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长宁区2015学年第一学期高三质量检测数学试卷2015/12/21
一、填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分
1、不等式35x -<的解集是___________.
2、方程9320x x +-=的解是___________.
3、若复数z 满足210z z -+=，则z =___________.
4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若61420a a +=，则19S =___________. 5、若1
sin cos 5
θθ+=，则sin 2θ的值是___________.
6、若函数()f x 是定义域在R 上对偶函数，在(],0-∞上是单调递减的，且()10f =，则使()0f x <的x 的取值范围是____.
7、设函数()y f x =的反函数是()1y f x -=，且函数()y f x =过点()2,1P -，则()11f --=___________.
8、设常数0a >，4
2ax
⎛+ ⎝
展开式中3x 的系数为32，则()
2lim n x a a a →∞+++=L ___________. 9、某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至多只能选修一门，则不同的选课方案有___________种（以数字作答）
10、已知数列{}n a 和{}
n b 的通项公式分别是22322n an a bn n +=-+，1
13n n b b a -⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
，其中a b 、是实常数，若
1
lim 3,lim 4
n n x x a b →∞→∞==-，且a b c 、、成等差数列，则c 的值是___________. 11、已知函数()221f x x x =++，如果使()f x kx ≤对任意实数(]1,x m ∈都成立的m 的最大值是5，则实数k =___________.
12、在ABC V 中，点M 满足0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r r ，若0AB AC mAM ++=u u u r u u u r u u u u r r
，则实数m 的值为___________.
13、设命题:p 函数()21lg 16f x ax x a ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭的值域为R ；命题:q 不等式39x x a -<对一切正实数x 均成立，若命题p 和
q 不全为真命题，则实数a 的取值范围是___________.
14、定义：关于x 的两个不等式()()0,0f x g x <<的解集分别为(),a b 和11,a b ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则称这两个不等式为对偶不等式，如
果不等式
2cos 20x θ-+<与不等式224sin 10x x θ++<为对偶不等式，且()0,θπ∈，则θ=___________.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答
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案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15、已知集合{}{}0,,1,2P a Q ==，若P Q =∅I ，则a 等于 （ ）
.
1A .
2B .
12C or .
3D
16、已知数列{}n a 的前n 项和28n S n n =-，第k 项满足47k a <<，则k 等于（ ）
.
6A .
7B .
8C .
9D
17、设点()2,102t P t t ⎛⎫
+< ⎪⎝⎭是角α终边上一点，当OP u u u r 最小时，cos α的值是（ ）
.
A .
B .
C .
D 18、关于函数()()0a
f x x a x
=->，有下列四个命题：①()f x 的值域是()(),00,-∞+∞U ；
②()f x 是奇函数；③()f x 在()(),00,-∞+∞U 上单调递增；④方程()f x a =总有四个不同的解.其中正确的是 （ ）
.
A ①② .
B ②③ .
C ②④ .
D ③④
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 关于x 的不等式
2
01x a x
+<的解集为()1,b -.
（1）求实数,a b 的值；
（2）若12,cos sin z a bi z i αα=+=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值.
20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
直三棱柱111ABC A B C -
中，190,2,BAC AB AC AA ∠=︒===,,E F 分别是1,CC BC 的中点，求： （1）异面直线EF 和1A B 所成的角； （2）直三棱柱111ABC A B C -的体积.
21、（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分.
在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()().,cos ,cos m a b n A B ==u r r
，,2sin 2B C p A +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
u r ，若
,3m n p =u r r u r
P .
（1）求角A B C 、、的值；
（2）若0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求函数()sin sin cos cos f x A x B x =+的最大值与最小值.
22、（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分8分.
已知函数(),y f x x D =∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T
，恒
1
B
有()()f x T mf x +>成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T .若恒有()()f x T mf x +=成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类周期函数，周期为T .
（1）已知函数()2f x x ax =-+是[)3+∞，
上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围； （2）已知()1,T y f x ==是[)0,+∞上的m 级类周期函数，且()y f x =是[)0,+∞上的单调递增函数，当[)0,1x ∈时，()2x f x =，求实数m 的取值范围.
23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知点()()()111222,,,,,,,n n n P a b P a b P a b L （n 为正整数）都在函数12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的图像上.
（1）若数列{}n a 是等差数列，证明：数列{}n b 是等比数列；
（2）设()
,n a n n N *=∈，过点1,n n P P +的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为n c ，试求最小的实数t ，使n c t ≤对一切正整数n 恒成立；
（3）对（2）中的数列{}n a ，对每个正整数k ，在k a 与1k a +之间插入13k -个3，得到一个新的数列{}n d ，设n S 是数列{}n d 的前n 项和，试探究2016是否是数列{}n S 中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明. 参考答案
一、1、()2,8- 2、0x = 3、1 4、190 5、24
25
-
6、()1,1-
7、2
8、1 9、36 10、14 11、365 12、3- 13(],2-∞ 14、536
or ππ 二、选择题 15-18 D B
D
B
三、解答题
19、（1）1,2a b =-=；（2）1
2-. 20、（1）6
π
；（2）21、（1）3
A B C π
===
；（2）()max 1f x =，()min 1
2
f x =
22、（1）1a <；（2）2m ≥. 23、（1）略；（2）min 9
8
t =；（3）不是.。