有限元分析基础教程前言有限元分析已经在教学、科研以及工程应用中成为重要而又普及的数值分析方法和工具；该基础教程力求提供具备现代特色的实用教程。

在教材的内容体系上综合考虑有限元方法的力学分析原理、建模技巧、应用领域、软件平台、实例分析这几个方面，按照教科书的方式深入浅出地叙述有限元方法，并体现出有限元原理“在使用中学习，在学习中使用”的交互式特点，在介绍每一种单元的同时，提供完整的典型推导实例、MATLAB实际编程以及ANSYS应用数值算例，并且给出的各种类型的算例都具有较好的前后对应性，使学员在学习分析原理的同时，也进行实际编程和有限元分析软件的操作，经历实例建模、求解、分析和结果评判的全过程，在实践的基础上深刻理解和掌握有限元分析方法。

一本基础教材应该在培养学员掌握坚实的基础理论、系统的专业知识方面发挥作用，因此，教材不但要提供系统的、具有一定深度的基础理论，还要介绍相关的应用领域，以给学员进一步学习提供扩展空间，本教程正是按照这一思路进行设计的；全书的内容包括两个部分，共分9章；第一部分为有限元分析基本原理，包括第1章至第5章，内容有：绪论、有限元分析过程的概要、杆梁结构分析的有限元方法、连续体结构分析的有限元方法、有限元分析中的若干问题讨论；第二部分为有限元分析的典型应用领域，包括第6章至第9章，内容有：静力结构的有限元分析、结构振动的有限元分析、传热过程的有限元分析、弹塑性材料的有限元分析。

在基本原理方面，以基本变量、基本方程、求解原理、单元构建等一系列规范的方式进行介绍；在阐述有限元分析与应用方面，采用典型例题、MATLAB程序及算例、ANSYS算例的方式，以体现出分析建模的不同阶段和层次，引导学员领会有限元方法的实质，还提供有大量的练习题。

本教程的重点是强调有限元方法的实质理解和融会贯通，力求精而透，强调学员综合能力(掌握和应用有限元方法)的培养，为学员亲自参与建模、以及使用先进的有限元软件平台提供较好的素材；同时，给学员进一步学习提供新的空间。

本教程力求体现以下特点。

(1)考虑教学适应性：强调对学员在数学原理、分析建模、软件应用几个方面的培养目标要求，注重学员在工程数值方面的基础训练，培养学员“使用先进软件＋分析实际问题”的初步能力。

(2)考虑认知规律性：力求按照有限元分析方法的教学规律和认知规律，在教材中设计了“基本变量、基本方程、求解原理、单元构建”这样的模块；并体现出有限元原理“在使用中学习，在学习中使用”的交互式特点，在介绍每一种单元的同时，提供实用的MATLAB实际编程和数值实例；在每一章还进行要点总结，给出典型例题，以引导学员领会有限元方法的实质，体现教材的启发性，有利于激发学员学习兴趣和便于自学。

(3)考虑结构完整性：本教程提供完整的教材结构：绪论、正文、典型例题、基于MATLAB的编程算例与数值算例、具有一定深度的ANSYS算例、各章要点、习题、专业术语的英文标注、关键词中文和英文索引、参考文献，便于学员查阅。

(4)内容上的拓展性：除基本内容外，还介绍了较广泛的应用领域，包括：静力结构分析、结构振动分析、传热过程分析、弹塑性材料分析；提供了有关的典型问题的建模详细分析过程，基本上反映了有限元分析在一些主要领域的应用状况及建模方法。

(5)编排上的逻辑性：本教程力求做到具有分明的层次和清楚的条理，在每一章中重点突出有限元方法的思想、数理逻辑及建模过程，强调相应的工程概念，提供典型例题及详解，许多例题可作为读者进行编程校验的标准考题(Benchmark)，还提供了对应的MATLAB编程算例与ANSYS算例，特别是介绍了基于APDL参数化的ANSYS建模方法，并给出具体的实例，力求反映有限元分析的内在联系及特有思维方式。

