第20讲：简单的三角恒等变换【学习目标】1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧；3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化；4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力；5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．【要点梳理】要点一：升（降）幂缩（扩）角公式升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= 要点诠释：利用二倍角公式的等价变形：21cos 2sin 2αα-=，21cos 2cos 2αα+=进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．要点二：辅助角公式1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形：sin cos a x b x +x x ⎫⎪⎭令cos ϕϕ==sin cos a x b x +)sin cos cos sin x x ϕϕ+)x ϕ+（其中ϕ角所在象限由,a b 的符号确定，ϕ角的值由tan ba ϕ=确定，或由sin ϕ=和cos ϕ=2．辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式sin cos a x b x +=)x ϕ+（或sin cos a x b x +=)αϕ-），将形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）收缩为一)x ϕ+)αϕ-）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．【典型例题】类型一：利用公式对三角函数式进行证明例1．求证：αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+= 【思路点拨】观察式子的结构形式，寻找式子中α与2α之间的关系发现，利用二倍角公式即可证明． 【证明】方法一：2tan 2cos2sin2cos 22cos2sin2cos 1sin 2αααααααα===+ 2tan 2cos2sin2cos2sin22sin 2sin cos 12αααααααα===- 方法二：sin sin2cossin 222tan 21cos coscos 2cos222ααααααααα⋅===+⋅ sin sin2sin1cos 222tan2sin coscos 2sin 222ααααααααα⋅-===⋅ 【总结升华】代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换；对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点． 举一反三：【变式1】求证：2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α 【证明】2222sin cos2tan222sin 2sincos22sin cos 1tan 222ααααααααα===++22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222ααααααααα--=-==++ 2222sincos2tansin 222tan cos cos sin 1tan 222ααααααααα===--． 例2．求证：（1）1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++- (2)cos cos 2coscos22x y x yx y +-+= 【思路点拨】（1）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加即得左边．（2）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加，然后观察所得式子与要证明的式子之间的区别，最后令,x y αβαβ+=-=即可得证． 【证明】（1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- ① 又cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ②∴①+②得1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-结论得证．（2）cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- ① 又cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ②∴①+②得1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-令,x y αβαβ+=-=，则,22x y x yαβ+-== []1cos cos cos cos 222x y x y x y +-∴=+cos cos 2cos cos 22x y x yx y +-∴+=结论得证．【总结升华】当和、积互化时，角度重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值．正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段．举一反三：【变式1】求证：sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+= 【证明】sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- 上面两式相加得：sin()sin()2sin cos αβαβαβ++-= 令,αβθαβϕ+=-=，则,22θϕθϕαβ+-==∴sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=结论得证． 【变式2】求证：32sin tantan 22cos cos 2x x xx x-=+． 【思路点拨】 从消除恒等式左、右两边的差异入手，将右边的角x ，2x 凑成32x ，2x的形式，注意到322x x x =-，3222x xx =+，于是 【证明】右边32sin 2sin 2233cos cos 2cos cos 2222x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3332sin cos cos sin sin 322222tan tan 3222cos cos cos 222xx x x xx x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-=左边． ∴等式成立．【总结升华】解答中右边分母拆角的目的是利用和（差）角公式．证明（化简）的本质上是一个寻找差异、消除差异、追求和谐的过程，应从消除差异入手．