2.1 基本动力体系
2. 弹簧的恢复力（Resisting Force of Spring）
对弹性体系，弹簧的恢复力也被称为弹性恢复力 弹性恢复力：大小等于弹簧刚度与位移（弹簧变形）的乘积， 方向指向体系的平衡位置。
f s = ku
s— 表示弹簧（Spring） k— 弹簧的刚度（Spring Stiffness） u— 质点位移
分析单自由度体系的意义： 第一，单自由度系统包括了结构动力分析中涉及的所有物理量及基本概念。 第二，很多实际的动力问题可以直接按单自由度体系进行分析计算。
图2.1 结构动力分析中常用的单自由度体系力学模型
2.1 基本动力体系
两个典型的单自由度体系 物理元件： 集中质量 阻尼系数 弹簧刚度
（a）单层框架结构
转动质量
T=
1 ɺ2 Jθ 2
1 V = ku 2 位能：拉伸弹簧 2
多自由度体系：
1 V = kθθ 2 转动弹簧 2
动能
T=
1 2
ɺ ɺ ∑∑ m u u
ij i i j
j
=
1 2
ɺ ∑ m u 位能 V = 2 ∑∑ k u u
2 j j
ij i
1
j
j
i
j
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理(用Hamilton原理建立单自由度弹簧－质量体系的运动方程)
F = ma
F = p(t ) − f D − f s
ma + f D + f s = p(t )
图2.7单质点体系的受力分析
ɺɺ a=u
ɺ f D = cu
f s = ku
ɺɺ ɺ mu + cu + ku = p(t )
单质点体系运动时要满足的控制方程—运动方程
2.2 运动方程的建立 利用牛顿第二定律的优点： 牛顿第二定律是基于物理学中已有知识的直接应用 以人们最容易接受的知识建立体系的运动方程
ɺɺ f I = mu
ɺ f D = cu
f s = ku
图2.8 单质点体系的受力分析
ɺɺ ɺ mu + cu + ku = p(t )
2.2 运动方程的建立 2. D’Alembert原理（直接动力平衡法）
D’Alembert原理的优点：静力问题是人们所熟悉的，有了D’Alembert
原理之后，形式上动力问题就变成了静力问题，静力问题中用来建立控 制方程的方法，都可以用于建立动力问题的平衡方程，使对动力问题的 思考有一定的简化。对很多问题，D’Alembert原理是用于建立运动方程 的最直接、最简便的方法。
ɺ 非保守力：Pnc = −cu + p(t )
结构动力学
（2003春）
结构动力学
第二章 运动方程的建立
运动方程：描述结构中力与位移关系的数学表达式 （有时称动力方程） 运动方程是进行结构动力分析的基础 运动方程的建立是结构动力学的重点，也是难点
2.1 基本动力体系
单自由度体系：SDOF（Single－Degree－of－Freedom－System） 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定
(a) (b)
因此动能和位能的变分为：
δT =
ɺ ∑ ∂u δu + ∑ ∂u δu ɺ
j j j j j
N
∂T
N
∂T
j
(c)
δV =
∑ ∂u δu
j j
N
∂V
j
(d)
δ (T − V ) dt +
t2
t1
nc
同时，非保守力所做功的变分为：
δWnc =
∑P
j
N
ncj δu j
(e)
将式(c)、(d)和(e)代入 Hamilton 原理式(2.11)得：
=
∂T δu j ɺ ∂u j
| −∫
∑∫
j N
t2
d ∂T ( )δu j dt = − ɺ dt ∂u j
∫
t2
t1
式 (g)代入式 (f)得：
t2
t1
(−
d ∂T ∂T ∂V ( )+ − + Pncj )δu j dt = 0 ɺ dt ∂u j ∂ u j ∂u j
(h)
由 δu j 的任意性，可知式 (h)中括号内的项恒为零，这样就得到了 Lagrange 方程：
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理(积分形式的动力问题的变分方法)
Hamilton原理的优点：不明显使用惯性力和弹性力，而分别用 对动能和位能的变分代替。因而对这两项来讲，仅涉及处理 纯的标量，即能量。 而在虚位移中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功的力和 虚位移则都是矢量。
1 ɺ 动能：集中质量 T = 2 mu 2
∫
t2
t1
δ (T − V ) dt +
∫
t2
t1
δWnc dt = 0
∫
∫
t2
t2
t1
ɺ ɺ ɺ [ muδu − cuδu − kuδu + p(t )δu]dt = 0
