学习检测
A B 1 D
C
1、如图， ABCD中，∠A=120°，则∠1=60 °
。
2、如图19-6,设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能 拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（ C ）
A
B 图19-6
C
D
3．平行四边形ABCD中，AB=6cm，AБайду номын сангаас+BD=14cm ， 则△AOB的周长为_______ 13 ．
G
B
ADG≌ A′DG 2+x2=（8-x）2 ∴ 4 AD=A′D, AG=A′G 解得：x=3 A′B=AB-A′D=10-6=4∴AG=3 设AG=X BG=AB-AG=8-X 由勾股定理得： A′B2+A′G2=BG2
6.如图 ，在平行四边ABCD中，E..F为BC上的两点， 且BE=CF,AF=DE. 求证：(1) ABF ≌ DCE; (2)四边形ABCD是矩形 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD又∵BE=CF, BE+EF=CF+EF, ∴BF=CE. A 在ABF和DCE中， ∵AB=CD ,BF=CE, AF=DF B ∴
三角形的中位线
1、 连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 (∵E为AC的中点，F为AB的中点，∴EF为△ABC中位线)
2、三角形的中位线平行三角形的第三边，且等于第三边 的一半. (∵EF为△ABC中位线 ∴EF=½ BC，EF∥BC)
3、一个三角形有三条中位线。
A
E
F
C
B
学习检测 1.在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中若BC=5， 则DE的长是 2.5 2.已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ， 10cm _． 连结各边中点所成三角形的周长为___ 3．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点， 18 __ 若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为____ 4．已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的 中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长 是 24 cm． A
四个角都是直角 （∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°）
对角线相等且互相平分 （AC=BD，BO=DO,AO=CO） 3、注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半 ∵△BCD中，∠BCD=90°，CO是BD中线 ∴CO=½BD（或CO=BO=OD）
矩形的判定：
1、有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90° ∴四边形ABCD为矩形 2、对角线相等的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD为平行四边形，AC=BD ∴四边形ABCD为矩形
第十八章 平行四边形复习
A
D
平行四边形复习
B
O
C
1、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形 如图： ABCD对边分别为AB∥CD，AD∥BC
2、平行四边形的性质： 对边平行且相等 （AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC） 对角相等（∠A=∠C，∠B=∠D） 对角线互相平分（BO=DO,AO=CO）
C
D
A
O
B
D
3、菱形的判定：
A
O B
C
1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC ∴四边形ABCD为菱形
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD为平行四边形，AC⊥BD ∴四边形ABCD为菱形 3、四条边相等的四边形是菱形 ∵AB=BC=DC=AD ∴四边形ABCD为菱形
5、点A、B、C、D在同一平面内，从①AB//CD；②AB ＝CD；③BC//AD；④BC＝AD四个条件中任意选两个， 不能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ B ） A．①② B．②③ C． ①③ D． ③④
A D
解析：平行四边形的判定方法
B
C
6、平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应 （ C） A．大于2， B．小于14 C．大于2且小于14 D．大于2或小于12
解析：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 设第三边为x ∴8-6＜x＜6+8，∴2＜x＜14
7、如图， ABCD中，AB=5，AD=8， ∠ BAD 、 ∠ADC的平分线分别交BC于点E、F上，则EF= 2 。
A D
解析：∵BC平分∠BAD，DF平分∠ADC ∴∠BAE=∠DAE，∠ADB=∠CDF ∵ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AB=CD=5 ∴∠DAE=∠AEB∠ADF=∠DFC,AB=5,AD=8 ∴AB=BE=5，CD=FC=5 ∴EC=BC-BE=8-5=3， BF=BC-FC=8-5=3
3、有三个角是直角的四边形是矩形 ∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° ∴四边形ABCD为矩形
学习检测
1.Rt△ABC中，两条直角边分别为6和8，则斜边上的中 线长为 5 。
2．已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个 交角为120°，则矩形的边长分别为 5 __cm， 5 3 cm， 5 cm， 5 3 cm． 3．下列说法错误的是（ C ）． A、矩形的对角线互相平分 B、矩形的对角线相等 C、有一个角是直角的四边形是矩形 D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
