最值问题最值问题是考试的热点问题，经久不衰，种类繁多。

接下来就对常见的类型进行分类讲解 两个基本原理：①两点之间，线段最短；②点和直线的连线中，垂线段最短类型一：将军饮马问题（两定一动和最小），这是最常见也是最简单的一类动点，经过了多年的发展现在有了各种变式，难度也有所提高。

例1、如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．A BCDMN分析：本题是经典的两点一动问题，首先完成作图，找到点M 的位置。

首先确定两定点（B 、N ）和动点所在直线（AD ）。

易得点B 关于AD 的对称点即为点C ，接下来连接CN 即可确定点M 的位置。

BM+MN 的最小值即为CN 。

最后就是求CN 长度了，考虑到等边三角形60°角的特殊性，构造直角三角形必可解。

从点N 作BC 或AC 垂线均可。

小结：两定一动是本地区的最值问题的高频考法，难度不大，遇到此类问题首先要找出两定点动点所在的直线。

下一步就是构图运算了。

1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( )E AFCDBA ．3B ．4C ．33D ．23例2、如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足13PAB ABCD S S∆=矩形，则点P到A、B两点距离之和P A+PB的最小值为()D CBAPA．213B．210C ．35D．41分析：此题也属于两定一动问题，但问题是直线在哪？如何作对称点？从面积关系切入。

可得△PAB中AB边上的高为2，故点P在与AB平行且距AB距离为2的线段上运动。

线已显形，下面就是将军饮马问题了。

3、如图，矩形ABCD中，4AB=，6BC=，点P是矩形ABCD内一动点，且∆∆=PAB PCDS S，则PC PD+的最小值为_____．例3、如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（）A．0 B．4 C．6 D．8分析：初看此题，似乎与最值无关。

实则不然，仔细分析发现仍是典型的将军饮马问题，不妨先求出PE+PF的最小值，然后再比较最小值与9的关系，从而得出答案。

类型二、两定一动线段之差最大例4、（47中期考）如图，抛物线y＝x2-2x-3与y 轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，AM 最大时，点M的坐标是（）点M是对称轴上的一个动点，连接AM，BM，当BMA．（1，4）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（1，﹣6）总结：两定一动问题，无论是线段之和最小还是线段之差最大，都是三点共线时。

和最小，动点在两定点之间；差最大，动点在两定点之外。

4、如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则P A﹣PB的最大值为（）A．12cm B．8cm C．6cm D．2cm定长动线段四边形周长最小（平移后再将军饮马）例5、如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，①若连结AP、PE，则PE+AP最小值为；②连结P A、QE，若PQ＝6，当CQ＝时，四边形APQE的周长最小．分析：第①问将军饮马，不再赘述，同学们自行完成。

下面就第二问做详细分析。

首先把目光聚集在A、P、E、Q这四点。

A、E两点固定，则AE长度定，而PQ虽为动点，但其长度为定值。

要使得四边形APQE周长最小，只需AP+EQ最小。

去掉多余的干扰后，就类似将军饮马问题了。

5、如图已知点A（3，4），点B（﹣1，1）．在x轴上另取两点E，F，且EF＝1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．两动一定例6、如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( )AB ．2 C．D ．4分析：本题有两个动点，由于BD 是角平分线，所以点N 关于直线BD 的对称点必在AB 上。

之前学习过了角平分线的处理策略。

选择在BA 上截取BE=BN ，连接EM ，得全等，EM=MN 。

此时就把折线转化到BD 两侧，由三边关系可知，CM+MN≥CE 。

但是由于题目中的点N 是动点，所以对称点E 也是动点，还要进一步寻求CE 的最小值。

由垂线段最短可得，当CE ⊥AB 时，CE 最短，计算就比较容易了。

总结：两动一定，方法和两定一动类似，可把同侧的动点看做定点转化到直线的两侧。

然后利用直＜折的思想，由于转化的点，是个“假”的定点，再利用垂线段最短，即垂＜斜。

6、如图，在菱形ABCD 中，AC =BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( )A ．6B ．C ．D ．4.5一定两动（定点在角内部，两动点在角两边），常以三角形周长最小的形式出现。