有限元分析基础教程Fundamentals of Finite Element Analysis目录第一部分有限元分析基本原理第1章绪论1.1 概况11.2 有限元方法的历史11.3 有限元分析的作用5第2章有限元分析过程的概要72.1 有限元分析的目的和概念72.2 一维阶梯杆结构问题的求解92.3 有限元分析的基本流程172.4 有限元分析的特点202.5 本章要点22第3章杆梁结构分析的有限元方法233.1 杆梁结构分析的工程概念233.2 杆件有限元分析的标准化表征与算例243.2.1 杆件分析的基本力学原理243.2.2 局部坐标系中的杆单元描述283.2.3 杆单元的坐标变换323.2.4 杆单元分析的MATLAB程序353.2.5杆结构分析的算例383.3 梁件有限元分析的标准化表征与算例473.3.1 梁件分析的基本力学原理483.3.2局部坐标系中的平面梁单元543.3.3 平面梁单元的坐标变换623.3.4 空间梁单元及坐标变换633.3.5 梁单元的常用等效节点载荷663.3.6 梁单元分析的MATLAB程序683.3.7梁结构分析的算例703.4 应用：桥梁结构的ANSYS参数化分析773.4.1 桥梁结构描述773.4.2 基于ANSYS的桁架桥梁结构分析783.5 本章要点833.6 习题83第4章连续体结构分析的有限元方法894.1 连续体结构分析的工程概念894.2 连续体结构分析的基本力学原理894.3 平面问题有限元分析的标准化表征954.3.1 平面问题的3节点三角形单元描述954.3.2 平面问题的4节点矩形单元描述1014.3.3 平面问题3节点三角形单元的MATLAB程序114 4.3.4 平面问题4节点矩形单元的MATLAB程序1164.4 轴对称问题有限元分析的标准化表征1184.4.1 轴对称问题的基本变量及方程1184.4.2 3节点三角形轴对称单元(环形单元) 1204.4.3 4节点矩形轴对称单元(环形单元) 1224.5 空间问题有限元分析的标准化表征1234.5.1 空间问题的4节点四面体单元描述1234.5.2 空间问题的8节点正六面体单元描述1264.5.3 空间问题4节点四面体单元的MATLAB程序128 4.5.4 空间问题8节点正六面体单元的MATLAB程序130 4.6 形状映射参数单元的一般原理和数值积分1334.6.1两个坐标系之间的三个方面的变换1334.6.2参数单元的三种类型1374.6.3参数单元刚度矩阵计算的数值积分1374.7 平面问题分析的算例1434.7.1 平面3节点三角形单元分析的算例1434.7.2 平面4节点四边形单元分析的算例1514.8空间问题分析的算例1554.8.1 空间4节点四面体单元分析的算例1554.8.2 空间8节点六面体单元分析的算例1614.9 本章要点1654.10习题166第5章有限元分析中的若干问题讨论1695.1 单元的节点编号与总刚度阵的存储带宽1695.2 单元形状函数矩阵与刚度矩阵的性质1705.2.1 形状函数矩阵的性质1705.2.2 刚度矩阵的性质1715.3 边界条件的处理与支反力的计算1775.4 单元位移函数构造与收敛性要求1885.4.1 选择单元位移函数的一般原则1885.4.2关于收敛性问题1895.4.3 位移函数构造的收敛性准则1905.5 C0型单元与C1型单元1925.6 有限元分析结果的性质与节点应力的平均处理193 5.6.1 有限元分析结果的下限性质1935.6.2 共用节点上应力的平均处理1955.7 高阶单元的构建1965.7.1 一维高阶单元1965.7.2 二维高阶单元1995.7.3 三维高阶单元2025.8 提高计算精度的h方法和p方法2045.9 本章要点2055.10习题205第二部分有限元分析的典型应用领域第6章静力结构的有限元分析2086.1 连续体平面问题的MATLAB有限元分析程序2086.1.1 程序原理2086.1.2 完整的MATLAB程序源代码2126.2 受均匀载荷方形板的有限元分析2166.3 自主程序开发与ANSYS前后处理器的衔接2226.4 工程应用：预应力万吨液压机机架的参数化建模与分析228 6.4.1 模锻液压机的描述2286.4.2 8万吨模锻液压机主牌坊的简化模型的有限元分析2306.5 习题235第7章结构振动的有限元分析2377.1 结构振动分析的基本原理2377.1.1 结构振动分析的基本方程2377.1.2 结构振动的有限元分析列式2397.1.3 常用单元的质量矩阵2417.2 