9 RC 一阶电路（动态特性 频率响应）一个电阻和一个电容串联起来的RC 电路看起来是很简单的电路。
实际上其中的现象已经相当复杂，这些现象涉及到的概念和分析方法，是电子电路中随处要用到的，务必仔细领悟。
9.1 零输入响应1.电容上电压的过渡过程先从数学上最简单的情形来看RC 电路的特性。
在图9.1 中，描述了问题的物理模型。
假定RC 电路接在一个电压值为V 的直流电源上很长的时间了，电容上的电压已与电源相等（关于充电的过程在后面讲解），在某时刻t 0突然将电阻左端S 接地，此后电容上的电压会怎么变化呢？应该是进入了图中表示的放电状态。
理论分析时，将时刻t 0取作时间的零点。
数学上要解一个满足初值条件的微分方程。
看放电的电路图，设电容上的电压为v C ,则电路中电流 dtdv Ci C=，依据KVL 定律，建立电路方程：=+dtdv RCv CC初值条件是 ()V v C =0像上面电路方程这样右边等于零的微分方程称为齐次方程。
设其解是一个指数函数： ()tC e t v S K = K 和S 是待定常数。
代入齐次方程得 0=KS +K S S tte RC e约去相同部分得 0=S +1RC 于是RC 1-=S齐次方程通解 ()RCt C et v -K =还有一个待定常数K 要由初值条件来定： ()VK Kev C ===00最后得到： ()t RCt C VeVet v --==在上式中，引入记号RC=τ，这是一个由电路元件参数决定的参数，称为时间常数。
它有什么物理意义呢？在时间t = τ 处， ()V V Vev 0.368=e==-1-C τττ 时间常数 τ是电容上电压下降到初始值的1/e ＝36.8% 经历的时间。
当t = 4 τ 时，()V v 0183.0=4C τ，已经很小，一般认为电路进入稳态。
数学上描述上述物理过程可用分段描述的方式，如图9.1 中表示的由V 到0的“阶跃波”的输入信号，取开始突变的时间作为时间的0点，可以描述为：()()0=S ≤t V t v 对 ；()()00=S ≥t t v 对。
[练习.9.1]在仿真平台上打开本专题电路图，按图中提示作出“零输入响应”的波形图。
观察电容、电阻上输出波形与输入波形的关系，由图上读出电路的时间常数值，与用电路元件值计算结果比较。
仿真分析本专题电路得到波形图如图9.2 所示。
在0到1m 这时间内，电压源值为V ，在时刻1m 时电压源值突然变到0。
仿真平台在对电路做瞬态分析之前，对电路作了直流分析，因此图中1m 以前一段波形只是表明电路已经接在电压源值为V “很长时间”后的持续状态。
上面理论分析只适用于1m 以后的时间过程。
时刻1m 是理论分析的时间“零”点。
图上看到，电容上的电压随时间在下降，曲线的样子是指数下降曲线的典型模样。
由v C 曲线找到电压值为0.368V 的地方，读出它的时刻值(=2m )，即可求到电路的时间常数是1m (1毫秒)。
图中也画出电阻上电压变化曲线。
观察，发现在1m 以前，电阻电压为0，在时刻1m ，电阻电压突变到 -V ，然后逐渐升到0。
怎样理解这个过程呢？2.电阻上电压的过渡过程虽然专题电路图中取电阻的电压时是由电阻直接落地的电路得到的，但电路元件参数是相同的，该电阻上的电压应和电容落地电路中的电阻是一样的。
按照这种想法，看图9.1 ，注意电阻的电压的参考方向应是由S 点向右，即应是v(S 点)-v C ，在电源电压为V 的时间内，电容已被充电到v C =V ，那么v R = v(S 点)-v C =V -V =0。
在理论分析时间0处，电压源的电压值突变到0，即v(S 点)=0，但电容上的电压不能突变（回顾电容的特性：电压有连续性）。
为了区分突变时刻的前和后的状态，用0- 表示突变前，0+ 表示突变后。
即是说， v C (0+)= v C (0-)=V那么， v R (0+)= 0-v C (0+)= -V在随后的时间内，按KVL 定律， 电阻上的电压应为：()()t RCt C R VeVet v t v ---=-=-=当然，也可以直接对电阻落地的电路来做理论分析。
在图9.3 中，看S 点突然改为接地后电容的放电过程。
以电阻的电压作求解变量。
利用KCL 定律， 电路微分方程Rv dt v d CR R =)-0( 整理得=+RR dt dvRCv由上面的分析知初值条件是：()V v -=0+R与上面对电容电压的演算过程类似，就可得到 ()t -R Ct--=-=Ve Ve t v R对比用电容电压和用电阻电压作求解变量的两个微分方程，发现形式一样。
最后 的解却不同，这是由于它们的初始条件不同。
由此可见，初始条件对于电路过程的求解是非常重要的。
9.2 RC 电路的非零起始态响应图9.4 表示的是假定在考察的起始时间的“零”以前，电容上已经有电压V 1，在“零”时电源电压突变到V 2。
在随后的时间里，电路中的电流、电容上电压、电阻上电压会怎样变化？以电容上电压v C (t )作求解变量，在t >0的时间里，电路的微分方程为：21=1+V RC v RC dt dvC C初始值是：()()1-+=0=0V v v C C现在的微分方程右端不等于零，是非齐次方程。
非齐次线性微分方程的解由两部分组成：齐次通解v Ch (t )和非齐次特解v Cp (t )。