类型二：利用公式对三角函数式进行化简例3． 已知322πθπ<<【思路点拨】根据化简的基本思想，本题需消去根式，联想到恒等式21sin sin cos 22θθθ⎛⎫±=± ⎪⎝⎭，于是利用此公式先化简．【解析】原式sincossincos2222θθθθ=+--，∵322πθπ<<，∴342πθπ<<，∴0sin 22θ<<，1cos 22θ-<<-， 从而sincos022θθ+<，sincos022θθ->，∴原式sin cos sin cos 2sin 22222θθθθθ⎛⎫⎛⎫=-+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结升华】从局部看（即每个式子本身）上述解法是唯一解法，但从整体看两个根号里面的式子相加得2，相乘得cos 2θ，因此可以“先平方暂时去掉根号”．注意到322πθπ<<，则sin 0θ<，cos 0θ>，设x =，则x ＜0，则2222cos x θ=-=-=-，又342πθπ<<，故sin 02θ>，从而2sin2x θ==-．举一反三：【变式13,22αππ⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【解析】∵3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos α＞0cos α=，∴原式=3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 02α>，sin 2α=． 即原式=sin2α．类型三：利用公式进行三角函数式的求值例4．（2015春 湖南衡阳期末）已知1sin(3)4πθ+=， （1）求2cos θ的值； （2）求cos()cos(2)cos [cos()1]cos(2)cos()cos()πθθπθπθθππθθ+-++-+++-的值．【答案】（1）1516；（2）32 【解析】由已知1sin(3)4πθ+=，所以1sin 4θ=-，（1）22115cos 1sin 11616θθ=-=-=；（2）cos()cos(2)cos [cos()1]cos(2)cos()cos()πθθπθπθθππθθ+-++-+++-cos cos cos (cos 1)cos (cos )cos θθθθθθθ-=+---+11cos 1cos 1θθ=++-+21cos 1cos 22321(1cos )(1cos )sin 16θθθθθ-++====+-． 举一反三：【变式1】已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x ，y 为锐角，则sin(x ＋y )的值是( )A ．1B ．－1C. 13D. 12【答案】A【解析】∵sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，两式相加得：sin x ＋cos x ＝sin y ＋cos y ，∴sin2x ＝sin2y .又∵x 、y 均为锐角，∴2x ＝π－2y ，∴x ＋y ＝2π，∴sin(x ＋y )＝1.【变式2】（2016 江苏模拟）已知角α终边逆时针旋转6π与单位圆交于点(1010，且2tan()5αβ+=． （1）求sin(2)6πα+的值，（2）求tan(2)3πβ-的值．【答案】（1；（2）17144【解析】（1）角α终边逆时针旋转6π与单位圆交于点()1010，可得sin())610610ππαα+=+=3sin(2)2sin()cos()236610105πππααα+=++=⨯⨯=，24cos(2)2135πα+=⨯-=．sin(2)sin(2)sin(2)cos sin cos(2)6363663πππππππαααα+=+-=+-+341552=-⨯= （2）∵2tan()5αβ+=， ∴22222tan()205tan(22)21tan ()211()5αβαβαβ⨯++===-+-． 343sin(2),cos(2),tan(2)353534πππααα+=+=+=．tan(22)tan(2)(2)]33ππαβαβ+=++-3(tan 2)20433211tan(2)43πβπβ+-==-⨯- 解得17tan(2)3144πβ-=．类型四：三角恒等变换的综合应用例5．求函数sin cos sin cos y x x x x =+-；3[,]44x ∈ππ的值域【思路点拨】设sin cos x x t +=，则21sin cos 2t x x -=，然后把y 转化为关于t 的二次函数，利用配方法求y 的最值．【解析】 设3sin cos ,,44x x t x ππ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦2())224t x x x π∴=+=+ 又344x ππ≤≤，24x πππ∴≤+≤，t ⎡∴∈⎣ 又212sin cos x x t +=，21sin cos 2t x x -∴=则22111222t y t t t -=-=-++=21(1)12t --+当0t =时，min 12y =当1t =时，max 1y =1,12y ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦【总结升华】本题给出了sin cos ,sin cos θθθθ+-及sin cos θθ三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了22sin cos 1θθ+=这个隐含条件． 举一反三：【变式1】（2015 安徽模拟）已知函数2()cos sin cos ()f x a x x x x R =-∈的图象经过点1(,)82M π，其中常数a ∈R ． （1）求a 的值及函数f （x ）的最小正周期T ；（2）当3[,]84x ππ∈时，求函数f （x ）的最值及相应的x 值．【思路点拨】首先利用正弦和余弦的倍角公式化简三角函数为一个三角函数名称的形式然后求周期及最值．【答案】（1）π；（2）当24x ππ+=，即38x π=时，min 1()2f x =；当7244x ππ+=，即34x π=时，max ()1f x =【解析】（1）cos 2111()sin 2cos 2sin 222222x a af x a x x x +=-=-+由函数f （x ）的图象经过点1(,)82M π知道1()82f π=，即11cos sin 242422a a ππ-+=，解得a =1．∴1111()cos 2sin 2)222242f x x x x π=-+=++， ∴22T ππ==． （2）当3[,]84x ππ∈时，72[,]424x πππ+∈，∴当24x ππ+=，即38x π=时，min ()f x =；当7244x ππ+=，即34x π=时，max ()1f x =．【巩固练习】1．sin15cos15的值是（ ）A.14B.122．已知x ∈(－2π,0),4cos 5x =，则tan 2x 等于( ) A.724B.724- C.724 D.247-3．若4cos()5πα-=，α是第二象限角，则sin()3πα+等于（ ）A.35B. 35-4．若3π2π<<2σ--( )A.sin2σB.cos2σC.sin2σ- D.cos2σ-5．