汽车悬挂系统的振动模态分析2437.3 带有张拉的绳索的振动模态分析2477.4 机翼模型的振动模态分析2517.5 习题255第8章传热过程的有限元分析2588.1 传热过程分析的基本原理2588.1.1 传热过程的基本方程2588.1.2 稳态传热过程的有限元分析列式2598.1.3 热应力问题的有限元分析列式2628.2 平面矩形板的稳态温度场分析2648.3 金属材料凝固过程的瞬态传热分析2678.4 温度变化下的结构热应力分析2718.5 习题275第9章弹塑性材料的有限元分析2799.1弹塑性材料分析的基本原理2799.1.1 弹塑性材料的物理方程2799.1.2基于全量理论的有限元分析列式2829.1.3 基于增量理论的有限元分析列式2829.1.4 非线性方程求解的Newton-Raphson（N-R）迭代法283 9.2 三杆结构塑性卸载后的残余应力分析2849.3 悬臂梁在循环加载作用下的弹塑性分析2899.4 习题294参考文献296附录A：MATLAB程序基本操作297附录B：ANSYS程序基本操作309附录C：常用材料的力学性能316附录D：常用材料的热力学参数317 附录E：计量单位换算318中文索引319英文索引323单元及编程索引327典型例题、求解原理、MATLAB算例、ANSYS算例目录第2章【典型例题】2.1(1) 一个一维函数的两种展开方式的比较【典型例题】2.2(1) 1D阶梯杆结构问题的材料力学求解【典型例题】2.2(2) 1D阶梯杆结构的节点位移求解及平衡关系【典型例题】2.2(3) 1D阶梯杆结构基于位移求解的通用形式【典型例题】2.3(1) 1D三连杆结构的有限元分析过程第3章【基本变量】3.2.1(1) 1D问题的基本变量【基本方程】3.2.1(2) 1D问题的基本方程【求解原理】3.2.1(3) 1D问题的直接求解【求解原理】3.2.1(4) 1D问题的虚功原理求解【求解原理】3.2.1(5) 1D问题的最小势能原理求解【典型例题】3.2.1(6) 变截面杆单元的推导【单元构造】3.2.2(1) 杆单元的描述【MATLAB程序】3.2.4(1) 1D杆单元的有限元分析程序(Bar1D2Node) 【MATLAB程序】3.2.4(2) 2D杆单元的有限元分析程序(Bar2D2Node)【典型例题】3.2.5(1) 四杆桁架结构的有限元分析【MATLAB算例】3.2.5(2) 四杆桁架结构的有限元分析(Bar2D2Node) 【ANSYS算例】3.2.5(3) 四杆桁架结构的有限元分析【基本变量】3.3.1(1) 平面梁的基本变量【基本方程】3.3.1(2) 平面梁的基本方程【求解原理】3.3.1(3) 简支梁的微分方程解【求解原理】3.3.1(4) 简支梁的虚功原理求解【求解原理】3.3.1(5) 简支梁的最小势能原理求解【单元构造】3.3.2(1) 平面纯弯梁单元的描述【单元构造】3.3.2(2) 一般平面梁单元的描述【典型例题】3.3.2(3) 受均布载荷平面梁单元的等效节点载荷【典型例题】3.3.2(4) 悬臂-简支平面连续梁的有限元分析【MATLAB程序】3.3.6(1) 1D梁单元的有限元分析程序(Beam1D2Node) 【MATLAB程序】3.3.6(2) 2D梁单元的有限元分析程序(Beam2D2Node)【典型例题】3.3.7(1) 三梁平面框架结构的有限元分析【MATLAB算例】3.3.7(2) 三梁平面框架结构的有限元分析(Beam2D2Node) 【ANSYS算例】3.3.7(3) 三梁平面框架结构的有限元分析【ANSYS算例】3.4.2(1) 基于图形界面(GUI)的桁架桥梁结构分析【ANSYS算例】3.4.2(2) 基于命令流方式的桁架桥梁结构分析【ANSYS算例】3.4.2(3) 基于参数化方式的桁架桥梁结构分析第4章【基本变量】4.2.1(1) 连续体问题的三大类变量【基本方程】4.2.1(2) 连续体问题的三大类方程及边界条件【求解原理】4.2.1(3) 直接法以及试函数法的求解思想【求解原理】4.2.1(4) 连续体问题求解的虚功原理【求解原理】4.2.1(5) 连续体问题求解的最小势能原理【强度准则】4.2.1(6) 结构分析中的受力状态诊断(强度准则)【单元构造】4.3.1(1) 平面问题的3节点三角形单元【单元特征】4.3.1(2) 平面3节点三角形单元的位移坐标变换问题【单元特征】4.3.1(3) 平面3节点三角形单元的常系数应变和应力【单元构造】4.3.2(1) 