1 dz
1 dz)
z z2 1
2 z z 1
z z 1
1 (2i 2i)
2
0
21
第三章 幂级数展开
一、收敛半径
ak (z z0 )k a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 L ak (z z0 )k L
k 0
方法1：比值判别法 R lim ak
a k k 1
(x iy)2 i 1 (x iy)2 iC 2
z2 i 1 z2 iC 2
v 2y x, x v 2x y y
Q f (0) 0 C 0
f (z) z2 i 1 z2
2
12
例4：已知解析函数 f (z)的虚部 v(x, y) x x 2 y 2 ，
求实部 u(x, y)和这个解析函数 f (z) 。
① 算偏导
③ 求积分
② u或v 的全微分
④ 表成 f (z)
10
例 3：已知解析函数 f (z) 的实部u(x, y) x2 y2 xy, f (0) 0 ， 求虚部和这个解析函数。
解：
u 2x y, u x 2 y
x
y
根据C-R条件，
v u 2 y x, v u 2x y
d
R(
)
2 cos R()
2
其中 R( ) 为 的任意函数。 将上式两边对 求导，
u 1 cos R() 2 2
1 cos 2 2
15
u 1 cos R() 2 2
1 cos 2 2
R() 0 R() C
u 2 cos C
2
f (z)
2
cos
C
i
2 sin
x
2 2
y
2 2
x
2 2
y
2 2
3
(2)、乘法和除法
z1 1(cos1 i sin1) 1ei1 z2 2 (cos2 i sin2 ) 2ei2
z1z2 12[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
ei(12 ) 12
• 两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加;
z1 z2
7
例1：已知 z 2 3i ，则 zz 13
。
zz 2 x2 y2 13
例2：复数ez 的模为 ex ，辐角为 y 2k , k 0, 1, 2,L
.
ez exiy exeiy
8
三、解析函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 1、柯西-黎曼方程
u
直角坐标系：
z
z0
)
f
(
z)]
P(z0 ) Q(z0 )
本性奇点
在0 z z0 R展开f (z)得
Re sf (z0 ) a1
32
极点阶数判定
法一
lim [(z
zz0
z0 )m
f
(z)]
am
非零的有限值
0 把极点阶数估计得过高 (n>m)
lim[(
z z0
z
z0
)n
f (z)]
am
n就是极点的阶数
k 0
1
(1)k tk , t 1
1 t k0
f (z) 1
d [ (i)3k (z i)k1] 1
(i)3k (k 1)(z i)k2
z i dz k0
z i k0
3
(k 2)i3(k3) (z i)k , (1 z i ) k
28
三、有限远孤立奇点分类及其类型判定
方法2 ：根值判别法 R lim 1
a k k k
收敛圆： z z0 R
收敛域：z z0 R
22
例1 求幂级数 k(z i)k 的收敛圆. k 0
解
ak k
R lim ak a k
k 1
lim k k k 1
1
收敛圆: z i 1
23
例2
幂级数 ez zk
k0 k !
(n=m)
把极点阶数估计得过低 (n<m)
法二 零点和极点的关系
若z = z0是
f(z)的m阶零点，则z =
提示：当给定的 u 或 v 中含有因子x2+y2，这种情 况下采用极坐标处理比较方便，即令 2 x 2 y 2 。
解： v cos 2
cos
(1 cos)
2sin 2
2
2 sin
2
13
v 2 sin
2
v
2
sin
1
1 2
1 sin
22
2 2
v 2 cos 1 cos
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
(2)、乘法和除法
z1z2 (x1 iy1 )( x2 iy2 )
(x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1 )
z1 z2
z1
z
* 2
z2
z
* 2
(x1 iy1 )( x2 iy2 )
x
2 2
y
2 2
x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
f
(z)
z 2i z5 4z3
的极点为:
______0_,_2__i _______ .
f
(z)
e1/ z z2
9
的极点为
:
___3_i_, __3_i_____;本性奇点为:
_______0__________ .
30
第四章 留数定理
一、留数定理：——P52
设函数 f(z)在回路 l 所围区域 B上除有限个孤
n
z
1
n
cos
2kπ n
i sin
2kπ n
i
2k
n e n
( k 0, 1, 2, , n 1 )
复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式 或指数式往往比代数式来得方便。
5
二、六种初等复变函数：
1. 幂函数 w z n
2 .指数函数 w e z
周期为2i，
3. 三角函数
26
例3. 把f (z) arctgz在z0 0邻域展成泰勒级数.
解：
arctgz
1
1 z2
dz
1
1 z2
(1)k z2k ,
k 0
z
1
arctg (1)k z2k1 c
k0 2k 1
arctg0 0
c 0
arctgz (1)k z 2k1, z 1
k0 2k 1
1
数学物理方法
教 材：梁昆淼编写的《数学物理方法》[第四版]
第一篇 复变函数论 内 容
第二篇 数学物理方程
1
第一章 复变函数
一、复数
1、复数的定义
z x iy ——代数式
z (cos i sin) ——三角式
z ei ——指数式
*复数三种表示式之间的转换
实部：x Re z 虚部：y Im z
(z )n1 分区域上解析, 为积分区域内一点；
(2) 利用柯西公式
f (z)
l (z )n1
dz
2i
n!
f
(n) ( )
来计算积分.
19
sin( z)
Ñ 例1. c
4 z2 1
dz,
其中c : (x 1)2 y2
1
sin( z)
4 dz
I Ñ c
z 1 z 1
sin z 2 i 4
奇点名称 0 z z0 R 的洛朗级数 可去奇点 不含负幂项
极限性质 lim f (z) 有限值
z z0
极点
含有限个负幂项
本性奇点 含无限个负幂项
lim f (z)
zz0
lim f (z)无定值
zz0
29
几个名词的定义：孤立奇点，非孤立奇点，可去奇点， m阶极点，本性奇点
极限判定法来判定可去奇点，极点，本性奇点。
x u
v y v
y x
2、解析函数性质
：
u
极坐标系：
1
v
1
u
v
(1)、若 f (z) u(x, y) iv(x, y) 是解析函数，则u v 0 。
(2)、若函数 f (z) u iv 在区域 B上解析，则 u和v
必为B上的相互共轭调和函数。
9
3、构建解析函数：
给出一个二元调和函数作为解析函数的实部 或虚部，通过C—R条件求出该解析函数的虚部或 实部，从而写出这个解1
1 t k0
27
例4.
把f (z)
z
2
(
1 z
i)
在圆环1
z i
展成幂级数.
解：f (z)
1 z2(z
i)
1 z i
1 z2
1 zi
d (1) dz z
1 z
i
1 (z
i)
1 z i
1
1
i
zi
1
(1)k (
i
)k
z i k0
z i
(i)3k (z i)k1
2
2
2 (cos i sin ) C
2
2
1
2 (cos i sin)2 C
1
2[(cos i sin)]2 C
2z C
16
第二章 复变函数积分
一、复变函数积分的性质： ——P23
二、计算复变函数回路积分
1、单通区域柯西定理：P24 2、复通区域柯西定理：P25
3、重要公式应用（P28）
25
常见函数的泰勒展开式: