• 7．有一串数，前两个数是9和7，从第三个数起， 每个数是它前面两个数乘积的个位数。这串数中 第100个数是几？前100个数之和是多少？ • 分析与解答：这串数是9、7、3、1、3、3、9、7、 3、1、3、3„，可以看出一个周期为9、7、3、1、 3、3这样6个数，所以100÷6=16„„4，这串数中 第100个数是1；（ 9＋7＋3＋1＋3＋3 ）×16＋ （ 9＋7＋3＋1 ）= 436，前100个数之和是436。
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当写出第21，22位（竖线右面的两位）时就会发现， 它们与第1，2位数相同，所以这串数按每20个数一个周期 循环出现。由88÷20=4„„8知，第88个数与第8个数相 同，所以第88个数是4。 • 周期性规律有时并不明显，要找到它还真得动点脑筋。
• 例5 在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前 面四个数之和的个位数字。那么在这串数中，能否出现相 邻的四个数是“2008”？ • 135761939237134„
• 6．将1，2，3，4，„„除以3的余数依次 排列起来，得到一个数列。求这个数列前 100个数的和。 • 分析与解答：这个数列前100个数的和是 100。 提示：数列是1，2，0，1，2，0，1， 2，0，„„，以1，2，0三个数为周期循环 出现。 • 100÷3=33„„1 所以这个数列的和是 （1＋2＋0）×33＋1=100
• 例2
3月19日是周二，4月5日是周几？
• 解：一个星期有7天,3月份是大月，所以要 先想从3月19日到4月5日共有多少天？经过 计算共有18天。7天一周期，是从周二、三、 四、五、六、日、一。为一个周期。 18÷7=2„„4，所以4月5日是周五。
• 例3 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25。已知第 1个数是3，第6个数是6，第11个数是7。问：这串数中第 24个数是几？前77个数的和是多少？ • 分析与解：因为第1，2，3，4个数的和等于第2，3，4，5 个数的和，所以第1个数与第5个数相同。进一步可推知， 第1，5，9，13，„个数都相同。 • 同理，第2，6，10，14，„个数都相同，第3，7，11， 15，„个数都相同，第4，8，12，16„个数都相同。 • 也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的。 所以，第2个数等于第6个数，是6；第3个数等于第11个数， 是7。前三个数依次是3，6，7，第四个数是25-（3+6+7） =9。 • 这串数按照3，6，7，9的顺序循环出现。第24个数与第4 个数相同，是9。由77÷4＝19„„1知，前77个数是19个 周期零1个数，其和为25×19+3=478。
• 例7、 求67999的个位数字。 • 分析与解：因为67的个位数是7，所以 67n的个位数随着n的增大，按7，9，3，1四 个数的顺序循环出现。 • 999÷4＝249„„3， • 所以67999的个位数字与73的个位数字相 291+3291的个位数字。 • 分析与解：因为2n的个位数字按2，4，8，6四个 数的顺序循环出现，91÷4＝22„„3，所以，291 的个位数字与23的个位数字相同，等于8。 • 类似地，3n的个位数字按3，9，7，1四个数 的顺序循环出现， • 291÷4＝72„„3， • 所以3291与33的个位数相同，等于7。 • 最后得到291+3291的个位数字与8+7的个位数 字相同，等于5。
• 5．有一个一千位数，它的各个数位上的数字都是1，问这 个数被7除的余数是几？ • 分析：一千位数太大了，我们要把它变小一点进行分析。 • 1÷7=0„„1 • 11÷7=1 „„ 4 • 111÷7=15 „„ 6 • 1111÷7=158 „„ 5 • 11111÷7=1587 „„ 1 • 111111÷7=15873 • 1111111÷7=158730 „„ 1 • 从而看出：每六位数一循环。 • 解：1000÷6=166余4 • ∴所有数字都为1的一千位数除以7的余数等于四位数 1111除以7的余数，等于5。
a a aa a
n n个a
下面主要讲an的个位数的变化规律，以及an除以某数所得余数 的变化规律。 因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关， 所以an的个位数只与a的个位数有关，而a的个位数只有0，1， 2，…，9共十种情况，故我们只需讨论这十种情况。 为了找出一个整数a自乘n次后，乘积的个位数字的变化规律， 我们列出下页的表格，看看a，a2，a3，a4，…的个位数字各是什 么。
小结
• 这一讲重点学习借助有余数的除法解 决一些具有“周期性”变化规律的问题。 • 解这类题的关键是先找到周期，然后 借助有余数除法的计算方法可以推算出最 后的结果。
• 练习题 • 1．流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红的，再4 个黄的，再3个绿的，再2个黑的，再1个白的，然后又依 次是5红、4黄、3绿、2黑、1白„„如此继续涂下去，到 第2008个小球该涂什么颜色？ • 分析：根据题意，小木球涂色的次序是：“5红、4黄、3 绿、2黑、1白”，也就是每涂过“5红、4黄、3绿、2黑、 1白”循环一次。这里，给小木球涂色的周期是：5＋4＋3 ＋2＋1=15。 • 解： 2008÷15=133„„13 • 这就是说，第2008个小球出现在上面所列一个周期 中第13个，所以第2008个小球是涂黑色。 • 想一想：如果问题改为“在前2008个小球中，涂黑色的小 球有多少个？”，该怎样解答？
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（1）当a的个位数是0，1，5，6时，an的个位数 仍然是0，1，5，6。 • （2）当a的个位数是4，9时，随着n的增大，an 的个位数按每两个数为一周期循环出现。其中a的 个位数是4时，按4，6的顺序循环出现；a的个位数 是9时，按9，1的顺序循环出现。 • （3）当a的个位数是2，3，7，8时，随着n的增 大，an的个位数按每四个数为一周期循环出现。其 中a的个位数是2时，按2，4，8，6的顺序循环出现； a的个位数是3时，按3，9，7，1的顺序循环出现； 当a的个位数是7时，按7，9，3，1的顺序循环出现； 当a的个位数是8时，按8，4，2，6的顺序循环出现。