平面问题的4节点矩形单元【单元特征】4.3.2(2) 4节点矩形单元的线性应变和应力【典型例题】4.3.2(3) 三角形单元与矩形单元计算精度的比较【ANSYS算例】4.3.2(4) 三角形单元与矩形单元的精细网格的计算比较【MATLAB程序】4.3.3(1) 3节点三角形单元的有限元分析程序(Triangle2D3Node) 【MATLAB程序】4.3.4(1) 平面4节点矩形单元的有限元分析程序(Quad2D4Node)【基本变量】4.4.1(1) 轴对称问题的三大类变量【基本方程】4.4.1(2) 轴对称问题的三大类方程及边界条件【单元构造】4.4.2(1) 3节点三角形轴对称单元(环形单元)【单元构造】4.4.3(1) 4节点矩形轴对称单元(环形单元)【单元构造】4.5.1(1) 空间问题的4节点四面体单元【单元特征】4.5.1(2) 4节点四面体单元的位移坐标变换问题【单元特征】4.5.1(3) 4节点四面体单元的常系数应变和应力【单元构造】4.5.2(1) 空间问题的8节点正六面体单元【单元特征】4.5.2(2) 8节点正六面体单元的一次线性应变和应力【MATLAB程序】4.5.3(1) 4节点四面体单元的有限元分析程序(Tetrahedron3D4Node) 【MATLAB程序】4.5.4(1) 8节点正六面体单元的有限元分析程序(Hexahedral3D8Node) 【基本原理】4.6.1(1) 两个坐标系之间的函数映射【基本原理】4.6.1(2) 两个坐标系之间的偏导数映射【基本原理】4.6.1(3) 两个坐标系之间的面(体)积元映射【基本原理】4.6.2(1) 等参元、超参元以及亚参元【基本原理】4.6.3(1) 数值积分的Gauss方法【典型例题】4.6.3(2) 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算【典型例题】4.7.1(1) 基于3节点三角形单元的矩形薄板分析【MATLAB算例】4.7.1(2) 基于3节点三角形单元的矩形薄板分析(Triangle2D3Node) 【ANSYS算例】4.7.1(3) 基于3节点三角形单元的矩形薄板分析【MATLAB算例】4.7.2(1) 基于4节点四边形单元的矩形薄板分析(Quad2D4Node) 【ANSYS算例】4.7.2(2) 基于4节点四边形单元的矩形薄板分析【MATLAB算例】4.8.1(1) 基于4节点四面体单元的空间块体分析(Tetrahedron3D4Node) 【ANSYS算例】4.8.1(2) 基于4节点四面体单元的空间块体分析【MATLAB算例】4.8.2(1) 基于8节点六面体单元的空间块体分析(Hexahedral3D8Node) 【ANSYS算例】4.8.2(2) 基于8节点六面体单元的空间块体分析第5章【基本原理】5.2.1(1) 单元形状函数性质1：0/1性质【基本原理】5.2.1(2) 单元形状函数性质2：和1性质【基本原理】5.2.2(1) 单元刚度矩阵性质1：对角线元素的1/0性质【基本原理】5.2.2(2) 单元刚度矩阵性质2：非对角线元素的1/0性质【基本原理】5.2.2(3) 单元刚度矩阵性质3：对称性质【基本原理】5.2.2(4) 单元刚度矩阵性质4：半正定性质【基本原理】5.2.2(5) 单元刚度矩阵性质5：奇异性质【基本原理】5.2.2(6) 单元刚度矩阵性质6：行(或列)的代数和为零的性质【典型例题】5.2.2(7) 平面梁单元形状函数的性质【基本原理】5.3(1) 处理边界条件的直接法【基本原理】5.3(2) 处理边界条件的置“1”法【基本原理】5.3(3) 处理边界条件的乘大数法【基本原理】5.3(4) 支反力的计算【基本原理】5.3(5) 处理耦合边界条件的拉格朗日（Lagrange）乘子法【基本原理】5.3(6) 处理耦合边界条件的罚函数法【典型例题】5.3(7) 平面问题斜支座的处理【ANSYS算例】5.3(8) 平面问题斜支座的处理【基本原理】5.4.3(1) 收敛性准则1：完备性要求(针对单元内部）【基本原理】5.4.3(2) 收敛性准则2：协调性要求(针对单元之间）【典型例题】5.4.3(3) 平面单元位移函数选取的要求【典型例题】5.4.3(4) 平面弯曲梁单元位移函数选取的要求【典型例题】5.4.3(5) 平面3节点三角形单元的二次位移函数的选择与分析【基本原理】5.5(1) C0型单元的位移函数连续性【基本原理】5.5(2) C1型单元的位移函数连续性【基本原理】5.6.1(1) 有限元位移结果的下限性质【基本原理】5.6.1(2) 