ） （b ）式表明，建立体系的运动方程时以静平衡位置为计算位移的起点，所得动力位移的微分方程与重力无关。

为计算方便，略去表示动力位移的下标“ｄ”，这样（b ）式可改写为：011=+y k ym （9-1） 式（9-1）即为单自由度体系在不考虑阻尼情况下的自由振动方程。

这种由力系平衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。

2、柔度法以体系为研究对象，由变形协调条件列出位移方程。

用11δ表示弹簧的柔度系数（单位力－199－作用下弹簧产生的位移），则作用于质点m 上的惯性力y m t F I-=)(。

此时，质点m 的动位移)(t y 可视为由惯性力引起的，即1111)()(δδym t F t y I -== （c ） 整理得：011=+y ym δ （9-2） 式（c ）表明：质点在运动过程中任一时刻的位移，等于此时惯性力作用下的静位移。

对单自由度体系来说，柔度系数11δ与刚度系数11k 的关系为：11111k =δ （d ） 将式（d ）代入式（9-2）可得到式（9-1）。

由此可见，两种方法所得到的运动方程实质是一致的，只是表现形式不同。

这种由变形协调条件建立运动微分方程的方法称为柔度法，所建立的运动方程又称为位移方程，其物理意义是质点的动位移与其加速度要互相协调。

二、自由振动微分方程的解单自由度体系无阻尼自由振动的微分方程（9-1）可改写为：02=+y yω （9-3） 式中mk 11=ω （9-4） 式（9-3）是二阶常系数齐次微分方程，其通解为：t C t C t y ωωsin cos )(21+= （e ）其中1C 、2C 为积分常数，可以由运动初始条件确定。

设ｔ=０时质点m 有初位移0y 和－200－初速度0v ，即0)0(y y =及0)0(v y= 。

代入（e ）式可得： 01y C =，ω02v C =于是，动位移)(t y 的表达式为：t v t y t y ωωωsin cos )(00+= （9-5）将上式改写成单项式的形式 )sin()(ϕω+=t A t y （9-6）式中：2020)(ωv y A +=，)arctan(00v y ωϕ= （9-7） 式（9-6）表明，无阻尼的自由振动是以静平衡位置为中心的简谐振动。

式中A 表示体系振动时质点m 的最大动位移，称为振幅。

ϕ称为初始相位角，又称初相角，)(ϕω+t 称为相位角。

三、结构的自振周期和频率式（9-6）表示的简谐振动是周期运动，质点m 的位移是周期性的，其周期为：ωπ2=T （9-8） 可以导出： )()(T t y t y +=)()(T t y t y+= )()(T t yt y += 这表明：在自由振动过程中，每经过一段时间T 后，质点又重复原来的运动情况，因此，T 被称为结构的自振周期。