动点问题的函数图像复习指要
【典例分析】
例1(2014•贵阳,第9题,3分)如图,三棱柱的体积为10,其侧棱AB上有一个点P从点A开始运动到点B停止,过P点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分,它们的体积分别为
)
x、y,则下列能表示y与x之间函数关系的大致图象就是(
考点: 动点问题的函数图象.
分析:根据截成的两个部分的体积之与等于三棱柱的体积列式表示出y与x的函数关系式,再根据一次函数的图象解答.
解答:解:∵过P点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分的体积分别为x、y, ∴x+y=10,
∴y=﹣x+10(0≤x≤10),
纵观各选项,只有A选项图象符合.
故选A.
点评:本题考查了动点问题的函数图象,比较简单,理解分成两个部分的体积的与等于三棱柱的体积就是解题的关键.
例2 (2014年•河南省,第8题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1cm,BC=2cm,点P从点A出发,以1cm/s的速度沿折线AC→CB→BA运动,最终回到点A,设点P的运动时间为x(s),
)
线段AP的长度为y(cm),则能够反映y与x之间函数关系的图象大致就是(
A. B. C.
D.
考点:动点问题的函数图象.
分析:这就是分段函数:①点P在AC边上时,y=x,它的图象就是一次函数图象的一部分;
②点P在边BC上时,利用勾股定理求得y与x的函数关系式,根据关系式选择图象;
③点P在边AB上时,利用线段间的与差关系求得y与x的函数关系式,由关系式选择图象. 解答:解:①当点P在AC边上,即0≤x≤1时,y=x,它的图象就是一次函数图象的一部分.故C 错误;
②点P在边BC上,即1＜x≤3时,根据勾股定理得AP=,即y=,
则其函数图象就是y随x的增大而增大,且不就是线段.故B、D错误;
③点P在边AB上,即3＜x≤3+时,y=+3﹣x=﹣x+3+,其函数图象就是直线的一部分. 综上所述,A选项符合题意.
故选:A.
点评:本题考查了动点问题的函数图象.此题涉及到了函数y=的图象问题,在初中阶段没有学到该函数图象,所以只要采取排除法进行解题.
例3(2014•广西桂林,第12题,3分)如图1,在等腰梯
形ABCD中,∠B=60°,PQ同时从B出发,以每秒
1单位长度分别沿BADC与BCD方向运动至相遇
时停止,设运动时间为t(秒),△BPQ的面积为S(平
房单位),S与t的函数图象如图2所示,则下列结论
错误的就是( )
A.当t=4秒时,S=43
B.AD=4
C.当4≤t≤8时,S=23t
D.当t=9秒时,BP平分梯形ABCD的面积
考点:动点问题的函数图象.
分析:根据等腰梯形的性质及动点函数图象的性质,综合判断可得答案.
解答:解:由答图2所示,动点运动过程分为三个阶段:
(1)OE段,函数图象为抛物线,运动图形如答图1﹣1所示.
此时点P在线段AB上、点Q在线段BC上运动.
△BPQ为等边三角形,其边长BP=BQ=t,高h=t,
∴S=BQ•h=t•t=t2.
由函数图象可知,当t=4秒时,S=4,故选项A正确.
(2)EF段,函数图象为直线,运动图形如答图1﹣2所示.
此时点P在线段AD上、点Q在线段BC上运动.
由函数图象可知,此阶段运动时间为4s,
∴AD=1×4=4,故选项B正确.
设直线EF的解析式为:S=kt+b,将E(4,4)、F(8,8)代入得:
,
解得,
∴S=t,故选项C错误.
(3)FG段,函数图象为直线,运动图形如答图1﹣3所示.
此时点P、Q均在线段CD上运动.
设梯形高为h,则S梯形ABCD=(AD+BC)•h=(4+8)•h=6h;
当t=9s时,DP=1,则CP=3,
∴S△BCP=S△BCD=××8×h=3h,
∴S△BCP=S梯形ABCD,即BP平分梯形ABCD的面积,故选项D正确.
综上所述,错误的结论就是C.
故选:C.
点评:本题考查了动点问题的函数图象分析,有一定的难度,解题关键就是结合函数图象与几何图形的性质求解.
例4(2014•黄冈,第8题,3分)已知:在△ABC中,BC=10,BC边上的高h=5,点E在边AB上,过点
E作EF∥BC,交AC边于点F.点D为BC上一点,连接DE、DF.设点E到BC的距离为x,则△DEF
)
的面积S关于x的函数图象大致为(
考点: 动点问题的函数图象.
分析:判断出△AEF与△ABC相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出EF,再根据三角形的面积列式表示出S与x的关系式,然后得到大致图象选择即可.
解答:解:∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴=,
∴EF=•10=10﹣2x,
∴S=(10﹣2x)•x=﹣x2+5x=﹣(x ﹣)2+,
∴S与x的关系式为S=﹣(x ﹣)2+(0＜x＜10),
纵观各选项,只有D选项图象符合.
故选D.
点评:本题考查了动点问题函数图象,主要利用了相似三角形的性质,求出S与x的函数关系式就是解题的关键,也就是本题的难点.
例5(2014•山东菏泽,第8题,3分)如图,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上,设CD的长度为x,△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图
象中能表示y与x之间的函数关系的就是
考点:动点问题的函数图象.
分析:分类讨论:当0＜x≤1时,根据正方形的面积公式得到y=x2;当1＜x≤2时,ED交AB于M,EF交AB于N,利用重叠的面积等于正方形的面积减去等
腰直角三角形MNE的面积得到y=x2-2(x-1)2,配方得到y=-(x-2)2+2,然后
根据二次函数的性质对各选项进行判断.
解答:当0＜x≤1时,y=x2,当1＜x≤2时,ED交AB于M,EF交AB于N, CD=x,则AD=2-x,∵Rt△ABC中,AC=BC=2,
∴△ADM为等腰直角三角形,∴DM=2-x,∴EM=x-(2-x)=2x-2,
∴S△EN M=0、5, (2x-2)2=2(x-1)2,
∴y=x2-2(x-1)2=-x2+4x-2=-(x-2)2+2,
故选A.
点评:本题考查了动点问题的函数图象:通过瞧图获取信息,不仅可以解决生活中的实际问题,还可以提高分析问题、解决问题的能力.用图象解决问题时,要理清图象的含义即会识图.也考查了等腰直角三角形的性质.
例6(2014年•福建漳州,第10题,4分)世界文化遗产“华安二宜楼”就是一座圆形的土楼,如图,小王从南门点A沿AO匀速直达土楼中心古井点O处,停留拍照后,从点O沿OB也匀速走到
点B,紧接着沿回到南门,下面可以近似地刻画小王与土楼中心O的距离s随时间t变化的图象就是()
A. B. C.
D.
考点:动点问题的函数图象.
分析:从A→O的过程中,s随t的增大而减小;直至s=0;从O→B的过程中,s随t的增大而增大;从B沿回到A,s不变.
解答:解:如图所示,当小王从A到古井点O的过程中,s就是t的一次函数,s随t的增大而减小;
当停留拍照时,t增大但s=0;
当小王从古井点O到点B的过程中,s就是t的一次函数,s随t的增大而增大.
当小王回到南门A的过程中,s等于半径,保持不变.
综上所述,只有C符合题意.
故选:C.
点评:主要考查了动点问题的函数图象.此题首先正确理解题意,然后根据题意把握好函数图象的特点,并且善于分析各图象的变化趋势.。