解：由 ABCD可知AB=CD DC∥AB ∴∠DCF=∠EFA，∠AEF=∠DCF ∵E为AD中点 ∴AE=ED F ∴△DEC≌△AEF ∴CD＝AF ,CE=EF ∵BC=2AB，AB=CD ∴AB=AF ∴BF=BC 1 1 ∴ ∠EBC= ∠FBC= 2 ×70°=35°
2
D E
C
A
B
5：如图：已知
A A E C 1题 D B C 3题 E D B C 4题 E D B
特殊的平行四边形—矩形 1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形 （∵四边形ABCD为平行四边形，∠A=90° ∴四边形ABCD为矩形） 2、矩形的性质： 对边平行且相等 （AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC）
N D
特殊的平行四边形—菱形 1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形 ∵四边形ABCD为平行四边形，AB=BC ∴四边形ABCD为菱形 2、菱形的性质： 四条边平行且相等 （AB=CD=AD=BC，AB∥CD，AD∥BC）
对角相等 （∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠CDA）
对角线互相垂直，且平分对角 （AC⊥BD，∠OAD=∠OAB=∠OCD=∠OCB）
∴ △CEF是等腰三角形
（２）CE＋CF＝ ABCD 周长 由（１）可知∠F＝∠BAF ∴FB＝AB AD＝ED ∴ ABCD 周长＝AB＋BC＋CD＋DA ＝FB＋BC＋CD＋ED ∠EAD＝∠E
＝CF＋CE
4、如图，在 ABCD 中，AE、BF分别平分∠DAB和 ∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相关于点M （1）请说明：AE⊥BF （2）判断线段DF和CE的大小关系，并加以证明
ABCD ，∠EAD=∠BAF
（1）试证明：△CEF是等腰三角形
（2）猜测CE与CF的和与 ABCD 周长关系，并说明理由。
E A D F B C
解（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC AB∥CD 又∵ ∠EAD= ∠BAF ∴∠EAD=∠F ∠BAF＝∠E ∴ ∠E= ∠F ∴CE＝CF
∴ ∠BAE= ∠AED
∴ ∠DAF= ∠AED ∴DE=AD CF＝BC
∠ABF= ∠CBF
∠CBF= ∠BFC
∴DE=CF
即DE+EF＝CD＋EF
∴DF=CE
2＜x＜ 14 5. 在□ ABCD中，AC＝6、AB＝4，则BD的范围是_____ ． 6．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的 长度分别为（x+4），（x-4）和(2x-1),则这个四边形的周长 是 20 ． 7.已知□ABCD的周长为36CM,AB=8CM, BC= 10 ; 40 当B=60°时，AD BC间的距离AE= = 3 4 3 , □ABCD的面积
A
D
3、平行四边形的判定：
O
B C
两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （∵AB=CD，AD=BC ∴四边形ABCD为平行四边形） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （∵∠BAD=∠DCB，∠ABC=∠ADC ∴四边形ABCD为平行四边形）
对角线互相平分的四边形是平行四边形 （∵AO=CO，BO=DO ∴四边形ABCD为平行四边形） ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （∵AB=CD且AB∥CD ∴四边形ABCD为平行四边形） （∵AD=BC且AD∥CD ∴四边形ABCD为平行四边形 ⑤两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （∵AB∥CD，AD∥BC ∴四边形ABCD为平行四边形）
证明(1) ∵四边形ABCD是平行四边形
D F E C
∴AD∥BC
∴∠DAB＋ ∠DAC＝180°
B
又∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC 1 1 A ∴ ∠BAE＝ ∠DAB ∠ABF＝ ∠ABC 2 2 1 ∴ ∠BAE+ ∠ABF= （ ∠DAB + ∠ABC ）=90° 2 ∴ AE⊥BF (2) ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD=BC AB∥CD ∴ ∠BAE= ∠BFC 又 ∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC
ABF ≌ DCE
E F
D
C
(2)由（1）的结论知∠B=∠C ∵平行四边形ABCD,∴AB∥CD ∴∠B+∠C=180 ∴B=90 ∴四边形ABCD是矩形
7.（2011中考题）如图，在△ABC中，点O是AC边 上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC. 设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线 于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边 A 形AECF是矩形？并证明你的结论。 当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时， F 四边形AECF是矩形 M 3 E O 证明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2， 2 4 1 5 又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3， B C ∴∠3=∠2，∴EO=CO. 同理，FO=CO∴EO=FO 又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形 又∵∠1=∠2，∠4=∠5， ∴∠1+∠5=∠2+∠4.又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180° ∴∠2+∠4=90° ∴四边形AECF是矩形