- 17 -非线性曲线拟合的实证分析吴 燕（安徽财经大学，安徽 蚌埠 233041）【摘 要】文章主要是运用matlab 软件，通过定量分析对非线性曲线模型进行曲线拟合，得到非线性曲线的模型，并找出最佳模型。
【关键词】matlab；双曲线；对数曲线；幂函数曲线；预测 【中图分类号】TP319 【文献标识码】A 【文章编号】1008-1151(2008)09-0017-02（一）理论概述 在生产和科学实验中，线性模型是回归模型中最常见的一种，但实际中，许多现象之间的关系往往并不是线性的，而是呈现某种曲线关系。
这就产生了非线性模型理论方法。
非线性模型指的是关于参数或自变量是非线性函数的模型。
非线性模型的形式复杂多样，有双曲线形式、对能够数形式、幂函数形式等，更复杂的有修正指数曲线、Compterz 曲线以及Logistic 曲线等。
如何根据实际的数据选择合适的模型，是建模的关键。
总的说来可以参考两种方法：一是根据散点图来确定类型，即由散点图的形状来大体确定模型类型；二是根据一定的经济知识背景。
在matlab 软件中，非线性拟合主要是通过函数inline 和命令[beta,r,J] = nlinfit(x,y,fun,beta0)来进行的。
其中，函数inline 是用来定义所要求的函数的；用命令[beta,r,J]= nlinfit(x,y,fun,beta0)来进行拟合，其中x,y为原始数据，fun 是在M 文件中定义的函数，beta0是函数中参数的初始值；beta 为参数的最优值，r 是各点处的拟合残差，J 为雅克比矩阵的数值。
（二）实证分析本文采用某企业在16个月度的某产品产量和单位成本资料的数据，研究二者关系，运用matlab 软件分别对数据进行双曲线拟合、对数曲线拟合，幂函数曲线拟合，并从中找出最佳的拟合形式。
某企业某产品产量和单位成本资料月度序号产量（台）x单机成本（元/台）y1 4300 346.232 4004 343.343 4300 327.464 5016 313.275 5511 310.756 5648 307.617 5876 314.568 6651 305.729 6024 310.82 10 6194 306.83 11 7558 305.11 12 7381 300.71 13 6950 306.84 14 6471 303.44 15 6354 298.03 168000296.21首先，为了明确产量和单机成本是何种关系，先绘制散点图。
在matlab 软件中用plot(x,y)命令来做散点图，得到如下图形：2333333散点图 从图中可以看出y 和x 不宜采用线性模型来描述，此时考虑非线性模型。
根据散点图，y 随着x 的增加而减少，结合经济学中成本理论的相关知识，可以考虑以下三个模型：双曲线：y=a+b/x 对数曲线：y=a+b*lnx幂函数曲线：y=bax下面分别给出三种曲线函数的拟合程序： 1.双曲线模型：y=a+b/xx1=[4300,4004,4300,5016,5511,5648,5876,6651,6024,6194,7558,7381,6950,6471,6354,8000];y1=[346.23,343.34,327.46,313.27,310.75,307.61,314.56,305.72,310.82,306.83,305.11,300.71,306.84,303.44,298.03,296.21];先要进行初始参数的计算，选择已知数据的两点（4300，346.23）和（8000,296.21），在matlab 软件中用如下命令来解方程组：[a,b]=solve('346.23=a+b/4300','296.21=a+b/8000'); 得到初始值a= 238.08,b= 465050.81b01=[238.08,465050.81]; %初始参数值fun1=inline('b(1)+b(2)./x','b','x'); % 定义函数 [b1,r1,j1]=nlinfit(x1,y1,fun1,b01);y=250+355460/x1; %根据b1写出具体函数【收稿日期】2008-06-09 【作者简介】吴燕（1983－），安徽巢湖人，安徽财经大学数量经济专业在读生，研究方向为经济优化与应用。
R=sum(r1.^2) %误差平方和得结果：b1 =1.0e+005 *0.0025 3.5546R= 0.6302所以，根据上述结果，写出双曲线模型：y=250+355460/x。
