三角恒等变换一、基础知识1、两角和与差的余弦cos(α＋β)＝ cos(α－β)＝ 两角和与差的正弦sin(α＋β)＝ sin(α－β)＝ 两角和与差的正切tan(α＋β)＝ tan(α－β)＝ (α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2，k ∈Z )同角基本公式： ；；2、辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中⎩⎪⎨⎪⎧cos φ＝ ，sin φ＝ ，tan φ＝ba，角φ称为辅助角．3、二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝_____________；(2)cos2α＝_____________＝________________＝______________； (3)tan 2α＝_______________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2)．4、半角的正弦、余弦、正切公式=αsin ________________; =αcos ______________=________________=_____________=αtan ________________5、公式的逆向变换及有关变形（1）sin αcos α＝______________⇒cos α＝sin 2α2sin α；（2）降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝__________________； （3）升幂公式：1＋cos α＝____________，1－cos α＝________________； （4）1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝_________________. （5） |2cos2sin|sin 1ααα+=+， |2c o s 2s i n |s i n 1ααα-=-二、例题练习三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．考点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 例1、已知1312cos -=θ，)23,(ππθ∈，求)4tan(πθ-的值.变式1、已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12. (1)求tan α的值； (2)求sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)的值．考点2、辅助角公式例3、化简（1）x x cos 53sin 153+ （2）x x cos sin - （3）)4cos(46)4sin(x x -+-ππ42考点3二倍角与半角 例4、（1）求125cos12cosππ的值. （2）已知135sin =α，),2(ππα∈，求α2sin 、α2cos 、α2tan变式2、若,53)4cos(=-απ则=α2sin ________________;例5、函数x x y 2sin cos 22+=的最小值是_____________;变式1、求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值．三、综合练习 例1、求值（1）︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2；例2、若51)cos(=+βα，53)cos(=-βα，则=βαtan tan _________.例3、已知6πβα=+，且α、β满足0tan 3tan 2)tan (tan 3=+++βαβαa ，则αt a n 等于________;例4、已知sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin 2α＋tan α－1tan α－1的值．例5、已知函数f (x )＝ 4cos 4x －2cos 2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫－11π12的值； (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．例6、对任意R y x ∈,,)42cos()42sin(2cos sin ππ-++-=+y x yx y x 恒成立，则=2413cos 247sinππ______________课堂练习1.求下列各式的值：（1）︒︒+︒︒55cos 10cos 35cos 80cos ； （2）12cos 312sin ππ-；（3）12cos12sin ππ+；2.已知2tan =x ，则=-)4(2tan πx （ ）A.34B.34-C.43D.43-3.函数x x y cos sin +=图象的一条对称轴方程是 （ ）A ．x ＝5π4B ．x ＝3π4C ．x ＝－π4D ．x ＝－π24.若0sin )cos(cos )sin(=+-+ββαββα，则=-++)2sin()2sin(βαβα（ ） A.1 B.-1 C.0 D.1±5.已知α是第三象限角，且2524sin -=α，则2tan α等于（ ）.A.43-B.43C.34D.34-6.已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于 ( )A.13 B ．－13 C.16 D ．－167.=⋅+αααα2cos cos 2cos 12sin 22（ ） A.αtan B.α2tan C.1 D.21检测题1.52)tan(=+βα，41)5tan(=-πβ，那么)5tan(πα+的值为_________.2.在ABC ∆中，若B A B A cos cos sin sin <，则这个三角形是________三角形.3.函数x x x f 2sin cos 2)(2+=的最小值是_________.4.设sin α＝35)(παπ<<2 ，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)＝________.5.已知53)3cos(-=+απ，135)32sin(=-βπ，且πβπα<<<<20，则)cos(αβ-的值为_______.6.=︒-︒80sin 310sin 1_________.7、已知函数21)cos (sin cos )(-+=x x x x f . (1)若20πα<<，且22sin =α，求)(αf 的值； (2)求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间.课堂提升1.若31)6sin(=-απ，则)3cos(απ+的值为（ ） A.31- B.31C.322D.322-2.已知534sin )3sin(-=++απα，则)32cos(πα+等于( ) A ．－45B ．－35C.35D.453．已知tan(α＋β)＝25，41)4tan(=-πβ，那么)4tan(πα+等于 （ ）A.1318B.1322C.322D.164．若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则)12(πf 的值为 ( )A ．－433B ．8C ．4 3D ．－4 35.33cos sin =+αα，则=α2cos ( ) A.35- B.95- C.±95 D.±356.)40sin(5)10cos(3)(︒--︒-=x x x f 的最大值是（ ） A.211 B.213C.7D.8 7.若),2(ππα∈，且412cos sin 2=+αα，则αtan 的值等于（ ） A. -3 B.33C. 3D.±38.已知)4,0(,πβα∈，412tan 12tan2=-αα，且)2sin(sin 3βαβ+=，则=+βα（ ） A.6π B.4π C.3π D.125π9．已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α、β∈),(22ππ-，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________．10．若)4sin(2cos παα-＝－22，则cos α＋sin α的值为___11.设α为锐角，若54)6cos(=+πα，则)122sin(πα+的值为________．12.若),2(ππθ∈，且)4sin(2cos 3θπθ-=，则=θ2sin _______．13.21)2sin(cos cos sin 3)(-+-=x x x x x f π(1)求f (x )的最小正周期； (2)当]2,0[π∈x 时，求函数f (x )的最大值和最小值．检测题1.已知函数)2cos()sin()(θθ+++=x a x x f ，其中R ∈α，)2,2(ππθ-∈. （1）若2=a ，4πθ=时，求f (x )在区间],0[π上的最大值与最小值；（2）若0)2(=πf ，1)(=πf ，求α、θ的值.2.设函数f (x )= ，x ∈R 。

（1）已知 ∈[0,2 )，函数f ( )是偶函数，求 的值； （2）求函数y=[ f (x +)]2+[ f (x +)]2的值域。

3.已知角 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （）.（1）求 的值； （2）若角 满足 =，求 的值。

4.已知函数f (x )=（1）求f ()的值；（2）求f (x )的最小正周期及单调递增区间。