有限元模型的刚化性【典型例题】5.6.1(3) 基于网格加密的求解精度估计【基本原理】5.6.2(1) 共用节点上应力的直接平均【基本原理】5.6.2(2) 共用节点应力的加权平均【单元构造】5.7.1(1) 1D高阶单元：二次杆单元【单元构造】5.7.1(2) 1D高阶单元：高次梁单元【基本原理】5.7.2(1) (面积)自然坐标【单元构造】5.7.2(2) 2D高阶单元：6节点三角形二次单元【单元构造】5.7.2(3) 2D高阶单元：矩形高阶Lagrange型单元【单元构造】5.7.3(1) 3D高阶单元：10节点四面体二次单元【单元构造】5.7.3(2) 3D高阶单元：20节点正六面体高阶单元【基本原理】5.8(1) 提高计算精度的h方法(h-version或h-method)【基本原理】5.8(2) 提高计算精度的p方法(p-version或p-method)第6章【MATLAB程序】6.1.2(1) 平面问题有限元分析的通用程序FEM2D.m 【MATLAB算例】6.2(1) 受均匀载荷方形板的有限元分析(FEM2D.m) 【ANSYS算例】6.2(2) 受均匀载荷方形板的有限元分析【ANSYS程序】6.3(1) ANSYS前后处理器与自主程序的衔接【ANSYS算例】6.4.2(1) 8万吨模锻液压机主牌坊的分析(GUI)【ANSYS算例】6.4.2(2) 8万吨模锻液压机主牌坊的参数化建模与分析(命令流) 第7章【基本变量】7.1.1(1) 结构振动的三大类变量【基本方程】7.1.1(2) 结构振动的三大类方程及边界/初始条件【求解原理】7.1.1(3) 结构振动求解的虚功原理【单元构造】7.1.2(1) 结构振动分析的单元构造的基本表达式【单元构造】7.1.3(1) 杆单元的质量矩阵【单元构造】7.1.3(2) 梁单元的质量矩阵【单元构造】7.1.3(3) 平面三节点三角形单元的质量矩阵【ANSYS算例】7.2(1) 汽车悬挂系统的振动模态分析(GUI)【ANSYS算例】7.2(2) 汽车悬挂系统的振动模态分析(命令流) 【ANSYS算例】7.3(1) 带有张拉的绳索的振动模态分析(GUI) 【ANSYS算例】7.3(2) 带有张拉的绳索的振动模态分析(命令流) 【ANSYS算例】7.4(1) 机翼模型的振动模态分析(GUI)【ANSYS算例】7.4(2) 机翼模型的振动模态分析(命令流)第8章【基本方程】8.1.1(1) 传热过程的基本变量及方程【求解原理】8.1.1(2) 传热过程分析的求解原理(求极值问题)【单元构造】8.1.2(1) 稳态传热过程的单元构造基本表达式【单元构造】8.1.2(2) 平面3节点三角形传热单元【基本方程】8.1.3(1) 热应力问题中的物理方程【求解原理】8.1.3(2) 热应力问题求解的虚功原理【单元构造】8.1.3(3) 热应力问题分析的单元构造的基本表达式【ANSYS算例】8.2(1) 2D矩形板的稳态热对流的自适应分析(GUI) 【ANSYS算例】8.2(2) 2D矩形板的稳态热对流的自适应分析(命令流) 【ANSYS算例】8.3(1) 金属材料凝固过程的瞬态传热分析(GUI) 【ANSYS算例】8.3(2) 金属材料凝固过程的瞬态传热分析(命令流) 【ANSYS算例】8.4(1) 升温条件下杆件支撑结构的热应力分析(GUI) 【ANSYS算例】8.4(2) 升温条件下杆件支撑结构的热应力分析(命令流) 第9章【基本原理】9.1.1(1) 材料的弹塑性行为实验【基本原理】9.1.1(2) 材料塑性行为的三方面准则【单元构造】9.1.2(1) 基于全量理论的单元构造的基本表达式【单元构造】9.1.3(1) 基于增量理论的单元构造的基本表达式【求解原理】9.1.4(1) Newton-Raphson（N-R）迭代法的原理【ANSYS算例】9.2(1) 三杆结构塑性卸载后的残余应力计算(GUI) 【ANSYS算例】9.2(2) 三杆结构塑性卸载后的残余应力计算(命令流) 【ANSYS算例】9.3(1) 悬臂梁在循环加载作用下的弹塑性计算(GUI) 【ANSYS算例】9.3(2) 悬臂梁在循环加载作用下的弹塑性计算(命令流)第1章绪论1.1 概况有限元方法(finite element method)或有限元分析(finite element analysis)[1][2]，是求取复杂微分方程近似解的一种非常有效的工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。