发散 绝对收敛
lk imk ak (zz0)k 1
发散
R lim 1 a k k
k
(zz0) R 绝对收敛
(zz0) R 发散
3、收敛圆与收敛半径 以z0为圆心半径为R的圆内级数绝对收敛，这个圆称 为收敛圆。R为收敛半径
例：求幂级数 z k k0
解： ak 1
的收敛半径
R lim ak a k
k 1
1
收敛圆： 以0为圆心 半径为1
z 1
事实上：
如
z 1
n zk
k0
1 z n1 1 z
zk
1 zn1 lim
1
k0
n 1z 1 z
( z 1)
例：求幂级数 (1)k z2k 的收敛半径
k 0
解： ak (1)k
R lim ak a k
k 1
1
公比为 z2
如 z 1
收敛圆： 以0为圆心 半径为1
f '(z) 1
z
f
''
(z)
1! z2
f '(1) 1 f ''(1) 1
f (3)(z) 2! z3
f(k)(z)(1)k
(k1)! zk
f (3)(1)2!
f(k)(1)(1)k(k1)
lnzn 2i 1 (z 1 ) 1 !(z 1 )2 ( 1 )k(k 1 )(z ! 1 )k0
k
z0
z
(z z0)k
k0 ( z0)k1
z z0
CR1 CR
f(z)21iCR1 f(z)d
1
2 i
CR 1k0((z zz00 ))kk 1f(
)d
k 0(z z0)k2 1iC R 1(
1 z0)k 1f()d
1 ! 2 !
k !
lnzn 2i 1 (z 1 ) 1 !(z 1 )2 ( 1 )k(k 1 )(z ! 1 )k
1 ! 2 !
k !
n 2 i (z 1 ) 1 (z 1 )2 ( 1 )k(z 1 )k
2
k
( z1 1)
§3.4 解析沿拓
1、解析沿拓概念
比较两个
函数：
cozs1(eizeiz) (1)k z2k
2
k0 (2k)!
z
例：在z0=0邻域上把
f
(z)
1 1
z
展开
解：
1
1
z
1zz2
zk
z 1
k0
例：在z0=0邻域上把
f
(z)
1 1 z2
展开
1
1 z2
z 2k
z 1
k0
例：在z0=1邻域上把 f(z)lnz 展开
解： f(z)lnz
f(1)ln1n2i
第三章 幂级数展开
§3.1 复数项级数 §3.2 幂级数 §3.3 泰勒级数展开 §3.4 解析沿拓 §3.5 洛朗级数展开 §3.6 孤立奇点的分类
§3.1 复数项级数
1、 复数项级数
称级数
w kukikvk0,1,2,
wk
k 1
收敛于F
复数项级数和
wk ukivk
k1
k1
k1
n
这时 ln imk1uk u
z 1
k 0
(1)k
z2k
1
1 z
2
( z 1)
例：求幂级数
(z / 2)2k
解：R lim 1 a k 2k
2k
k 0
的收敛半径
lim 1 k 2k 1/ 22k
2
§3.3 泰勒级数展开
定理：设f(z)在以z0为圆心的
圆CR内解析，则对圆内的任意
f(z) ak(zz0)k
z点，f(z)可展开为
R lim ak lim k
a k k 1
k
z
例：在z0=0邻域上把 f(z)sinz和 f(z)cozs 展开
解： sinz1(eizeiz)
1 (iz)k (iz)k
(
)
2i
2i k0 k! k0 k!
1(
(iz)k
(iz)k)
2i k0 k! k0 k!
z
(1)k z2k1 k0 (2k 1)!
zk 1zz2
z 1
k0
1
和
1 z
除 z=1 以外 两者在较小区域等同
设某个区域b 上的解析函数f(z)，找出另一函数F(z),它在
含有b 的一个较大的区域B上解析，且在区域b上等于f(z)
称F(z)为 f(z)的解析沿拓
bB
2、解析沿拓唯一性概念
设f(z)， F(z)在某个区域B上解析，若在B的任一 子区域b 中f(z) F(z)，则在整个区域B上必有 f(z) F(z)。
k0
其中a ：k2 1i ( C R 1 f( z0) )k 1df(kk )( !z0)
CR1为圆CR内包含z且与CR
同心的圆
z0
z z z0 CR1 CR
证：cauch公式 f(z)21i CR1 f(z)d
1
1
1
1
z z0(zz0) z01(zz0)/(z0)
1z01z zz00z zz002
前n 项和
n
n
n
wk uki vk Fn
k1
k1
k1
n
ln imk1vk v 也收敛
n
若
lim
n k1
wk
F
有限
科西收敛判据： (级数收敛必要条件)
2、复变函数项级数
对于任意 >0,有N，使得n>N时 wk(z)w1(z)w2(z)
F npF nw n 1w n 2w np
k1
各项都是z
k 0
为以z0 为中心的幂级数
考虑
a0a 1(zz0)a2(zz0)2
1、比值判别法
令：
lim
k
ak1 ak
(z z0)k1 (z z0)k
limak1 k ak
(zz0)
R lim ak a k
k 1
(zz0) R
1 绝对收敛
1 发散
绝对收敛
(zz0) R
2、根值判别法
lk imk ak (zz0)k 1
的函数
n p
w k
对于B（或l 上）任意 z,给定 >0,有N，使
k n1
得n>N() 时
p 为任意正整数
n p
绝对收敛：
wk ( z )
k n1
wk
uk2 vk2
k 1
k1
收敛
称为级数在B上一致收敛
此时，若每项连续， 则和连续
§3.2 幂级数
讨论幂
级数
a k(zz0)ka 0a 1(zz0)a 2(zz0)2
而由cauch
公式
f(k)(z)2k !i l(f(z))k1d
f(z) ak(zz0)k k0
ak
f (k) (z0) k!
例：在z0=0邻域上把 f (z) ez 展开
解：
ak
f (k) (z0) k!
1 k!
d k ez dzk
z0
1 k!
公比为
ez 1zz2 zk
2!
k!
z k k0 k!
§3.5 洛朗级数展开
考虑如下幂级数
a 2 ( z z 0 ) 2 a 1 ( z z 0 ) 1 a 0 a 1 ( z z 0 ) a 2 ( z z 0 ) 2