~~ ~ n 1 ~ A B ... A B ] ~ ~ ~ n 1 ~ A11B1 ... A11 B1 0 ... 0 ~ ~ ~ n 1 ~ A11B1 ... A11 B1 ]
能控性分解(12/18)
根据凯莱-哈密顿定理,由上式又可推得 ~ nc 1 ~ ~ n1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ rank[ B1 A11B1 ... A11 B1 ] rank[ B1 A11B1 ... A11 B1 ] nc ~ ~ x1是状态完全能控的。 即 A11 和B1为能控矩阵对,亦即nc维子系统 ~ 通过对定理4-17的证明,对系统的能控性分解得到一个重要 结论,即 对任何一个状态不完全能控的线性定常连续系统, 总可通过线性变换的方法将系统分解成完全能控的 子系统和完全不能控的子系统两部, 且变换矩阵Pc的前nc列必须为能控性矩阵Qc的nc个 线性无关的列或它的一组基底。




能控性分解(15/18)
因此,由上式可归纳出一结论: 状态不完全能控系统的传递函数阵等于其能控性分 解后能控子系统的传递函数阵。
由于状态不完全能控系统的传递函数阵等于其能控 子系统的传递函数阵,则其极点必少于n个,
即系统存在零极点相消现象。
能控性分解(16/18)—例4-15
2
控的。
c
~ ~ ~ x1为状态变量的nc维子系统 下面将证明以~ 是状态 ( A11, B1 ) 完全能控的。
能控性分解(11/18)
由于线性变换不改变系统的状态能控性,因此线性变换后的 能控性矩阵的秩应等于变换前的能控性矩阵的秩。 所以有
~ ~ rank Qc rank[ B ~ B rank 1 0 ~ rank[ B1 nc
,使得状态空间模型可变换成 则存在非奇异线性变换x=Pc x
能控性分解(2/18)
~ ~ x1 A11 ~ 0 x2 ~ y [C1
其中nc维子系统 是状态完全能控的。 而n-nc维子系统 是状态完全不能控的。
~ ~ ~ A12 x1 B1 ~ ~ u A22 x2 0 ~ ~ x1 C2 ]~ x2
能控性分解(18/18)
经变换所得的状态空间模型的各矩阵为
0 4 2 ~ A Pc1 APc 1 4 2 1 0 0 ~ C CPc [1 2 1]
则能控子系统的状态方程为
1 ~ B Pc1 B 0 0
... ...
q1 Apnc ...
q1 Apnc 1 ... qnc Apnc 1 qnc 1 Apnc 1 ... qn Apnc 1
... ... ... ... ... ...
... qnc Apnc ... 0 ... ... ... 0
q1 Apn ... ~ qnc Apn A 11 qnc 1 Apn 0 ... qn Apn
能控性分解(4/18)—能控性分解定理证明
证明过程: 由于系统状态不完全能控,其能控性矩阵 Qc=[B AB … An-1B] 的秩为nc 。 于是从Qc中总可以找到nc个线性无关列向量p1,p2,…, pnc , 这nc个列向量构成能控性矩阵Qc的一组基底, 即Qc中任何的列都可以由这nc个线性无关列向量p1, p2,…, pnc 线性表示。
pnc都可由矩阵Qc的列线性表示出 因此, Ap1, Ap2,…,A 来,也必然可由Qc的基底p1,p2,…, pnc线性表示出来。
所以,由式(4-52),必然有 qiApj=0 inc+1,jnc
能控性分解(8/18)
因此,有
q1 q ~ 1 A Pc APc 2 A[ p1 p2 ... pn ] ... q n
线性系统的结构分解和零极点相消(2/3)
也存在能否基于线性变换将系统的完全能观部分和 完全不能观部分分离开来? 系统状态空间模型的状态能控性/能观性问题是系统的 两个不变的结构性问题,描述了系统的本质特征的问题, 它们与描述系统的输入输出特性的传递函数阵之间 有何联系? 本节主要讨论上述关于线性系统状态空间结构性的2个问题, 即:
例4-15 试求如下系统的能控子系统: 1 2 1 0 x 0 u x 0 1 0 1 4 3 1 y [1 1 1 ]x 解 由于
0 1 4 23 rank Qc rank [ B AB A2 B] rank 0 0 0 0 1 3 故该系统为状态不完全能控且能控部分的维数为2。
~ A12 ~ A22
能控性分解(10/18)
由能控性矩阵Qc的定义可知,B矩阵的列也可由Qc的基底 p1, p2,…, pn线性表示出来。 c
因此,仿照上述证明,我们亦可证明得 ~ ~ B1 1 B Pc B 0 至此已证明了,当选择变换矩阵为Pc时,系统可分解为状态 x1和~ x 2的两个子系统。 变量分别为~ x 为状态变量的n-n 维子系统是状态完全不能 显然,以 ~
x1 0 4 ~ x1 2 ~ 1 ~ x3 u ~ ~ 1 4 x2 2 0 x2
能观性分解(1/10)—能观性分解定理
4.5.2 能观性分解
类似于能控性分解,对状态不完全能观的线性定常连续系统, 有如下能观性结构分解定理。
An ai An 1i
i 0 n 1
能控性分解(7/18)
故
0 qi p j 1
n 1 i 0
i j i j
(4 52)
AQc [ AB A2 B ... An B] [ AB A2 B ...
i a A i B]
即矩阵AQc的列都可由矩阵Qc的列线性表示出来。
Ch.4 线性系统的能控性和 能观性
目录(1/1)
目
录
概述 4.1 线性连续系统的能控性 4.2 线性连续系统的能观性 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消 4.6 能控规范形和能观规范形 4.7 实现问题 4.8 Matlab问题 本章小结
... qnc Apnc ... qnc 1 Apnc ... ... ... qn Apnc
q1 Apn qiApj=0 ... qnc Apn inc+1,jnc qnc 1 Apn ... qn Apn
q1 Ap1 ... qnc Ap1 0 ... 0
线性系统的结构分解和零极点相消(1/3)
4.5 线性系统的结构分解和零极点相消
一个系统状态不完全能控,意味着系统的部分状态不能控, 但也存在部分状态能控。
到底哪一部分状态能控,哪一部分状态不能控的问题,对 于控制系统的分析、设计和综合,显然是至关重要的。 由前面的结论已知,系统的非奇异线性变换不改变能控 性,那么是否存在线性变换后将系统的状态变量中完全 能控的部分和完全不能控的部分分离开来? 对状态不完全能观的系统, 也存在类似的区分哪些状态能观,哪些状态不能观 的问题。
能控性分解(1/18)—能控性分解定理
4.5.1 能控性分解
对状态不完全能控的线性定常连续系统,存在如下能控性结 构分解定理。
定理4-17 若线性定常连续系统
x Ax Bu y Cx
状态不完全能控,其能控性矩阵的秩为 rankQc=rank[B AB … An-1B]=nc<n
定理4-18 若线性定常连续系统 x Ax Bu y Cx 状态不完全能观,其能观性矩阵的秩为 C CA no n rank Qo rank ... CAn 1
能观性分解(2/10)

