二次根式有意义的条件: 注意： 被开方数大于或等于零
（2）满足下列两个条件的二次根式， 叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；
②被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式；
（3）几个二次根式化成最简二次根 式后，如果被开方数相同，那么这 几个二次根式叫做同类二次根式。
2.二次根式的性质(1)：
（1） 非负性 ：
二次根式的加减： 类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。
a b (a 0 , b 0) ab
a a (a 0 , b 0) b b
二次根式的混合运算：
原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用， 原来所学的乘法公式（如 (a b)(a b) a 2 b 2 ,
a 0 （ａ 0）
三个性质
a )2 a
a a 2 a {a ,a , 0 0 a
四种运算
加 、减、乘、除
本章知识
1.二次根式的有关概念：
（1）二次根式（2）最简二次根式（3）同类二次根式
（1）形如
a (a 0)
非负数
的 式子叫做二次根式.
（即一个
的算术平方根叫做二次根式）
2
若 a 2 a 则
a 0;
2.二次根式的性质(2)：
(4) ab (a 0,b 0) a b
a a (5) ( a 0 b b b 0)
3.二次根式的运算：
二次根式乘法法则 二次根式除法法则
a=4 a 4 4 a 有意义的条件是______
4.求下列二次根式中字母的取值范围
1 x5 3 x
解：
x 5 0 3 x 0
①
②
解得
5 x 3
说明：二次根式被开方 数大于等于0，所以求二 次根式中字母的取值范 围常转化为不等式(组)
已知y
(a b)2 a 2 2ab b 2 ）仍然适用。
题型1:二次根式有意义的条件 1.当x取何值时，下列二次根式有意义： ①
x3
1 3x
x2 5
3 1 2x
②
3x 2
5 1 x
③
⑤
④ ⑥
⑧
2 x
⑦
x 1
2
2. 当 3.
_____时，
x
≤3 有意义。 x 3
D.
2 3
2.下列与 （题中 A.
ab 4
a b 不是同类二次根式的有:( D )
3
a 0,b 0 ）
B.
b a
1 C. ab
D.
ab
2 2
题型5: 计算
1 (1) 153 5 2
(2) 3 x
6 xy
(3)(3 48 4 27 ) 2 3
1 (4) 12( 75 3 3 48)
2
a 0(a )
(2) a ) (a 0) a
(3) a a
2
a(a 0) 0(a 0) a(a 0)
注：若
a a 则 a 0;
(5)
20 5 1 12 3 5
（6) ( 3 2)( 3 2)( 2 3)
2010
2
（ （ 7 ） ( 3-2 ） × 2+
3）
2010
通过这节课的学习， 谈谈你的收获。
祝你成功！
完成课本 复习题1，2，3
2 x
5 y x 2 5, 则 ____ 2 x
?
题型2:二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 2 x y 0 ,求 解：由题意，得 解得
x y
的值.
x 4 0且2 x y 0
x 4, y 8
x y 4 (8) 4 8 12
复习目标
加深理解二次根式的有关概念；
熟练掌握二次根式有意义的条件； 熟练运用二次根式的化简和加
减、乘除、乘方混合运算；
知识结构
三个概念
二次根式
最简二次根式
同类二次根式
1、 ab a b a 0, b 0
二 次 根 式
两个公式
a 2、 b
(
a b
(a 0, b 0)
2.已知x,y为实数,且
x 1 3( y 2) 0 ,则
2
x y 的值为( D )
D.-1
A.3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B.-3
C.1
题型3:化简
把下列二次根化为最简二次根式
(1) 48
3 (2) 2
3 (5) 24
3 (3) 3 5
(4) 0.4
2
(6) 3a b (a 0,b 0)
变式应用
1.式子
( a 1) a 1 成立的条件是（ D ）
2
A.a 1
2、 化简
B.a 1
C.a 1
D.a 1
1- 3
2
解： 1 - 3


2
1- 3 3 1
题型4:同类二次根式 1.下列与 A.
12
2
是同类二次根式的有:( B )
B.
1 2
C. 27