2.对数曲线模型：y=a+b*lnxx1=[4300,4004,4300,5016,5511,5648,5876,6651,6024 ,6194,7558,7381,6950,6471,6354,8000];y1=[346.23,343.34,327.46,313.27,310.75,307.61,31 4.56,305.72,310.82,306.83,305.11,300.71,306.84,303.4 4,298.03,296.21];同理，先进行初始参数的计算，选择已知数据的两点（4300，346.23）和（8000,296.21），在matlab软件中用如下命令来解方程组：[a,b]=solve('346.23=a+b*log(4300)','296.21=a+b*l og(8000)');得到初始值a=1020.31,b=-80.57b01=[1020.31, -80.57]; %初始参数值fun1=inline('b(1)+b(2)*log(x)','b','x'); % 定义函数[b1,r1,j1]=nlinfit(x1,y1,fun1,b01);R=sum(r1.^2) %误差平方和得结果：b1 =857.6893 -62.8137R= 2.5592所以，根据上述结果，写出对数曲线模型：y=857.69-62.81lnx。
3.幂函数曲线：y=baxx1=[4300,4004,4300,5016,5511,5648,5876,6651,6024 ,6194,7558,7381,6950,6471,6354,8000];y1=[346.23,343.34,327.46,313.27,310.75,307.61,31 4.56,305.72,310.82,306.83,305.11,300.71,306.84,303.4 4,298.03,296.21];同理，先进行初始参数的计算，选择已知数据的两点（4300，346.23）和（8000,296.21），代入幂函数曲线方程的等价方程lny=lna+blnx中，在matlab软件中用如下命令来解方程组：[a,b]=solve('log(346.23)=log(a)+b*log(4300)','lo g(296.21)=log(a)+b*log(8000)');得到初始值a= 2835.16,b= -0.2513b01=[2835.16, -0.2513]; %初始参数值fun1=inline('b(1)*exp(b(2)*log(x))','b','x'); % 定义函数[b1,r1,j1]=nlinfit(x1,y1,fun1,b01);R=sum(r1.^2) %误差平方和得结果：b1 =6.78600.1806R= 3.1760所以，根据上述结果，写出幂函数曲线模型：y=6.78181.0x。
4.小结从上述拟合的数据来看，三个模型的误差平方和分别为0.6302、2.5592、3.1760，即双曲线的拟合效果最好，对数曲线其次，幂函数曲线最差。
所以，选择双曲线模型作为本实例的终选模型，即某企业某产品的产量和单位成本资料二者之间关系为双曲线模型：y=250+355460/x，并可以应用该模型对以后月度的数据做出预测。
【参考文献】[1] 易丹辉.数据分析与Eviews应用[M].（上接第14页）接受了镀层的纸张作为信息的载体，可在其面层进行常规印刷等加工，或直接制成各种包装品。
全息转移纸具有两层（或多层）记录各种信息的载体，全息层不仅能够达到防伪功能，还可通过五彩斑斓的图像充分体现包装的个性和档次。
正是基于这种制造工艺，全息转移纸具有防伪、耐折、装饰、耐磨、可印刷、环保等优点，相信随着全息技术的发展，全息防伪技术将取得进一步的发展。
（五）全息技术在军事工业中的应用 除了全息技术在军事领域的传统应用外，近年来发展起来的有全息导弹制导系统及全息瞄准镜等，大大地推进了军事的信息化建设。
与普通光学系统相比，在导弹制导系统中应用全息光学元件具有许多优越性。
首先，可以把比较复杂的光学制导系统简化为一个或两个全息光学元件组，从而既减轻重量又提高强度；其次，如果使用计算全息元件，可以产生普通光学系统无法实现的功能；第三，全息元件较易复制所以成本较低；最后，全息光学元件可以记录在制导系统的传感器窗口上，并于导弹的行状一致，这是最重要的。
目前，全息光学元件导弹制导系统中的直接应用主要包括：有两个全息光学元件组成的全息变焦物镜，全息滤光片，全息校正板等。
将全息技术应用到枪械瞄准上，便制造出了全息瞄准镜。
全息瞄准镜的分划是全息图——投射到一块直立的硬玻璃上的激光图像。
用全息技术形成的瞄准分划，即使在硬玻璃窗（全息图投射到其上面）严重损坏的情况下，仍然能够使用。
关掉全息瞄准镜，射手透过全息瞄准镜的玻璃窗观察,就可以按通常的方法使用机械瞄具，而不必把全息瞄准镜取下来。
和准直式瞄准镜一样，射手可以立即看到全息瞄准镜的分划，实际上可以马上瞄准目标，使用时射手两只眼睛睁开，不会遮挡视线，在武器后坐或目标急速移动时分划仍在视场之中。
（六）后语随着光全息术的不断向前发展，催生了不同全息技术的出现，如微波全息，声全息等，并同它们一起不断加深全息术在现代生活中的应用。
相信在不久的将来，人们对全息术耳熟能详，其制品也将在生产生活中随处可见。
【参考文献】[1] 周海宪,程云芳.全息光学－设计、制造和应用[M].北京: 化学工业出版社,2005.[2] 王仕璠.信息光学理论与应用[M].北京:北京邮电大学出版社,2004.[3] 苏显渝,李继陶.信息光学[M].北京:科学出版社,1999.- 18 -。