题型一1．设{an }是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设{bn }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．题型二2．已知数列{an }、{bn}、{cn}满足．（1）设cn =3n+6，{an}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有bn ≥bk；（3）设，．当b1=1时，求数列{bn}的通项公式．题型三3．已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n ﹣1+2（m﹣n）2（1）求a3，a5；（2）设bn =a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{bn}是等差数列；（3）设cn =（an+1﹣an）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{cn}的前n项和Sn．题型四4．已知数列{an}满足，，n∈N×．（1）令bn =an+1﹣an，证明：{bn}是等比数列；（2）求{an}的通项公式．5．设数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）证明：{an+1﹣2a n}是等比数列；（Ⅲ）求{an}的通项公式．6．在数列{an }中，a1=1，．（Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）令，求数列{b n }的前n 项和S n ；（Ⅲ）求数列{a n }的前n 项和T n ．7．已知数列{a n }的首项，，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前n 项和S n ．8.在数列{}na 中，10a =，且对任意*k N ∈k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为k d 。

(Ⅰ)若k d =2k ，证明21222,,k k k a a a -+成等比数列（*k N ∈）； (Ⅱ)若对任意*k N ∈，21222,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q .设1q ≠1.证明11k q ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；9.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式。

10. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=- （Ⅰ）证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5． （I ） 求数列{b n }的通项公式；（II ） 数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n +}是等比数列．题型五12.数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求（I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式； （II ）2462n a a a a ++++的值.13．已知数列{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 2a 6=55，a 2+a 7=16 （1）求数列{a n }的通项公式； （2）数列{a n }和数列{b n }满足等式a n =（n∈N *），求数列{b n }的前n 项和S n ．提醒六14．设数列{a n }的通项公式为a n =pn+q （n∈N *，P ＞0）．数列{b n }定义如下：对于正整数m ，b m 是使得不等式a n ≥m 成立的所有n 中的最小值． （Ⅰ）若，求b 3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{b m }的前2m 项和公式；15．已知数列{x n }的首项x 1=3，通项x n =2n p+np （n∈N*，p ，q 为常数），且成等差数列．求：（Ⅰ）p ，q 的值；（Ⅱ）数列{x n }前n 项和S n 的公式．16．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1，且a 1，a 3，a 9成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项；（Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n ．17．已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =（4﹣a n ）q n ﹣1（q≠0，n ∈N *），求数列{b n }的前n 项和S n ．18．在数1 和100之间插入n 个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n ，再令a n =lgT n ，n≥1． （I ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =tana n •tana n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．题型七19．已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=﹣10 （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）求数列{}的前n 项和．20．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n∈N *，点（n ，S n ），均在函数y=b x +r （b ＞0）且b≠1，b ，r 均为常数）的图象上． （1）求r 的值； （2）当b=2时，记b n =n∈N *求数列{b n }的前n 项和T n ．题型八21．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．题型九22．已知公差不为0的等差数列{an }的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为Sn，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{an }的通项公式及Sn；（Ⅱ）记An =+++…+，Bn=++…+，当a≥2时，试比较An与Bn的大小．23.设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S 5S6+15=0．（Ⅰ）若S5=5，求S6及a1；（Ⅱ）求d的取值围．答案1．（2011•）设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设{bn }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．分析：（Ⅰ）由{an }是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式（Ⅱ）由{bn }是首项为1，公差为2的等差数列可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an +bn}的前n项和Sn．解答：解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列∴设其公比为q，q＞0∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1 ∵q＞0∴q=2∴{an }的通项公式为an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴数列{an +bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣22．已知数列{an}、{bn}、{cn}满足．（1）设cn =3n+6，{an}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有bn ≥bk；（3）设，．当b1=1时，求数列{bn}的通项公式．专题：计算题；分类讨论。