齐次方程是：0=1+C Cv RCdtdv这个方程在上面已讲过，即齐次通解为：()τt/e t v -Ch K =其中 τ =RC 是时间常数。
K 是待定常数。
非齐次方程 21=1+V RC v RC dt dvC C的非齐次项（等号右边项）是常数，非非齐次特解v Cp (t )应是一个常数，设v Cp (t )＝Q ，代入方程得：21=1+0V RCQ RC得到 Q =V 2 那么非齐次通解为 ()τ/-2K +=t C eV t v它还要满足初值条件，即应有： K+=K +=2/-021V eV V τ由此得到 21-=KV V最后得到电容上的电压为：()()2/-21+-=V e V V t v t C τ电流()()τt/Ce V V Rdtdv Ct i -12-1== 电阻上的电压 ()()()t/τeV V t v V t v -12C 2R -=-=[练习9.2]在仿真平台上打开本专题电路图，按图中提示作出“非零起始态响应”的波形图。
观察电容、电阻上输出波形与输入波形的关系，由图上读出电路的时间常数值，与用电路元件值计算结果比较。
仿真分析本专题电路根据专题电路图中的元件和电源模型参数，得到如图9.5 的结果，图上还标注了与上面讲解对应的物理量，以便用理论结果理解曲线。
特别注意电阻电压的情况，在0- 时间以前，v R 为零，在0+时刻，突变到V 2 -V 1（为什么？），在随后足够长时间后，v R 又变到零。
上面得到的v R (t )公式与曲线相符。
在专题电路图中是由落地电阻取得v R ，也可以用v R 作为求解变量列方程解出来。
对比RC 电路的零输入响应、非零起始态响应的电容电压和电阻电压随时间变化的函数关系式,发现，在电源电压保持为恒定值的时间内，元件电压随时间变化的波形，由它的起始值（记为v (0+)）、它的稳态终止值（记为v (∞)）和时间常数 τ 决定，可以一般地表示为：这个式子非常有用。
用它分析电路响应的方法，常称为三要素法。
请将它应用到上述各种情况，推出具体的表达式，与原来得到的表达式比较。
[练习9.3]用三要素法分析图9.6 中电阻R的电压在0+ 时刻后的变化规律。
如果直接用解初值问题的微分方程方法也可得到同样的结果，可以练习一下。
在数字技术中，用“0”和“1”两个数字组成的串表示各种信息。
实际上，是用在两种状态间跳变的方波脉冲串表示数字串。
方波脉冲串有两个“电平”，实际上是两个电压值，一个低电平，一个高电平，一般规定，用低电平代表0，高电平代表1。
理想的数字电路系统要求在两种状态之间的跳变是“突然”的。
上面的例子表明，只要电路中有电容，状态的转变就要有一个过程，这就给电路的工作带来许多问题。
9.3 方波脉冲串通过RC电路为便于对比研究，在本专题电路图中同时画了三条支路，如图9.7所示。
其中R S代表电压信号源的内阻，取值很小(1μ),其压降可以忽略。
[练习9.4]在仿真平台上打开本专题电路图。
核实元件参数为R=1kΩ,C=2μF，电压源模型为“梯形脉冲源”，参数依次为（0 0 10 0.5m0 1m0 2m）.作瞬态分析（TR (10m2000)），观察X、Y、Z三点波形。
观察波形，叙述它的变化趋势。
取6m到10m一段时间的波形，求出电阻电压、电容电压的算术平均值。
计算RC电路的时间常数。
用三要素法解释波形的成因。
电路题分仿真析本专得到结果如图9.8 所示。
这里特别关注电容电压波形的特点，它很像是一个三角波，当输入是高电平时间内，电容电压近似直线上升；输入是低电平时间内，电容电压近似直线下降。
设记电源的恒定电压值为V ，则可列出电容电压的微分方程：VRCv RCdtdv C C1=1+目前电路的时间常数τ =RC 较大，方程左边第二项比第一项小较多，可以忽略。
这样方程近似可写成：VRCdtdvC1≈那么，=+=-+⎰00011()()()()tC C C t v t Vdt v t V t t v t RC RC这表示，RC 时间常数比信号周期大得多的情况下，电容上的电压与信号源电压成积分关系。
积分电路，方波变三角波这些概念在今后理解电子电路实现的功能上是很重要的。
再观察图9.8 中电阻电压的曲线，它实际上代表了电路中电流的变化特点，可见在输入电压变值的时刻，电流突然改变方向。
电容电压与电流成积分关系，但随电流方向的改变，电容电压值有时在上升，有时在下降。
另外，发现在开头的一两个周期内的波形与后面时间的不同，开头一段时间电路处于“暂态过程”，后来就进入“稳态”。
在稳态阶段，电容电压的算术平均值很接近脉冲串的平均高度，而电阻电压平均值接近于零。
在由电阻取输出(Y 点)的电路中，电容的这种作用叫“隔直”，注意这时有一个直流电压保持在电容上。
[练习9.5] 在仿真平台上打开本专题电路图。
核实元件参数为R =100Ω,C =1μF ，电压源模型为“梯形脉冲源”，参数依次为（0 0 10 0.5m 0 1m 0 2m ）.作瞬态分析（TR( 8m 1000），观察X 、Y 、Z 三点波形。
观察波形，叙述它的变化趋势。
计算RC 电路的时间常数。
用三要素法解释波形的成因。
仿真分析本专题电路得到结果如图9.9 所示。
这里电容电压波形基本上“跟上”电压源电压的变化，但是电阻电压波形是典型的“尖脉冲”。