例7、如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．P OBAMNEPDCBAMNMDCBA利用勾股定理间接求最值例8、如图，在圆O 中，弦AB ＝4，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 做CD ⊥OC 交圆O 于点D ，则CD 的最大值为（ ）分析：注意到∠OCD=90°，不妨连接OD ，构造直角三角形。

由勾股定理可得CD=OC OD 22，OD 为圆的半径为定值，要OD最大，则需OC 最小，由垂线段最短可得，当OC ⊥AB 时，OC 最小，此时B ，D 重合，由垂径定理得CD=2。

总结：本题由于C 、D 均动，直接去研究CD 最值不易，通过勾股定理，把研究对象转移为OC ，这种转化的思想在解决数学问题很重要。

7、如图，在圆O 中，半径OA=1，∠BAO=60°，点C 是AB 上的一动点，连接OC ，作OC ⊥CD 交圆O 于点D ，当CD 取得最大值时，△OBC 的面积为_________ 。

例9、如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P 为直线y ＝﹣x +3上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是 ．分析：由切线的性质，可把图中的“假”P当定点看待，作图分析。

在Rt△APQ中，由勾股定理可知，当AP最小时，PQ最小。

此时AP⊥一次函数。

“真”P已找到，图形确定。

最后要思考的就是如何求PQ的长度呢？一次函数必有蹊跷，求出与坐标轴的两个交点，观察线段和角度，不难发现题目中有一对全等的三角形，问题得解。

总结：此题以圆的切线为背景，考察最值，同样是通过勾股定理去转化为另一边的最值问题，确定点P、Q位置。

然后巧妙的通过一次函数与坐标轴所围成的直角三角形全等解决问题。

这个坐标三角形是一个三边均可确定的直角三角形，经常用于相似、或全等。

之后的解题要引起重视。

两定两动（常以四边形周长最小的形式出现）例10、如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ 的面积是．8、如图，直线y＝5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象交x轴于另一点B．若点H（2，9）为二次函数图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．隐圆+将军饮马例11、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，现有长为3的小木棒EF紧贴AD、DC边滑动（即EF的两个端点始终落在AD、DC边上），G为EF的中点，P为BC边上一动点，则P A+PG的最小值为．分析：隐圆问题上一次课已经讲过，此题易得点G的轨迹为以D为圆心，半径为1.5的一段圆弧，可先把点P当作定点处理一箭穿心时PG最小，而AP可通过对称转换为PA'，那么PA+PG的值等价于PA'+PG的值，再用直＜折，可得A'、P 、D三点共线最小。

1．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，P，Q分别是直线AB，AD上的两个动点，点E 在边CD上，DE＝2，将△DEQ沿EQ翻折得到△FEQ，连接PF，PC，则PF+PC的最小值为（）A．6﹣2 B．8 C．10 D．8﹣2课后练习：1、如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( )PDCBAA ．4B ．5C ．6D ．72、如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( )A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0,2)D ．10(0,)33、如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )H FGEDCB AA．B． C． D．4、如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ．NMPOBAxy5、如图，在Rt △AOB 中，OA ＝OB ＝4．⊙O 的半径为2，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则线段PQ 长的最小值为 ．6、如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP =3，若点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )ABMOPNA ．36B ．33C ．6D ．37、如图，点A （a ，1）、B （﹣1，b ）都在双曲线y ＝﹣上，点P 、Q 分别是x 轴、y 轴上的动点，当四边形P ABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是（ ）A ．y ＝xB ．y ＝x +1C ．y ＝x +2D ．y ＝x +3y C l x B A 1x =8、如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．9、抛物线的解析式为223y x x =-++，交x 轴与A 与B,交y 轴于C ，⑴在其对称轴上是否存在一点P ，使△APC 周长最小，若存在，求其坐标。