………..(3)
………..(4)
(3)(4)的左边是一标量，转置后不变。
A
j T
k A
i

A
j T
k A
i

T
A
i T
T j k A A k A i T
Tk
线性组合，即
y1 t A1 1 sin 1t 1 A1 2 sin 2t 2 y2 t A2 1 sin 1t 1 A2 2 sin 2t 2
第一振型分量 第二振型分量
刚度法
k11 y1 k12 y2 m1 y1 0 k21 y1 k22 y2 m2 y2 0
结构力学
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双自由度体系作为多自由度体系的特例。
1、方程： 柔度法 刚度法
y1 11 (m1 y1 ) 12 (m2 y2 ) y2 21 (m1 y1 ) 22 (m2 y2 ) k11 y1 k12 y2 m1 y1 0 k21 y1 k22 y2 m2 y2 0
可见，任一时刻的位移包含两个分 量：第一振型分量和第二振型分量
2 （或A2 1 、 2 ）由4个初始条件确定。 1 、 1 、 A1 2 、 A2 2 、 通解中的4个待定系数A1 1 、
当各自由度上的初速度、初位移与某一振型具有同样的比例关系时，体系即按该振型振动。 其它振型不出现。
y A sin i t i
y
j
A
i
j
sin j t j
体系按某一振型振动时，该振型的能
i i
t时刻 A 振型对应的惯性力为
FI M y i2 M A sin i t i
k M A 0
由 A 0 ，得
2 频率方程 k M 0
双自由度体系作为多自由度体系的特例。
1、方程： 柔度法
y1 11 (m1 y1 ) 12 (m2 y2 ) y2 21 (m1 y1 ) 22 (m2 y2 )
∵频率和振型满足
(1)(2)分别左乘 A
j T i
j T
和 A
i T
j T i
A k A i 2 A M A i T j i T j A k A j 2 A M A
i i i
0
振型第二正交性
体系按某一振型振动时，弹性力不会在其它振型的位移上做功。——第二正交性的物理含义
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§10-8 多自由度体系的强迫振动
一、简谐荷载作用下的无阻尼强迫振动
1.位移幅值计算
y P sin t y 振动微分方程为 M
§10-6 多自由度体系的自由振动
用柔度法可建立n个自由度体系的运动方程如下 y1 m1 y111 m2 y212 mn yn1n y2 m1 y1 21 m2 y2 22 mn yn 2 n yn m1 y1 n1 m2 y2 n 2 mn yn nn 写成矩阵形式
(1)柔度法： (1)
P 是简谐荷载幅值引 和M 分别为体系的柔度矩阵和质量矩阵； 其中， 1P 2P nP T 。 ＝ 起的静位移向量， P
频率方程是关于
1

2
I
振型方程
0
频率方程（或特征方程）
1
小到大排列，称为频率谱。
2
的n次代数方程，由此可求的n个 的正实根，即为结构的n个自振频率，通常由
将求得的 1 回代入(2)，由于系数行列式等于零，n个方程是相关的，只 能由其中的n-1个方程解得各自由度动位移之间的比值。可见，体系按某一频 率振动的形状是不变的，称之为振型。 T i Ani 振型向量 A A1i A2i T i ni 振型向量常用表述方法一：令某自由度位移为1，例 A 1 2i i T i 振型向量常用表述方法二：标准化（向量的模等于1），令 A M A 1
2
运动方程 y M y
A2
An 是振幅向量。
T
(1)
单位矩阵
A 2 M A 0
即 M

1

I A 0 2
(2)
因为 A 0 ，所以 M
i
量不会转移到其它振型上，故，各振 型可单独出现。
dt时间内 A
j
振型对应的位移为
dy
j
y
j
dt j A
i
j
cos j t j dt
j
dt时间内， A 振型的惯性力在 A
i
振型的位移上做的功为
i
dW dy
频率和振型是结构的固有特征
2、频率和振型：
y1 A1 sin t 设 ，代入方程，可建立振幅方程如下： y A sin t 2 2
1 m 1 11 2 A1 m212 A2 0 k11 2 m1 A1 k12 A2 0 柔度法 刚度法 k21 A1 k22 2 m2 A2 0 m A m 1 A 0 1 21 1 2 2 22 2 A2不全为零，建立频率方程： 由 A 1 、 1 m111 2 m212 k11 2 m1 k12 0 柔度法 0 刚度法 2 1 k k m 21 22 2 m1 21 m2 22 2 T y1 A1 1 sin 1t 1 A2 1 1 , 第一振型向量 1 1 。 对应于 1 ，有 ， y2 A2 1 sin 1t 1 A1 1
例题：P.153习题10-26(d) P.154习题10-27(d)
板书讲解
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§10-7 振型的正交性
2 是其两个自振频率，两频率对应的振型如下： 设一n个自由度体系，1、
Akj A2 j
第j振型
A1i
A2i
A1i
Aki
第i振型
Ani
A1 j
Anj
i振型向量 A
2


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上述自振频率和振型的计算步骤和方法同样适用于刚度法。
动力平衡方程
k11 y1 k12 y2 k21 y1 k22 y2 kn1 y1 kn 2 y2
k1n yn m1 y1 0 k2 n yn m2 y2 0 knn yn mn yn 0
j T
FI i2 j A
j T
M A sin it i cos j t j dt 0
振型第一正交性
体系按某一振型振动时，惯性力不会在其它振型的位移上做功。——第一正交性的物理含义 t时刻 A 振型对应的弹性力为
j T i i T j M 也是对称矩阵，同理，有 A M A A M A i T j 2 2 (3)-(4)，有 i j A M A 0 i T j 因为 i j ，所以 A M A 0 i j
T y1 A1 2 sin 2t 2 A2 2 2 , 第一振型向量1 2 。 对应于2 ，有 ， y2 A2 2 sin 2t 2 A1 2
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双自由度体系作为多自由度体系的特例。
i
A2i
Aki
Ani
T
j振型向量 A
j
A1 j
A2 j
Akj
Anj
T
k A 2 M A i i 2 ∴ k A i M A ………..(1) j j k A j 2 M A ………..(2)
………..(3) ………..(4)
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A k A i 2 A M A i T j i T j A k A j 2 A M A
j T i j T i
i

Fs k y k A sin it i i j dt时间内， A 振型的弹性力在 A 振型的位移上做的功为 i j T i j T dW dy Fs j A k A sin it i cos j t j dt
振型第一正交性：多自由度体系任意两个不同振型关于质量矩阵正交。
从而 ， A
i T
k A
j
0
i j
振型第二正交性：多自由度体系任意两个不同振型关于刚度矩阵正交。
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振型正交的物理含义
设 A
i
i
、 A
i
j
是某多自由度体系的两个振型。则两振型的振动位移分别为
方程的物理含义：
与位移法方程类似。 体系在自由度位移和惯性力共同作 用下，自由度方向上附加约束的约 束力等于零。 相当于自由度方向上力的平衡。
写成矩阵形式
M y k y 0
2
设 y A sin t ，代入上述动力平衡方程，得 振型方程
3、任意初始条件下体系的自由振动方程：