23sin 702cos 10-=-( )A.12B.2 C ．6．（2015 乌鲁木齐模拟）若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．（2，4）B ．（－∞，2]C ．（－∞，4]D ．[4，+∞）7．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线2x π=对称8．（2017 河南安阳模拟）已知当x=θ时，函数f （x ）=2sinx －cosx 取得最大值，则sin2θ=（ ）A ．45B ．35C ．35-D ．45-9．已知1sin ,3x =则sin 2()4x π-= ．10．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan()4πα+等于 ．11．已知1sin cos 3αβ+=，1sin cos 2βα-=，则sin()αβ-=________．12．（2015秋 上海普陀区月考）函数222sin y x ω=-的最小正周期为π，则实数ω的值为________．13．（2017 东城区月考）已知－π＜x ＜0，1sin cos 5x x +=．（1）求sinx －cosx 的值；（2）求223sin 2sin cos cos 22221tan tan x x x x x x-++的值． 14．已知tan α＝－13，cos(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f(x)sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．15．（2015秋甘肃期中）已知函数2())2sin ()612f x x x ππ=---．（1）求函数f （x ）的周期及增区间；（2）若123x ππ-≤≤，求函数f （x ）的值域．【答案与解析】 1．【答案】A 2．【答案】D 【解析】∵ x ∈(2π-，0) 又∵ 4cos 5x = ∴ 3sin 5x =-∴ 3tan 4x =- ∴ 22tan 24tan 21tan 7x x x ==--. 故选D.巧思妙解析：解法一：由题设得3sin 5x =-则sin 2x =2×(－53)×54=－2524cos2x =2472()1525⨯-= 故sin 224tan 2cos 27x x x ==-. 解法二：由题设得247cos 22()1525x =⨯-= 又∵ 20x π-<<∴ 202x π-<<∴ tan 20x < 又2221576tan 2sec 211cos 249x x x =-=-= ∴ 24tan 27x =-. 3．【答案】C4．【答案】D===∵ 322ππσ-<<-，∴ 324σππ-<<-，∴ cos 02σ< ∴ 原式cos2σ=- 5．【答案】C 【解析】原式3sin 7062sin 7021cos 203sin 7022--===+--，故选C. 6．【答案】B 【解析】∵由2()cos 2sin 2sin sin 1f x x a x x a x =+=-++， 令sin t x =，则原函数化为221y t at =-++．∵ (,)62x ππ∈时()f x 为减函数， 则221y t at =-++在1(,1)2t ∈上为减函数， ∵ 221y t at =-++的图象开口向下，且对称轴方程为4a t =， ∴142a ≤，解得：a ≤2． ∴a 的取值范围是（－∞，2]，故答案为：（－∞，2]．故选：B ．7．【答案】D【解析】因为sin 2cos 222442y x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，对称轴为2x=k π，即()2k x k Z π=∈． 8．【答案】D【解析】函数()2sin cos ()f x x x x α=-=+取得最大值，此时x=θ，其中，cosαα==， ∴22k πθαπ+=+，k ∈Z ，即22k πθπα=+-， 那么：sin sin(2)cos2k πθπαα=+-==cos cos(2)sin2k πθπαα=+-==∴4sin 22sin cos 25θθθ===-． 故选D ． 9．【答案】79【解析】sin 2()4x π-=27sin(2)cos 212sin 29x x x π-==-=． 10．【答案】17【解析】因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以43cos ,tan 54αα=-=-，tan()4πα+=1tan 1tan αα+=-17． 11．【答案】5972- 【解析】因为2211(sin cos )(sin cos )94αββα++-=+， 所以13112sin cos 2cos sin 36αβαβ++-=， 592sin()36αβ-=-，所以59sin()72αβ-=-． 12．【答案】±1 【解析】函数21cos 21322sin 2cos 2222x y x x ωωω-=-=-=+，函数222sin y x ω=-的最小正周期为π， 可得，2|2|ππω=，解得实数ω=±1． 故答案为：±1．13．【答案】（1）75-；（2）108125- 【解析】（1）∵－π＜x ＜0，1sin cos 5x x +=，∴112sin cos 25x x +=， ∴242sin cos 25x x =-，故x 为第四象限象，sinx ＜0，cosx ＞0，∴7sin cos 5x x -===-． （2）由（1）可得71sin cos ,sin cos 55x x x x -=-+=， ∴343sin ,cos ,tan 554x x x =-==-， 221cos 1cos 3sin 2sin cos cos 3sin 22222211tan tan tan tan x x x x x x x x x x x-+-+⋅-+=++ 4322cos sin 10855133125tan tan 44x x x x -+--===-+-- 14．【解析】(1)由cos β＝5，β∈(0，π)， 得sin β＝5，tan β＝2， 所以tan(α＋β)＝tan tan 1tan tan αβαβ+-＝1. (2)因为tan α＝－13，α∈(0，π)， 所以sin αcos α， f (x )sin xxxxx ，所以f (x )15．【答案】（1）T =π，[,44k k ππππ-++]，k ∈Z ；（2）{y ｜－2≤y ≤1}【解析】（1）∵2())2sin ()612f x x x ππ=---)cos(2)166x x ππ=-+--1)cos(2)]12626x x ππ=-+-- 2sin 21x =-∴T =π ∵22222k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ．∴解得：44k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ． ∴增区间为[,44k k ππππ-++]，k ∈Z ．（2）∵123x ππ-≤≤， ∴2263x ππ-≤≤，∴－2≤y ≤1，∴值域为{y ｜－2≤y ≤1}．。