• 3． 求下列各数的个位数字： • （1）3838； （2）2930； • 解：（1）3838和838的个位数字是相 同的。而8n的个位数字的规律是8、4、2、 6排列的，38÷4=9„„2，所以3838的个 位数字是4 。（2）2930和930的个位数字 是相同的。而9n的个位数字的规律9、1排 列的，30÷2=15，所以2930的个位数字 是1。
• 例1 小军发现过街天桥上的彩灯很漂亮，这些彩灯按照5 盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯、 4盏蓝灯、3盏黄灯、„„这样排下去。问： • （1）第100盏灯是什么颜色？ • （2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？ • 分析与解：这是一个周期变化问题。彩灯按照5红、4蓝、 3黄，每12盏灯一个周期循环出现。 • （1）100÷12＝8„„4，所以第100盏灯是第9个周期的第 4盏灯，是红灯。 • （2）150÷12=12„„6，前150盏灯共有12个周期零6盏灯， 12个周期中有蓝灯4×12＝48（盏），最后的6盏灯中有1 盏蓝灯，所以共有蓝灯48＋1=49（盏）。 • 答：第100盏灯是红色，前150盏彩灯中有49盏蓝灯.
第十一讲
有余数除法中的周期问题
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我们学过了有余数的除法，利用余数 可以解决很多有趣的问题。有一些规律成 周期性变化，像这种题目我们就可以借助 有余数的除法来解决。
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我们已经见过“找规律”这个问题，学习了 如何发现图形、数表和数列的变化规律。什么是 周期性变化规律呢？比如，一年有春夏秋冬四季， 百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的夏季 过后就是秋天，果实累累的秋季过后就是冬天， 白雪皑皑的冬季过后又到了春天。年复一年，总 是按照春、夏、秋、冬四季变化，这就是周期性 变化规律。再比如，数列0，1，2，0，1，2，0， 1，2，0，1，2，„„是按照0，1，2三个数重复 出现的，这也是周期性变化问题。一些数、图形 和事物的变化是周而复始地循环出现的，我们把 这种特殊的规律性问题称为周期问题。下面，我 们通过一些例题作进一步讲解。
• 分析与解：无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做 法。按照例3的方法找到一周期，因为这个周期很长，所 以也不是好方法。那么怎么办呢？仔细观察会发现，这串 数的前四个数都是奇数，按照“每个数都是它前面四个数 之和的个位数字”，如果不看具体数，只看数的奇偶性， 那么将这串数依次写出来，得到 • 奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇„„ • 可以看出，这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循 环出现的，永远不会出现四个偶数连在一起的情况，即不 会出现“2008”。
• 例6 A，B，C，D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球。第1个小朋友 找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子； 第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其它盒子中各取一个 球放入这个盒子„„当100位小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中 各放有几个球？ • 分析与解：按照题意，前六位小朋友放过后，A，B，C，D四个盒子中 的球数如下表
• 2．如图，把1～8八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从1 号开始按顺时针方向前进329个位置，第二天接着按逆时针方向前进 485个位置，第三天又顺时针前进329个位置，第四天再逆时针前进 485个位置„„如此继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的1 号位置？ •
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分析与解答：根据题意，小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时 针„„两天一个周期循环变换方向。每一个周期中，小球实际上是按 逆时针方向前进485-329=156（个）位置。156÷8=19„„4。就是说， 每个周期（2天）中，小球是逆旋转了19周后再逆时针前进4个位置。 要使小球回到原来的1号位，至少应逆时针前进8个位置。8÷4=2（个） 周期，2×2=4（天），所以至少要用4天，小球才又回到原来“1”号 位置。
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4．求下列各式运算结果的个位数字： （1）9222＋5731； （2）469-6211； 解：（1）9222和5731的个位数字分别与222和731的 的个位数字是相同的。而2n的个位数字的规律是2、 4、8、6排列的，22÷4=5„„2，所以9222的个位 数字是4 。而7n的个位数字的规律是7、9、3、1 排列的，31÷4=7„„3，所以5731的个位数字是3。 所以9222＋5731和的个位数字是7 • （2）469和6211的个位数字分别与69和211的 的个位数字是相同的。而6n的个位数字的规律都 是6，所以469的个位数字是6。而2n的个位数字的 规律是2、4、8、6排列的， 11÷4=2„„3，所以 6211的个位数字是8。所以469-6211差的个位数字 是8；