对上式中的第一项进行分部积分
t1
ɺ ɺ muδudt =
∫
t2
t1
ɺ mu (δ
d u ) dt = dt
∫
t2
t1
ɺ mu
d (δu ) dt = dt
∫
t2
t1
δ (T − V )dt +
∫
t2
t1
δWnc dt = 0
δWnc =
∑P
j
ncjδu j
其中： T —— 体系的总动能； V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Wnc—— 作用于体系上非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所做的功； δ —— 指（在指定时间段内）所取的变分。
∫ ∑
t1 j
t2 N
(
∂T ∂V − + Pncj )δu j dt + ∂u j ∂u j
∑∫
j
N
t2
t1
∂T ɺ δu j dt = 0 ɺ ∂u j
(f)
对式 (f)的第二项进行分部积分：
d ∂T ∂T ∂V ( )− + = Pncj (t ) , ɺ dt ∂u j ∂u j ∂u j
∫
阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅骤渐变小的一种作用 阻尼来源（物理机制）：
(1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。
粘滞(性)阻尼力可表示为：
ɺ f D = cu
D — 阻尼（damping） c — 阻尼系数（Damping coefficient） ù — 质点的运动速度
2.2 运动方程的建立 5.运动的Lagrange方程
∫ δW dt = 0 用： ∫ Hamilton原理 推导： Lagrange方程
t1 t2
对于有 N 个自由度的结构体系，体系的动能和位能分别为:
ɺ ɺ ɺ T = T (u1 , u 2 ,⋯ u N , u1 , u 2 ,⋯ u N ) V = V (u1 , u 2 ,⋯ u N )
d ∂T ∂T ∂V ( )− + = Pncj (t ) , ɺ dt ∂u j ∂u j ∂u j j = 1, 2, ⋯, N
其中： T —— 体系的动能； V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj——与uj相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。
用 Hamilton 原理推导 Lagrange 方程
m c k
两个力学模型完全等效 两个体系的运动方程相同
（b）弹簧―质点体系
2.1 基本动力体系
1. 惯性力（Inertial Force）
惯性：保持物体运动状态的能力 惯性力： 大小等于物体的质量与加速度的乘积， 方向与加速度的方向相反。
ɺɺ f I = mu
I — 惯性（Inertial）； m— 质量（mass） ； ü — 质点的加速度。
2.1 基本动力体系 5. 非弹性体系 (Inelastic System)
结构构件的力—变形关系为非线性关系，结构刚度不再为常数 构件（或弹簧）的恢复力可表示为
ɺ f s = f s (u , u )
fs是位移和速度的非线性函数。
图2.6 非弹性体系中结构构件的力与位移关系
2.2 运动方程的建立 1. 利用牛顿（Newton）第二定律
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理
应用变分法来建立结构体系的运动方程。 动力学中广泛应用的变分法是Hamilton原理 体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值, 一般是极小值。 Hamilton原理：在任意时间区段[t1, t2]内，体系的动能和位能的变分加上 非保守力做功的变分等于0。
2.1 基本动力体系 4. 线弹性体系和粘弹性体系 (Linearly Elastic System and Viscous Elastic System)
线弹性体系：由线性弹簧（或线性构件）组成的体系。 — —最简单的理想化力学模型。 粘弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼的影响时的体系。 —结构动力分析中的最基本力学模型。
d ∂T ∂T ∂V ( )− + = Pncj (t ) , ɺ dt ∂u j ∂u j ∂u j
j = 1, 2, ⋯ , N
2.2 运动方程的建立 5.运动的Lagrange方程
用Lagrange方程方程建立体系的运动方程
体系的动能： = T