(x y z)2dV
x2dV y2dV z2dV xydV yzdV xzdV
3
z2dV 3
2
d
sin d
R r4 cos2 dr 6
sin cos2 d
R r4dr
0
0
0
0
0
4 R5.
5
D
解：如图所示，积分区域D关于x轴对称，且f(x,-y)=-(xy+y3 )=-f(xy)
即f (x, y)是关于y的奇函数，由定理知， (xy y3)dxdy=0. D
计算 （x+y+z）2dV ,其中是x2 y2 z2 R2的球体.
解由对称性知
xydV yzdV xzdV, x2dV y2dV z2dV,
D
答案：1. ln 2 2.- 2 3. a b
2Hale Waihona Puke 52利用对称性简化二重积分计算
1、I=
z ln(x2 1 x2
y2 y2
zz22)dxdydz,
其中为x2
y2
z2
1.
解：由被积函数可以看出，此函数是关于z的奇函数，因为关于坐标轴 、坐标原点都对称，则：I=0
2、计算I = (xy y3)dxdy,其中D为由y2 2x与x 2围成的区域
f (x, y)dxdy f (y, x)dxdy
D1
D2
f (x, y)dxdy f (y, x)dxdy
D
D
对称性的应用
例1：设区域D={（x,y)|x2 y2 1, x 0},计算二重积分I = 1 xy dxdy
D 1 x2 y2
例2：计算 x[1 yf (x2 y2 )]dxdy，其中D是由y=x3, y 1, x 1围成的区域，f
性质1：（对称性，偶倍奇零）
设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续
（1）如果D关于x轴对称，记其x轴上方区域
为 D，1 则有
0
当f (x, y) f (x, y)[即关于y的奇函数]
D
f
(x,
y)dxdy
2
D1
f
(x,
y)dxdy
当f(x, y) f(x, y)[即关于y的偶函数]
（2）如果D关于y轴对称，记其y轴右 侧区域为 D，1 则有
D
是D上的连续函数
例3：设区域D={(x,y)|x2 y2 4, x 0, y 0}，f (x)为D上的正值连续函数，
a,b为常数，求 a
D
f (x) b f (y) dxdy
f (x) f (y)
例4：证明：1 (sin x2 cos y2 )dxdy 2,其中D为：0 x 1,0 y 1
0
当f ( x, y) f (x, y)[即关于x的奇函数]
D
f
(x,
y)dxdy
2
D1
f
(x,
y)dxdy
当f( x, y) f(x, y)[即关于x的偶函数]
性质2：（轮换对称性） 设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，积分区域关 于直线y=x对称，直线y=x下方部分记作 直D1线 y=x上方记作D2,则有