培优冲刺03 几何最值类问题综合本考点是中考五星高频考点，难度中等偏上，在全国很多地市的中考试卷中多有考查。

（2022年柳州中考试卷第18题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为．【分析】连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH ⊥CD于H，利用SAS证明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再说明△DGC≌△DMH （AAS），得CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：方法一：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，∵∠EDF＝∠GDM，∴∠EDG＝∠FDM，∵DE＝DF，DG＝DM，∴△EDG≌△MDF（SAS），∴MF＝EG＝2，∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，∴△DGC≌△MDH（AAS），∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，∴CM＝＝2，∵CF≥CM﹣MF，∴CF的最小值为2﹣2，方法二：连接AG、AE，由方法一同理得，AE＝CF，AG＝2，∵AE≥AG﹣EG＝2﹣2，∴AE的最小值为2﹣2，∴CF的最小值为2﹣2，故答案为：2﹣2．点评：本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，做辅助线构造全等三角形是解题的关键。

初中数学中，几何最值问题属于难度较大的一类题，问题环境可以是三角形、四边形、圆或者反比例函数、二次函数。

而常用到的最值原理则有：两点之间线段最短（三点共线）、点到直线的距离垂线段最短、圆和圆外定点的最值原理等。

这类题的原理虽然较为固定，但对学生的逻辑思维能力要求较高，综合型较强。

本考点是中考五星高频考点，难度较大，个别还会以压轴题出现，在全国多地市的中考试卷中多有考查。

几何最值问题基本原理1.定点到定点——两点之间，线段最短；数学定理联系：①三角形两边之和＞第三边故三点共线时PA＋PB的值最小=AB②首尾相连的两折图、三折图也是当三点（或四点）共线时有最小值2. 定点到定线——点线之间，垂线段最短；数学定理联系：①两平行线间的距离处处相等故平行线之间，垂线段最短②圆上一点到圆外定直线上一点中，垂线段最短（如图：则PH即为圆O上的点到直线L的最小值;QH为最大值）3.定点到定圆——点圆之间，点心线截距最短（长）数学定理联系：圆和圆外定点的最值问题（如图：则AP最小值=OA-r；AP最大值=OA+r）【中考真题练】1．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4B．6C．2D．32．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△P AB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（）A．B．C．3D．OPHQ3．（2022•泰安）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（）A．B．C．﹣D．﹣24．（2022•南京）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB 是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q5．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24B．22C．20D．186．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A．B．2C．2D．47．（2022•宜宾）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则＝；④在△ABC内存在唯一一点P，使得P A+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④8．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF∥BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA＝4，OC＝2，∠AOC＝45°，EP＝3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（）A．4＜m＜3+B．3﹣＜m＜4C．2﹣＜m＜3D．4＜m＜4+9．（2022•毕节市）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接P A，以P A，PC为邻边作平行四边形P AQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为．10．（2022•青海）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为cm．11．（2022•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O 在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为．12．（2022•广州）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为．13．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是．14．（2022•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝，FB+FD的最小值为．15．（2022•黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE 的最小值是．16．（2022•阜新）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF ＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；（2）直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．17．（2022•镇江）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上．（1）如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH＝AB；（2）如图2，已知AE＝AH，CF＝CG，当AE、CF的大小有关系时，四边形EFGH是矩形；（3）如图3，AE＝DG，EG、FH相交于点O，OE：OF＝4：5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为20，当△OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．【中考模拟练】1．（2023•西乡塘区校级模拟）如图，在边长为的4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（）A．B．C．D．2．（2023·蚌埠二模）如图，M为Rt△ABC斜边AB上的中点，等腰△MBD的底边BD与AC交于点P，若∠A＝30°，则的最小值为（）A．1B．C．2D．33．（2023•梁溪区一模）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝150°，∠DCB＝60°，DC＝CB．若AB＝4，则AC的最大值是（）A．B．C．D．4．（2023•合肥模拟）动点P在等边△ABC的边AC上，AB＝2，连接PB，AD⊥PB于D，以AD为一边作等边△ADE，ED的延长线交BC于F，当EF取最大值时，PB的长为（）A．2B．C．D．5．（2022•播州区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上滑动，点B在第一象限，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，连接OB，则线段OB长度的最大值为（）A．B．C．D．66．（2023春•河东区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D 是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．5B．3.6C．2.4D．4.87．（2023春•硚口区期中）如图，已知点A（0，8），B（0，﹣2），E（0，5），F（﹣5，0），C为直线EF上一动点，则▱ACBD的对角线CD的最小值是（）A．B．4C．5D．8．（2023•黄埔区一模）△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，动点D在边BC上运动．以A为直角顶点，在AD右侧作等腰直角三角形△ADE（如图）．M为DE 中点，N为BC三等分点，，连接MN，则线段MN的最小值为．9．（2023•长丰县二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，M，N分别是BC，CD上的动点，连接AM，BN交于点E，且∠BND＝∠AMC．（1）∠AEB＝．（2）连接CE，则CE的最小值为．10．（2023春•通州区期中）如图，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，BP为边在AB 的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，点M，N分别是AC，BE的中点．若AB＝12，∠DAP＝60°，则线段MN的最小值为．11．（2023•临朐县一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A（2，m）与点B（4，2）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使得AP+BP最小，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．12．（2023•鄞州区一模）如图1，有一块边角料ABCDE，其中AB，BC，DE，EA是线段，曲线CD可以看成反比例函数图象的一部分．小宁想利用这块边角料截取一个面积最大的矩形MNQP，其中M，N在AE上（点M在点N左侧），点P在线段BC上，点Q在曲线CD上．测量发现：∠A＝∠E＝90°，AE＝5，AB＝DE＝1，点C到AB，AE所在直线的距离分别为2，4．（1）小宁尝试建立坐标系来解决该问题，通过思考，他把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为（﹣1，0）；点B的坐标为（﹣1，1）．请你在图2中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE；（2）求直线BC，曲线CD的解析式；（3）求矩形MNQP的最大面积．13．（2023春•思明区校级期中）已知O为坐标原点，A，B分别在y轴、x轴正半轴上，D 是x轴正半轴上一动点，AD＝DE，∠ADE＝α，矩形AOBC的周长为24且AC＝2BC．（1）如图1，当α＝90°时．直线CE交x轴于点F，求证：F为OB中点；（2）如图2，当α＝60°时，若D是OB中点，求E点坐标；（3）如图3，当α＝120°时，Q是AE的中点，求D点运动过程中BQ的最小值．14．（2023春•思明区校级期中）已知四边形OABC是正方形．（1）如图1，△ADE为等腰直角三角形，∠DAE＝90°，两个顶点D、E和正方形顶点B三点在一条直线上，连接OD，求证：△OAD≌△BAE；（2）在第（1）题条件下，如图2，连接CD，求证：；（3）若正方形OABC边长为4，F为OC所在直线上一动点，连接AF，G为AF中点，连接CG，以CG为直角边，∠CGK为直角，如图3构造等腰Rt△CGK，连接AK，当F 在运动时，求线段AK的最小值．。