二次微分方程的通解 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 方程ypyqy 0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC 1y 1C 2y 2就是它的通解我们看看 能否适当选取r 使ye rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将ye rx 代入方程ypyqy 0得(r 2prq )e rx 0由此可见 只要r 满足代数方程r 2prq 0 函数ye rx 就是微分方程的解特征方程 方程r 2prq 0叫做微分方程ypyqy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式求出特征方程的根与通解的关系(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解这是因为函数x r e y 11=、x r ey 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=(2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解这是因为 x r e y 11=是方程的解 又0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r所以xr xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为x r x r xe C e C y 1121+=(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数ye (i )x 、ye (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数ye x cos x 、ye x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得y 1e (i )x e x (cos xi sin x )y 2e (i )x e x (cos xi sin x )y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x )(21sin 21y y ix e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解因此方程的通解为ye x (C 1cos xC 2sin x )求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy 0的通解的步骤为第一步 写出微分方程的特征方程r 2prq 0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解例1 求微分方程y 2y 3y 0的通解解 所给微分方程的特征方程为r 22r 30 即(r 1)(r 3)0其根r 11 r 23是两个不相等的实根 因此所求通解为yC 1e x C 2e 3x例2 求方程y 2yy 0满足初始条件y |x 04、y | x 02的特解解 所给方程的特征方程为r 22r 10 即(r 1)20其根r 1r 21是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为y (C 1C 2x )e x将条件y|x04代入通解得C14 从而y(4C2x)e x将上式对x求导得y(C24C2x)e x再把条件y|x02代入上式得C22 于是所求特解为x(42x)e x例 3 求微分方程y2y5y 0的通解解所给方程的特征方程为r22r50特征方程的根为r112i r212i是一对共轭复根因此所求通解为ye x(C1cos2xC2sin2x)n阶常系数齐次线性微分方程方程y(n) p1y(n1)p2 y(n2) p n1yp n y0称为n阶常系数齐次线性微分方程其中p1p2 p n1p n都是常数二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去引入微分算子D 及微分算子的n次多项式L(D)=D n p1D n1p2 D n2 p n1D p n则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n p1D n1p2 D n2 p n1D p n)y0或L(D)y0注 D叫做微分算子D0yy D yy D2yy D3yy D n yy(n)分析令ye rx则L(D)yL(D)e rx(r n p1r n1p2 r n2 p n1rp n)e rx L(r)e rx因此如果r是多项式L(r)的根则ye rx是微分方程L(D)y0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)r n p1r n1p2 r n2 p n1rp n0称为微分方程L(D)y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应单实根r对应于一项Ce rx一对单复根r12i对应于两项e x(C1cos xC2sin x)k重实根r对应于k项e rx(C1C2x C k x k1)一对k重复根r12i 对应于2k项e x[(C1C2x C k x k1)cos x( D1D2x D k x k1)sin x]例4 求方程y (4)2y 5y 0 的通解解 这里的特征方程为r 42r 35r 20 即r 2(r 22r 5)0它的根是r 1r 20和r 3 412i因此所给微分方程的通解为yC 1C 2xe x (C 3cos2xC 4sin2x )例5 求方程y (4) 4y 0的通解 其中0解 这里的特征方程为r 4 40 它的根为)1(22,1i r ±=β )1(24,3i r ±-=β因此所给微分方程的通解为 )2sin 2cos (212x C x C e y x βββ+=)2sin 2cos (432 x C x C e x βββ++-二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程 方程ypyqyf (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p 、q 是常数二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yY (x )与非齐次方程本身的一个特解yy *(x )之和yY (x ) y *(x )当f (x )为两种特殊形式时 方程的特解的求法一、 f (x )P m (x )e x 型当f (x )P m (x )e x 时 可以猜想 方程的特解也应具有这种形式 