积分的对称性
定积分的对称性
当 f ( x ) 在[ a , a ]上连续，则有
f ( x )dx f ( x ) f ( x )dxБайду номын сангаас a 0
a a
且有
① f ( x ) 为偶函数，则
a f ( x )dx 20
a
a
f ( x )dx ；
a
② f ( x ) 为奇函数，则 a f ( x )dx 0 .
L
L
( 2)当 f ( x , y ) f ( x , y )时 f ( x , y )ds 2 f ( x , y )ds
L1
其中L1 是L 的关于 y 轴对称的部分弧段
L1 ( x , y ) | ( x , y ) L , x 0
②若L关于 x 轴对称
(1) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 f ( x , y )ds 0
1 ( x , y , z ) | ( x , y, z ) , z 0 ② 若 关于 xoz 面对称
(1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z ) 时 I 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时
对 I f ( x , y , z )dv

① 若 关于 xoy 面对称 (1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z , ) 时 I 0
( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时 I 2 f ( x , y , z )dv
1
I 2 f ( x , y , z )dv
2 ( x , y, z ) | ( x , y, z , y 0)
③ 若 关于 yoz 面对称
2
(1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z ) 时 I 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时
D3
①、②、③简单地说就是 奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于 对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍， 完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质
三重积分的对称性
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性．
一般地，当积分区域 关于 xoy 平面对称，且 被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的偶函数，则 三重积分为 在 xoy 平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.
L
( 2) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 f ( x , y )ds 2 f ( x , y )ds
L L2
其中L2 是L 的关于x 轴对称的部分弧段
L2 ( x , y ) | ( x , y ) L , y 0
③若 L 关于 原点 对称
(2)当f ( x, y ) f ( x, y )时 I 2 f ( x , y )dxdy
D2 ( x , y ) D, y 0
D2
②若D关于 y 轴对称
(1)当f ( x, y ) f ( x, y )时 I 0
( 2)当f ( x , y ) f ( x , y )时 I 2 f ( x , y )dxdy
二重积分的对称性
利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积 分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾被积 分函数和积分区域两个方面，不可误用
I f ( x , y )dxdy
D
①若D关于 x 轴对称
(1)当f ( x , y ) f ( x , y )时 I 0
f ( x , y , z )dS 2 f ( x , y , z )dS
1
其中 1 是 位于对称坐标面一侧的 部分
与重积分的对称性十分类似
对面积的曲面积分的对称性
对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性
设 对称于xoy （或yoz ，或 zox ）坐标面
若 f（x , y , z ) 关于z（或 x ，或 y ）是奇函数
则 f ( x , y , z )dS 0

若 f（x , y , z ) 关于z（或 x ，或 y ）是偶函数
I 2 f ( x , y , z )dv
3
3 ( x , y, z ) | ( x , y, z ) , x 0
对弧长的曲线积分的对称性
对 f ( x , y )ds
L
①若 L 关于 y 轴对称
(1) 当 f ( x , y ) f ( x , y )时 f ( x , y )ds 0
(1) 当 f ( x , y ) f ( x , y )时 f ( x , y )ds 0
L
( 2) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时
L f ( x, y)ds 2L
f ( x , y )ds
3
其中 L3 是 L 的对称的部分弧段
L3 ( x , y ) | ( x , y ) L , x 0 y 0
D1 ( x, y ) ( x, y ) D, x 0 D
1
③若D关于原点对称
(1) 当f( x, y) f( x, y) 时I 0 (2)当f ( x, y ) f ( x , y )时 I 2 f ( x , y )dxdy
D3 ( x, y ) D, x 0, y 0