KK rw KK ro 令：λw = ；λo = ；λ = λo + λw uw uo
∂ ∂P λ ⋅ + qv = 0 ∂x ∂x
λn 1
i+ 2
(4)
n +1 n +1 n +1 n +1 Pi + P P − P − 1 i i −1 − λn 1 i i− ∆xi ∆xi 2 + qvi = 0 ∆xi
(5)
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三、差分方程组的建立
i=1为水注入处， 为水注入处，i=n为油或油水产出处（ 为油或油水产出处（第一个和第n个网格有源汇相， 个网格有源汇相，其余 没有） 没有）
1 2 …… i-1 i i+1 …… n-1 n
i-1/2 i+1/2
分三种情况讨论： 分三种情况讨论： （1）第2个至第n-1个网格： 网格：无注入、 无注入、也无产出： 也无产出：qv=0
n +1 n +1 n n +1 n +1 λn 1 ( Pi + − P ) − λ ( P − P 1 i 1 i i −1 ) = 0 i+ 2 i− 2
Reservoir Simulation
一维油藏数值模拟方法
刘鹏程
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第一节 一维两相水驱油的数值模拟方法
特点： 特点：1、系数矩阵均为三对角 2、油水两相简单处理 川东大池干气藏， 川东大池干气藏，长20km，宽<2km，隐蔽油气藏
i=1 i=2
i=n-1 i=n
1 λ1
−1 − (λ1 + λ2 )
λ2
λ2 − (λ2 + λ3 )
λ3
...........
..........
λn − 2
− (λn − 2 + λn −1 ) 1
典型的三对角矩阵， 典型的三对角矩阵， 用追赶法分别求出 P1，P2，…….Pn
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二、差分方程组的建立基础
3、 （位置上） 位置上）方程非线性系数取上游权（ 方程非线性系数取上游权（Up-Stream）（误差小 ）（误差小） 误差小）
K rl ( S wi ) 由i → i + 1 = K rl ( S wi +1 ) 由i + 1 → i
2、显式求饱和度： 显式求饱和度： 利用偏微分方程（ 利用偏微分方程（1）（水相方程 ）（水相方程） 水相方程）差分方程： 差分方程：只含一个未知数： 只含一个未知数：Swin+1
全隐式处理
K
n +1 rl
∂K rl n ' = K (S ) + ∆Sl = K rl ( Sln ) + K rl ( Sln +1 )( S ln +1 − S ln ) ∂Sl
全隐式也用泰勒基数展开取一阶小量， 全隐式也用泰勒基数展开取一阶小量，但一阶导数不用 上一阶段值， 上一阶段值，而用本阶段的值， 而用本阶段的值，常用叠代求解。 常用叠代求解。
11
三、差分方程组的建立
λn （3）对于第n个网格： 个网格：i=n，产出为qv，（5）式由于第一项取上游权： 式由于第一项取上游权： n =0 无流动，（ 无流动，（5）式变为： 式变为：
n +1 n +1 ( − λn P − P n −1 n n −1 ) − qv = 0 2 ∆x 2 q ∆ x 1 n +1 v Pnn−+ − P = (8) 1 n n
qlv =
ρl
3
ql
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一、数学模型
水相： 水相：
∂S w ∂ KK rw ∂P φ q ⋅ + = wl ∂x u w ∂x ∂t ∂ KK ro ∂P ∂S o q φ ⋅ + = ol ∂x uo ∂x ∂t
l = o, w
2、一维方向， 一维方向，不考虑重力： 不考虑重力： 3、不考虑流体和岩石的压缩性： 不考虑流体和岩石的压缩性： 流体为牛顿流体且不含溶解气： 流体为牛顿流体且不含溶解气： 不考虑油水毛管力： 不考虑油水毛管力： 4、令： 单位体积在单位时间内质量流量 /ρ=单位体积在单位时间内体积流 量。
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( 6)
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三、差分方程组的建立
λn （2）对于第1个网格： 个网格：i=1，注入为qv，（5）式由于第二项取上游权： 式由于第二项取上游权： 0 =0 无流动，（ 无流动，（5）式变为： 式变为：
n n +1 λ1 ( P2n +1 − P ) 1
λn −1
分子、 分子、分母同乘以A×∆x，（截面积 ，（截面积× 截面积×长度）， 长度），令 ），令：Qv=qvA ∆x
P
n +1 n −1
−P
n +1 n
∆x Qv = ⋅ n A λn −1
(8) '
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三、差分方程组的建立
a1 P 1 + b1 P 2 = d1 ci Pi −1 + ai Pi + bi Pi +1 = d i c P + a P = d n n n −1 n n
i = 2,3,L, n − 1
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三、差分方程组的建立
系数取上游权。 系数取上游权。并用显式处理： 并用显式处理：
n +1 n +1 n n +1 n +1 λin ( Pi + λ − P ) − ( P − P 1 i i −1 i i −1 ) = 0 n +1 n n n +1 n n +1 λin−1 Pi − − ( λ + λ ) P + λ 1 i −1 i i iP i +1 = 0
7
i+
= K i K i +1
几何平均
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三、差分方程组的建立
用IMPES方法建立差分方程组 方法建立差分方程组： 建立差分方程组： 1、乘以适当系数， 乘以适当系数，合并油方程和水方程， 合并油方程和水方程，消除差分方程组的So，Sw，从 而得到只含压力方程。 而得到只含压力方程。 2、方程左端达西相系数用上一阶段值， 方程左端达西相系数用上一阶段值，即显式处理系数， 即显式处理系数，压力隐式处理， 压力隐式处理， 形成一高阶线性方程组， 形成一高阶线性方程组，求解。 求解。 3、解出压力方程之后， 解出压力方程之后，将解出的压力值代入油方程和水方程， 将解出的压力值代入油方程和水方程，用显式计算 饱和度值。 饱和度值。 4、井点所在网格的产量作显式处理， 井点所在网格的产量作显式处理，由上一时间阶段的饱和度值计算井点 网格的油水产量。 网格的油水产量。
∂ KK rl ∂Pl ∂ ρ q ( ρ lφS l ) ⋅ + = l l ul ∂x ∂x ∂t
ϕ = const; ρl = const
u w = const; uo = const Po = Pw = P
∂ KK rl ∂P ql ∂ φ ( Sl ) ⋅ + = ⋅ ∂x ul ∂x ρ l ∂t
(1) ( 2)
油相： 油相：
未知数三个， 未知数三个，方程两个; 辅助方程： 辅助方程： I.C：P（x，0）=Pi(原始压力) Sw（x,0）=Swc(束缚水饱和度) B.C： qv x =0 = qwv = qv
qv
x=L
P; S w , S o S w + So = 1 (3)
= qwv + qov = qv
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二、差分方程组的建立基础
半隐式处理
K
n +1 rl
∂K rl n ' = K (S ) + ∆Sl = K rl ( Sln ) + K rl ( Sln )( Sln +1 − Sln ) ∂Sl
n rl n l
n rl n l
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三、差分方程组的建立
1、隐式求压力： 隐式求压力： 为消除饱和度，（ 为消除饱和度，（1）+（2）得：
∂ KK rw ∂P ∂ KK ro ∂P ⋅ + ⋅ + qov + qwv = 0 ∂x u w ∂x ∂x uo ∂x
（6）（7）（8）式构成了从i=1到n的线性代数方程组， 的线性代数方程组，矩阵方程如下： 矩阵方程如下：
∆x Qv A ⋅ λn P 1 1 P 0 2 = λn −1 Pn −1 0 P ∆x Q −1 n ⋅ v A λn n −1
水定产注入
0
出口端定压