《近世代数》复习试题
一 填空题
1．12,,n A A A 是集合A 的子集，如果（1） ，（2） ， 则称12,,n A A A 为A 的一个分类.
2．设},{21A =,},,,,{e d c b a B =,则有____个A 到B 的映射,_____个A 到B 的单射.
3. 设G 是一个群,G a ∈,且21||=a ,则=||6a __________.
4. 设G 是群,,,G b a ∈若1),(,||,||===n m n b m a ，而且ba ab =，则=||ab ______.
5. 在3S 中，)23()12)(123(1-= .
6. 模6的剩余类环6Z 的所有可逆元: .
7. 模6的剩余类环6Z 的所有零因子: .
8. R 是一个有单位元交换环,R a ∈,则由a 生成的主理想=)(a .
9. 设群G 的阶是45, a 是群G 中的一个元素,则a 的阶只可能是____________.
10. 高斯整环][i Z 的单位群])[(i Z U 的全部元素:____________________________.
二 解答、证明题
1.设Z 是全体整数的集合，在Z 中规定：
.,,2Z b a b a b a ∈∀-+=
证明：),( Z 是一个交换群.
2.证明:群G 不能表示成两个真子群的并.
3.证明:r-循环为偶置换的充要条件是r 为奇数.
4.设p 为素数,||G =n p ，证明：G 一定有一个p 阶子群.
5.设G 是一个群，,,G K G H ≤≤证明：KH HK G HK =⇔≤.
6.设H G ≤，N G ，证明：HN G ≤.
7.设H G ≤，且2]:[=H G ，证明：.G H
8.证明:每个素数阶的群都是循环群.
9.设N 是群G 的子群，N 的阶是r
（1）证明1()gNg g G -∈也是G 的一个子群.
（2）若N 是G 的唯一的r 阶子群，证明N 是G 的正规子群.
10.设C(G)为G 中心, 且G/C(G)为循环群,证明G 为交换群.
11.设G=)(a 是24阶循环群，试列举出G 的8阶子群的所有生成元。

12.设H ，K 都是群G 的正规子群，且K H ⊆，则
/(/)/(/G H G K H K ≅
13.设G 是群，()C G 是G 的中心，N G ≤，且()N C G ⊆，证明：
（1）N G ；
（2）若/G N 是循环群，则G 是交换群.
14.设),,(⋅+R 是有单位元1的环,在R 上又定义
b a b a b a 1b a b a ⋅-+=-+=⊕⊕ :,:
证明:),,( ⊕R 也是一个有单位元的环.
15. 设R 是有单位元的环,R b a ∈,
(1) 若a, b ,a+b 都可逆, 证明11b a --+也可逆.
(2) 求111b a ---+)(
16. 证明:除环的中心是一个域.
17.设2n ≥为正整数,证明:
(1) 环n Z 中元素][a 可逆⇔1n a =),(,即a 与n 互素;
(2) 若p 是素数,则p Z 是域;若2n ≥不是素数,则n Z 不是整环.
18.求出模6剩余类环6Z 的所有理想.
19.求整数环Z 上一元多项式][x Z 的理想),(x 2, 并证明),(x 2不是主理想.
20. 在整数环Z 中,若)(),(b a 是Z 的两个理想,则)()()(d b a =+,)()()(c b a = ,其中d 是a 与b 的最大公因数,c 是a 与b 的最小公倍数.
21. 设R 是一个有单位元的有限交换整环,证明:R 的每一个非零素理想都是R 的极大理想.
22. 求下列剩余类环的素理想和极大理想：6Z ，12Z ，13Z ，16Z
23.][x R 是实数域R 上的一元多项式环, 证明: C 1x x R 2≅+)/(][.。