开一数学组教研材料 (裂项相消法求和之再研究 ) 张明刚一项拆成两项,消掉中间所有项,剩下首尾对称项 基本类型:1.形如)11(1)(1kn n k k n n +-=+型。
如1n n +1=1n -1n +1;2.形如a n =12n -12n +1=)121121(21+--n n 型; 3.)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 4.])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n5.nn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 6.形如a n =n +1n 2n +22型.7.形如a n =4n 4n -14n +1-1=13⎪⎭⎫⎝⎛---+1411411n n型; =2n -(n -1)n (n -1)·2n =1(n -1)2n -1-1n ·2n . 9.形如a n =()n k n kk n n -+=++11型;1)1(1+++=n n n n a n10.()b a ba b a --=+1111.()!!1!n n n n -+=⋅ 12.m n m n m n C C C -=+-1113.()21≥-=-n S S a n n n14.1)tan(tan tan tan tan ---=βαβαβα15.利用两角差的正切公式进行裂项 把两角差的正切公式进行恒等变形,例如βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 可以另一方面,利用()[]kk kk k k tan )1tan(1tan )1tan(1tan 1tan ⋅+--+=-+=,得,11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+kk k k16 利用对数的运算性质进行裂项对数运算有性质N M NMalog log log -=,有些试题则可以构造这种形式进行裂项. 17 利用排列数或组合数的性质进行裂项排列数有性质!)!1(!n n n n -+=⋅,组合数有这样的性质11-+-=m n m n m n C C C ,都可以作为裂项的依据.例7 求和:_____!!22!11=⋅++⋅+⋅n n Λ分析 直接利用!)!1(!n n n n -+=⋅可得结果是1)!1(-+n .18.求和:22322n n C C C S +++=Λ.有3312k k k C C C -=+,从而31333122++=-+=n n n C C C C S .裂项相消法求和之再研究一项拆成两项,消掉中间所有项,剩下首尾对称项一、多项式数列求和。
(1)用裂项相消法求等差数列前n 项和。
即形如n a an b =+的数列求前n 项和此类型可设22()[(1)(1)]n a An Bn A n B n an b =+--+-=+左边化简对应系数相等求出A,B 。
123222()0(42)()(93)(42)()[(1)(1)]n nS a a a a A B A B A B A B A B An Bn A n B n An Bn=+++=+-++-+++-++++--+-=+L L 则例1:已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-,求它的前n 项和n S 。
2222222222123()[(1)(1)]212=2122110(1)12132(1)n n n n n a An Bn A n B n n a An B A n A A B A B a n n S a a a a n n n =+--+-=-=+--==⎧⎧∴⇒⎨⎨-=-=⎩⎩∴=--∴=+++=+-+-++--=L L 解:令 则有(2)用裂项相消法求多项式数列前n 项和。
即形如121210m m n m m a b n b nb n b ----=++++L 的数列求前n 项和。
此类型可111111()[(1)(1)(1)]mm m m n m m m m a c n c nc n c n c n c n ----=+++--+-++-L L 设121210m m m m b n b n b n b ----=++++L上边化简对应系数相等得到一个含有m 元一次方程组。
说明:解这个方程组采用代入法,不难求。
系数化简可以用二项式定理,这里不解释。
解出12,,,m c c c L 。
再裂项相消法用易知111m m n m m S c n c nc n --=+++L例2:已知数列{}n a 的通项公式为3n a n =,求它的前n 项和n S 。
432432322323[(1)(1)(1)(1)](4641)(331)(21)4(63)(432)()14411630243200n a An Bn Cn Dn A n B n C n D n A n n n B n n C n D An A B n A B C n A B C D n A A A B B A B C C A B C D =+++--+-+-+-=-+-+-++-+=+-++-++-+-+===⎧⎪-+==⎪∴⇒⎨-+=⎪⎪-+-+=⎩解:设() 140D ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩4324322222222222111111[(1)(1)(1)]424424(1)(1)221223123423(1)(1)(1)22222222n n a n n n n n n n n n n n n n n n n S ∴=++--+-+-+-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯⨯⨯⨯+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L () 二、二、多项式数列与等比数列乘积构成的数列。
