距离函数。一般可取
Φx,0
为
x
点到界面
Γ
0
符号距离
d ( x,Γ (0))
x
Ω1
d (x,Γ
(0)) 表示
x
到
Γ(
Φx,t
0 d
(
x,Γ
0 ) 的距离。
x (0))
Γ 0
x
Ω
2
（1）
二、Level Set方法的数学描述
等值面函数法的思想就是Φ 以适当的速度移动， 或者说等值面以适当的速度移动。
这类方法中最具代表性的是PIC方法和MAC方法。 PIC (Particle-in-Cell) MAC (Mark-and-Cell)
界面追踪法（Front Tracking Methods）
属于欧拉方法的范畴。 （１）高度函数法 （２）VOF （３）Level Set
一、Level Set方法的基本思想
二、Level Set方法的数学描述
定义：Level Set 函数Φx,t，使得在任意时刻气－液相界面
Γ t 恰是Φx,t的零等值面，即要求
Γ
t
x
Ω:Φ(x, Nhomakorabeat)
0
同时函数Φx,t应在 Γ t 附近为法向单调，在 Γ t 上为零。
通常在整个计算区域中将 Level Set 函数Φx,t定义为一个符号
Level Set 方法由S. Osher和J. A. Sethian提出。
这种方法先在整个计算区域上定义一个光滑函 数，φ；两种流体的界面可用函数φ的零值点表示。
通过在所研究的计算区域上求解一个HamiltonJacobi类型的方程来更新相界面边界。
一、Level Set方法的基本思想
Level Ser方法的核心思想在于： 从几何角度看，气(液)－液界面对应于一高阶曲面与平
第八讲： Level Set方法及其应用
两相流数值模拟方法的分类
分子气体动力学模型
分类方法很多
离散的介观层次格子类方法
格子－气体（Lattice Gas）法 格子－波尔兹曼（Lattice Boltzman）方法
均相模型
气体－颗粒两相流
分相模型
单颗粒动力学模型 颗粒群轨道模型 拟流体模型
在任意时刻，只要求出Φ 的值，就可以确定活动
界面的位置。
————这样就避免了显式地追踪活动界面（即 物质界面），提高了我们追踪复杂界面的能力。
二、Level Set方法的数学描述
说明:
（１） Level set 函数的数学性质：参考相关文献。 （２） 什么是距离函数？空间点到界面的最短垂直距离。距离函数
均相模型
连续介质模型 Eulerian
Eulerian方法/Eulerian
Lagrangian方法
PIC方法
界面追踪（Front
Tracking）类方法
FLIC方法
MAC方法
气体－液体两相流
分相模型(双流体模型)界混面合捕Eu捉ler(iFanrontLagCraapntguirainn方g )类法方法
面的相交线（面）；比如说，三维曲面和平面相交，可得到 平面上的曲线；
从数学角度看，气(液)－液界面则对应于一高阶方程的 零等值面。通过在所研究的计算区域上求解一个一阶的偏微 分方程来更新高阶函数值，从而更新相界面。
二、Level Set方法的数学描述
LEVEL SET函数的定义：
假设：在计算区域 Ω 中存在不可压缩气 －液两相流动，气、液两相占据的区域 分别为 Ω1(t)、Ω 2(t)，Γt为气－液两相分界 面，气、液两相的密度和粘性系数分别 为 1, 2 和 1, 2 ，表面张力系数为 。
二、Level Set方法的数学描述
说明：
（１）距离初始化。 一般来讲，由于数值方法的内在效应，即使只是
进行了几个时间步长的求解，Φx,t 将不再是满足（4）
式定义的符号距离。在实际应用中，需要对函数 Φx,t
做特殊处理。这就是我们后面要提到的距离初始化— —通过数值运算，使方程（４）的条件得到满足。为 什么要进行距离初始化，后面也会提到。
高度函数法 线段法 VOF方法 Level Set方法
其它（辅助）方法 影相子场流（P体h（aseGhoFsiteldF）lu方id法 Method）法
汽－液两相流界面描述方法的分类
进行气(液)－液两相流数值模拟的最大障碍就是气(液)－ 液界面的存在、变形、其位置的不确定性、及相界面周 围流体物性的急剧变化；——这也是过去几十年中数学 家和两相流研究工作者所面临的最大困难之一。
针对这一问题，专门提出了关于相界面的描述方法。
目前已提出的数值研究方法可分为两大类：即 (1)界面捕捉法(Front-Capturing Methods) (2)界面跟踪法(Front-Tracking Methods)。
界面追踪法（Front Tracking Methods）
界面追踪方法，直观的理解，属于Lagarange类方法。 如果有足够多双眼睛盯住／“锁定”界面上的各个点，通过对 各个点的观察、记录就可以确定整个界面的运动过程和轨迹。这就 是界面追踪方法产生的最初的出发点和本质。 不难理解，从概念上，界面追踪方法比界面捕捉类方法更容易 接受，比较直观。但实现起来比较烦琐。
Φt u Φx v Φy 0
其中， u 是流体速度矢量。
（3）
二、Level Set方法的数学描述
根据对 Φx,t 的初值的设定， 初值是满足 下述方程（4）的。我们还要求在任意时刻 Φx,t 也
满足方程（4）。
d (x, (t))
x
1
x, t
0
d
(x,
(t))
x
t
x
2
（4）
那么，Level Set 函数 的变化受什么约束呢？ 为了保证在任意时刻函数Φ 的零等值面就是活动
界 于面 活， 动界Φ 要面满Γ 足t 一上定的的任控意制点方x 程，，Φ在x,t任 0意，时从刻而t有, 对
dΦ
Φ
V Φ
0
,
V
dx
dt t
dt
（2）
二、Level Set方法的数学描述
对于具体问题，方程（2）有具体的形式，在自由 面追踪或两相流问题中，物理量控制方程一般是 N-S 方程，则方程（２）就是
的主要性质是满足
1
比如：（a）二维区域内圆形相界面的初始距离函数 （b）二维区域内水平相界面的初始距离函数 （c）二维区域内矩形相界面的初始距离函数，等等
（３）Level Set 函数是一个带符号的距离函数，有正负之分，是代 数值。
二、Level Set方法的数学描述
LEVEL SET函数的控制方程：