……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………新定义题第I 卷（选择题)一、单选题1．定义一种新运算：⎩⎨⎧<≥=⊗)(,)(,b a b b a a b a ，已知函数x x x f 22)(⊗=，若函数k x f x g -=)()(恰有两个零点，则实数k 的取值范围为 （ ）A ．（0,1）B ．]2,1(C ．),2[+∞D ．),2(+∞【解析】试题分析：由题可知，xx x f 22)(⊗=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<<=)1(2)10(2)0(2x x xx x x ，画出图像如图，当函数k x f x g -=)()(恰有两个零点，即函数k x f =)(有两个交点时，实数k 的取值范围为),2(+∞；2．设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数(),()(),()K f x f x K f x K f x K≤⎧=⎨>⎩，取函数||()2x f x -=，当12K =时，函数()K f x 的单调递增区间为（ ）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞ 【解析】试题分析：依题意可知，当||()2x f x -=，12K =时 ||||||||1(),1122,22,||12()2,1111,||1,212,11222xx x x x K x x x f x x x x ----⎧≥⎧⎪⎧≤≥⎪⎪⎪⎪⎪===≤-⎨⎨⎨<⎪⎪⎪>⎩⎪⎪-<<⎩⎪⎩根据指数函数的图象与性质可知，函数()K f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，故选C.试卷第2页，总18页考点：1.函数的新定义问题；2.分段函数；3.函数的单调性；4.指数函数的图象与性质. 3．设函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数； ②存在[],a b D ⊆ ()b a >,使得()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，那么就称()y f x =是定义域为D 的“成功函数”.若函数()()2log (0,1)x a g x a t a a =+>≠是定义域为R 的“成功函数”，则t 的取值范围为 ( ) A ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：无论01a <<，还是1a >，都有()g x 是增函数， 故()g a a =，()g b b =，所以方程()g x x =有两个根，即2x x a a t =+有两个根，设x m a =，则直线y t =与函数2(0)y m m m =-+>有两个交点，画出这两个图象可以看出t 的取值范围是10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，显然此时函数定义域为R . 4．定义：对于一个定义域为D 的函数f (x )，若存在两条距离为d 的直线y =kx +m 1和y =kx +m 2，使得x ∈D 时，恒有kx +m 1<f (x )<kx +m 2，则称f (x )在D 内有一个宽度为d 的通道。

下列函数：①f (x )=x 2(x ≥0)；②f (x )=√4−x 2；③f (x )={e x −1,x ≤01−e −x ,x >0；④f (x )=2x (|x|≥4). 其中有一个宽度为2的通道的函数的序号为 A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．②③④【答案】D 【解析】②③可由作图所得，④作图可知有一个宽度为1的通道，由定义可知比1大的通道都存在.5．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)()(2211x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>，则称)(x f 为“H 函数”．给出下列函数：①13++-=x x y ；②)cos sin (23x x x y --=；③1+=xe y ；④()ln ||000x x f x x ≠⎧=⎨=⎩，其中“H 函数”的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【解析】试题分析：：∵对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式)()(2211x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>恒成立，∴不等式等价为()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，即函数f （x ）是定义在R 上的增函数．①13++-=x x y ；'231y x =-+，则函数在定义域上不单调．②)cos sin (23x x x y --=；y'=3-2（cosx+sinx ）（x+4π）＞0，函数单调递增，满足条件．③1+=xe y 为增函数，满足条件． ④()ln ||00x x f x x ≠⎧=⎨=⎩，当x ＞0时，函数单调递增，当x ＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H 函数”的函数为②③，6．设函数f(x)的定义域为R,若存在常数M>0，使|f(x)|≤M|x|对 一切实数x 均成 立，则称f(x)为“倍约束函数”，现给出下列函数：①f(x)=2x ：②f(x)=x 2+1：③f(x)=sinx +cosx ；④f(x)=x x 2−x+3⑤f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切x 1,x 2均有|f(x 1)−f(x 2)|≤|x 1−x 2|,其中是“倍约束函数”的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】试题分析：解：①对于函数f(x)=2x ，存在M=2，使|f(x)|≤M|x|对 一切实数x 均成 立，所以该函数是“倍约束函数”；②对于函数f(x)=x 2+1，当x =0时，f(x)=1，故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M|x|对 一切实数x 均成 立，所以该函数不是“倍约束函数”；③对于函数f(x)=sinx +cosx ，当x =0时，f(x)=1，故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M|x|对 一切实数x 均成 立，所以该函数不是“倍约束函数”； ④对于函数f(x)=x x 2−x+3，因为当x =0时，f(x)=0；当x ≠0时，∵|f(x)||x|=|1x 2−x+3|=1|(x−12)2+114|≤411，所以存在常数M =411，使|f(x)|≤M|x|对 一切实数x 均成 立, 所以该函数是“倍约束函数”；⑤由题设f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，f(0)=0，所以在|f(x 1)−f(x 2)|≤|x 1−x 2|中令x 1=x ∈R,x 2=0，于是有|f(x)|≤|x|，即存在常数M =1，使|f(x)|≤M|x|对 一切实数x 均成 立, 所以该函数是“倍约束函数”； 综上可知“倍约束函数”的有①④⑤共三个，所以应选C ． 考点：1、新定义；2、赋值法；3、基本初等函数的性质．试卷第4页，总18页第II 卷（非选择题)二、填空题7．若定义在区间D 上的函数y =f(x)同时满足条件：（1）f(x)在D 上是单调函数；（2）存在区间[a,b ]⊆D(a <b)，使得函数y =f(x)在区间[a,b ]上的值域为[a,b ]，则称函数y =f(x)为区间D 上的闭函数，下列说法正确的是______。