(1)用裂项相消法求等比数列前n 项和。
即形如nn a aq =的数列求前n 项和。
这里不妨设1q ≠。
(1q =时为常数列,前n 项和显然为n S an =)此类型可设1A n n n a q Aq -=-,则有()n n n A a A q aq q =-=,从而有,1A aq A a A q q -==-。
再用裂项相消法求得nn S Aq A =-例3:已知数列{}n a 的通项公式为3nn a =,求它的前n 项和n S 。
解:设1A n n n a q Aq-=-,则有2333n nn A a ==g ,从而有32A =,故13322n n n a +=-。
232431112311(33333333)(33)22n n n n n S a a a a ++∴=+++=-+-+-+++-=-L L(2)用裂项相消法求等差数列与等比数列乘积构成的数列前n 项和。
即形如()nn a an b q =+的数列求前n 项和。
此类型通常的方法是乘公比错位错位相减法,其实也可以用裂项相消法。
这里依然不妨设1q ≠,(1q =时为等差数列,不再赘述。
)可设1()[(1)]n n n a An B q A n B q -=+--+,则有11[())()n n n a Aq A n Bq A B q aqn bq q --=-++-=+,从而得到方程组()Aq A aq Bq A B bq-=⎧⎨+-=⎩,继而解出A ,B 。
再用裂项相消法求得()nn S An B q B =+-例4:已知数列{}n a 的通项公式为3nn a n =⋅,求它的前n 项和n S 。
解:设1()3[(1)]3n n n a An B A n B -=+--+,则有11[22)333n n n a An B A n --=++=⋅,从而得到方程组2320A B A =⎧⎨+=⎩,解得3234A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩。
121233344n n n n n a +--=⋅-⋅ 222321112311[333335333(21)3(23)3][(21)33]44n n n n n S a a a a n n n ++∴=+++=++⨯-+⨯-⨯++-⋅--⋅=-⋅+L L (3)用裂项相消法求多项式数列与等比数列乘积构成的数列前n 项和。
即形如121210()m m n n m m a b n b nb n b q ----=+++L 的数列求前n 项和。
此类型有一个采用m 次错位相减法的方法求出,但是当次数较高时错位相减法的优势就完全失去了。
同样这里依然不妨设1q ≠,(1q =时为多项式数列,不再赘述。
)下面介绍错位相减法的方法:设1212112101210()[(1)(1)(1))m m n m m n n m m m m a B n B n B n B q B n B n B n B q ---------=++++--+-++-+L L 。
先对上式化简成121210()m m nn m m a C n C n C n C q ----=++++L 的形式,其中011,,m C C C -L 是用011,,,m B B B q-L 来表示的一次式子。
同样让对应系数相等得到一个m 元一次方程组,用代入法可以解出011,,m B B B -L 再用用裂项相消法求得1212100()m m n n m m S B n B nB n B q B ----=++++-L 。
例5:已知数列{}n a 的通项公式为22nn a n =⋅,求它的前n 项和n S 。
解:设221()2[(1)(1))2n n n a An Bn C A n B n C -=++--+-+,则有2121((2)()]222n n n a An A B n A B C n --=+++-++=⋅从而得到2200A A B A B C =⎧⎪+=⎨⎪-++=⎩,解得246A B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,所以212(23)2[(1)2(1)3)2n nn a n n n n +=-+----+2322121232122323222(23)2[(1)2(1)3)2(23)26n n n n n S a a a a n n n n n n ++∴=+++=⨯-⨯+⨯-⨯++-+----+=-+-L L事实上裂项求和适合用于所有能将n a 化成()(1)n a f n f n =--形式的所有数列{}n a ,()f n 与n a 存在形式上相似性,从而利用待定系数法的方式得到()f n 的表达式,最终可以得到()(0)n S f n f =-。
这里部分可用倒叙相加法的数列不能使用此法是因为它没有一个统一形式不带省略号的前n 项和公式。