能控性分解(13/18)
对于这种状态的能控性结构分解情况如下图所示。 ~ ~ x x1 y1 1 ~ ~ + B1 C1
+ u 能控部分 +
~ A11
+ y +
~ A12
~ x2
+ 不能控部分

~ A22
~ x2
~ C2
y2
能控性分解(14/18)
由于线性变换不改变系统传递函数阵,所以有 ~ ~ ~ 1 ~ G ( s ) G ( s ) C ( sI A) B 1 ~ ~ ~ A11 A12 B1 ~ ~ [C1 C2 ] sI ~ 0 0 A 22 ~ ~ 1 B1 ~ ~ sI A11 * [C1 C2 ] ~ 1 0 0 sI A22 ~ ~ 1 ~ C1 ( sI A11 ) B1
能控性分解(9/18)
q1 Ap1 ... qnc Ap1 qnc 1 Ap1 ... qn Ap1
... ...
q1 Apnc ...
q1 Apnc 1 ... qnc Apnc 1 qnc 1 Apnc 1 ... qn Apnc 1
... ... ... ... ... ...
状态空间模型的结构性分解以及
传递函数阵与能控性/能观性的关系。 难点喔!
线性系统的结构分解和零极点相消(3/3)
本节讨论的主要问题: 基本概念: 能控分解、能观分解、能控能观分解、零极 点相消 基本方法: 能控分解、能观分解、能控能观分解、零极 点相消判据 本节讲授顺序为: 能控性分解 能观性分解 能控能观分解 系统传递函数中的零极点相消定理
能控性分解(5/18)
同样,还可以找到n-nc个线性无关向量 pnc 1 ,..., pn 使如下线 性变换矩阵: Pc [ p1 ... pnc pnc 1 ... pn ] 为非奇异的。 将变换矩阵Pc选作能控性分解的变换矩阵,则可以作 变换x=Pcx 。 设Pc的逆矩阵可以记成