分析：（1）先根据条件得到数列{bn}的递推关系式，即可求出结论；（2）先根据条件得到数列{bn}的递推关系式；进而判断出其增减性，即可求出结论；（3）先根据条件得到数列{bn}的递推关系式；再结合叠加法以及分类讨论分情况求出数列{bn}的通项公式，最后综合即可．解答：解：（1）∵an+1﹣an=3，∴bn+1﹣bn=n+2，∵b1=1，∴b2=4，b3=8．（2）∵．∴an+1﹣an=2n﹣7，∴bn+1﹣bn=，由bn+1﹣bn＞0，解得n≥4，即b4＜b5＜b6…；由bn+1﹣bn＜0，解得n≤3，即b1＞b2＞b3＞b4．∴k=4．（3）∵an+1﹣an=（﹣1）n+1，∴bn+1﹣bn=（﹣1）n+1（2n+n）．∴bn ﹣bn﹣1=（﹣1）n（2n﹣1+n﹣1）（n≥2）．故b2﹣b1=21+1；b 3﹣b2=（﹣1）（22+2），…b n﹣1﹣bn﹣2=（﹣1）n﹣1（2n﹣2+n﹣2）．b n ﹣bn﹣1=（﹣1）n（2n﹣1+n﹣1）．当n=2k时，以上各式相加得b n ﹣b1=（2﹣22+…﹣2n﹣2+2n﹣1）+[1﹣2+…﹣（n﹣2）+（n﹣1）]=+=+．∴bn==++．当n=2k﹣1时，=++﹣（2n+n ） =﹣﹣+∴b n =．3．（2010•）已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m 、n ∈N*都有a2m ﹣1+a2n ﹣1=2am+n ﹣1+2（m ﹣n ）2 （1）求a 3，a 5；（2）设b n =a 2n+1﹣a 2n ﹣1（n∈N *），证明：{b n }是等差数列； （3）设c n =（a n+1﹣a n ）q n ﹣1（q≠0，n∈N *），求数列{c n }的前n 项和S n ． 分析：（1）欲求a 3，a 5只需令m=2，n=1赋值即可．（2）以n+2代替m ，然后利用配凑得到b n+1﹣b n ，和等差数列的定义即可证明． （3）由（1）（2）两问的结果可以求得c n ，利用乘公比错位相减求{c n }的前n 项和S n ． 解答：解：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a 3=2a 2﹣a 1+2=6 再令m=3，n=1，可得a 5=2a 3﹣a 1+8=20（2）当n∈N *时，由已知（以n+2代替m ）可得 a 2n+3+a 2n ﹣1=2a 2n+1+8于是[a 2（n+1）+1﹣a 2（n+1）﹣1]﹣（a 2n+1﹣a 2n ﹣1）=8 即b n+1﹣b n =8所以{b n }是公差为8的等差数列 （3）由（1）（2）解答可知{b n }是首项为b 1=a 3﹣a 1=6，公差为8的等差数列 则b n =8n ﹣2，即a 2n+1﹣a 2n ﹣1=8n ﹣2 另由已知（令m=1）可得 a n =﹣（n ﹣1）2．那么a n+1﹣a n =﹣2n+1=﹣2n+1=2n于是c n =2nq n ﹣1．当q=1时，S n =2+4+6++2n=n （n+1）当q≠1时，S n =2•q 0+4•q 1+6•q 2++2n •q n ﹣1． 两边同乘以q ，可得qS n =2•q 1+4•q 2+6•q 3++2n •q n ． 上述两式相减得（1﹣q ）S n =2（1+q+q 2++q n ﹣1）﹣2nq n =2•﹣2nq n=2•所以Sn=2•综上所述，Sn=4．（2009•）已知数列{an}满足，，n∈N×．（1）令bn =an+1﹣an，证明：{bn}是等比数列；（2）求{an}的通项公式．分析：（1）先令n=1求出b1，然后当n≥2时，求出an+1的通项代入到bn中化简可得{bn}是以1为首项，为公比的等比数列得证；（2）由（1）找出bn 的通项公式，当n≥2时，利用an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（an ﹣an﹣1）代入并利用等比数列的前n项和的公式求出即可得到an的通项，然后n=1检验也符合，所以n∈N，an都成立．解答：解：（1）证b1=a2﹣a1=1，当n≥2时，所以{bn}是以1为首项，为公比的等比数列．（2）解由（1）知，当n≥2时，an =a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（an﹣an﹣1）=1+1+（﹣）+…+===，当n=1时，．所以．5．（2008•）设数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）证明：{an+1﹣2a n}是等比数列；（Ⅲ）求{an}的通项公式．考点：等比关系的确定；等比数列的通项公式；数列递推式。