①函数f(x)=3x 4+1x 在定义域(0,+∞)上是闭函数；②函数f(x)=2x +1不是R 上的闭函数；③若一个函数是定义域D 上的闭函数，则满足定义中条件（2）的区间[a,b ]是唯一的；④函数f(x)=−x 3是R 上的闭函数，且满足定义中的条件（2）的区间[a,b ]为[−1,1] 【答案】②④【详解】①不是闭函数，如取x 1=2，x 2=3，则f （x 2）-f （x 1）=712 ，如取x 1=12 ，x 2=13 ，而f （x 2）-f （x 1）=78>0,故f （x ）在(0,+∞)上不是单调函数，也不是闭函数，故①不正确；②f(x)=2x +1在R 上是单调递增函数，若存在b>a,f （a ）=2a+1，有f(b)=2b+1>2a+1，即值域为[2a+1,2b+1]，若满足闭函数条件，则a=2a+1，b=2b+1，解得a=b= -1，与b>a 不符，故②不是闭函数，②正确；③如y=x ，在R 上是单调递增函数，y=x 在[1,5]的值域为[1,5],在[2,3]上的值域为[2,3]，故在R 上是闭函数，且存在两个[a,b ]，故③不正确； ④根据闭函数的概念，易知f(x)=−x 3是R 上的闭函数，∵y= -x 3是[a ，b]上的减函数，则{f (a )＝−a 3＝bf (b )＝−b 3＝a b >a., ，解得a= -1，b=1，故④正确.故答案为②④.8．设函数f(x)的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意x ∈M(M ⊆D)，有x +l ∈D ，且f(x +l)≥f(x)，则称f(x)为M 上的l 高调函数。

如果定义域为[−1,+∞)的函数f(x)=x 2为[−1,+∞)上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是 。

如果定义域为R 的函数f(x)是奇函数，当x ≥0时，f(x)=|x −a 2|−a 2，且f(x)为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是 。

【解析】根据题意可知在[﹣1，+∞）上的任意x （设x ＝x +m ）有y ≥﹣1恒成立，推断出m ≥﹣1﹣x 恒成立，进而根据x 的范围可推知﹣1﹣x 最大为0，判断出m 的范围，进……装…………○…………订…………○…………线………_______姓名：___________班级：___________考号：___________……装…………○…………订…………○…………线………而根据f（x+m）≥f（x），求得（x+m）2≥x2，化简求得m≥﹣2x恒成立，进而根据x的范围确定﹣2x的范围，进而求得m的范围．定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝|x﹣a2|﹣a2，画出函数图象，可得4≥3a2﹣（﹣a2）得﹣1≤a≤19．定义区间长度为，已知函数的定义域与值域都是，则区间取最大长度时的值为___________.【解析】试题分析：因为的定义域为{x|x0},所以。