因此 设特解形式为y *Q (x )e x 将其代入方程 得等式Q (x )(2p )Q (x )(2pq )Q (x )P m (x )(1)如果不是特征方程r 2prq 0 的根 则2pq 0 要使上式成立 Q (x )应设为m 次多项式 Q m (x )b 0x m b 1x m 1 b m 1xb m通过比较等式两边同次项系数 可确定b 0 b 1 b m 并得所求特解y *Q m (x )e x(2)如果是特征方程 r 2prq 0 的单根 则2pq 0 但2p 0 要使等式Q (x )(2p )Q (x )(2pq )Q (x )P m (x )成立 Q (x )应设为m 1 次多项式Q (x )xQ m (x )Q m (x )b 0x m b 1x m 1 b m 1xb m通过比较等式两边同次项系数 可确定b 0 b 1 b m 并得所求特解 y *xQ m (x )e x(3)如果是特征方程 r 2prq 0的二重根 则2pq 0 2p 0 要使等式 Q (x )(2p )Q (x )(2pq )Q (x )P m (x )成立 Q (x )应设为m 2次多项式Q (x )x 2Q m (x )Q m (x )b 0x m b 1x m 1 b m 1xb m通过比较等式两边同次项系数 可确定b 0 b 1 b m 并得所求特解 y *x 2Q m (x )e x综上所述 我们有如下结论 如果f (x )P m (x )e x 则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqy f (x )有形如y *x k Q m (x )e x的特解 其中Q m (x )是与P m (x )同次的多项式 而k 按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2例1 求微分方程y 2y 3y 3x 1的一个特解解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数f (x )是P m (x )e x 型(其中P m (x )3x 1 0) 与所给方程对应的齐次方程为y 2y 3y 0它的特征方程为r 22r 30由于这里0不是特征方程的根 所以应设特解为y *b 0xb 1把它代入所给方程 得3b 0x 2b 03b 13x 1比较两端x 同次幂的系数 得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b 3b 03 2b 03b 11 由此求得b 01 311=b 于是求得所给方程的一个特解为 31*+-=x y 例2 求微分方程y 5y 6yxe 2x 的通解解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f (x )是P m (x )e x 型(其中P m (x )x 2) 与所给方程对应的齐次方程为y 5y 6y 0它的特征方程为r 25r 60特征方程有两个实根r 12 r 23 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 YC 1e 2x C 2e 3x由于2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为y *x (b 0xb 1)e 2x把它代入所给方程 得2b 0x 2b 0b 1x比较两端x 同次幂的系数 得⎩⎨⎧=-=-0212100b b b 2b 01 2b 0b 10 由此求得210-=b b 11 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*--= 从而所给方程的通解为 x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+= 提示y *x (b 0xb 1)e 2x (b 0x 2b 1x )e 2x[(b 0x 2b 1x )e 2x ][(2b 0xb 1)(b 0x 2b 1x )2]e 2x[(b 0x 2b 1x )e 2x ][2b 02(2b 0xb 1)2(b 0x 2b 1x )22]e 2xy *5y *6y *[(b 0x 2b 1x )e 2x ]5[(b 0x 2b 1x )e 2x ]6[(b 0x 2b 1x )e 2x ][2b 02(2b 0xb 1)2(b 0x 2b 1x )22]e 2x 5[(2b 0xb 1)(b 0x 2b 1x )2]e 2x 6(b 0x 2b 1x )e 2x[2b 04(2b 0xb 1)5(2b 0xb 1)]e 2x [2b 0x 2b 0b 1]e 2x方程ypyqye x [P l (x )cos xP n (x )sin x ]的特解形式应用欧拉公式可得e x [P l (x )cos xP n (x )sin x ] x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++= 其中)(21)(i P P x P n l -= )(21)(i P P x P nl += 而m max{l n } 设方程ypyqyP (x )e (i )x 的特解为y 1*x k Q m (x )e (i )x 则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解其中k 按i 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1 于是方程ypyqye x [P l (x )cos xP n (x )sin x ]的特解为x k e x [R (1)m (x )cos xR (2)m (x )sin x ]综上所述 我们有如下结论如果f (x )e x [P l (x )cos xP n (x )sin x ] 则二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyf (x )的特解可设为y *x k e x [R (1)m (x )cos xR (2)m (x )sin x ]其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式 m max{l n } 而k 按i (或i )不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1例3 求微分方程yyx cos2x 的一个特解解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程且f (x )属于e x [P l (x )cos xP n (x )sin x ]型(其中0 2 P l (x )x P n (x )0） 与所给方程对应的齐次方程为yy 0它的特征方程为r 210由于这里i 2i 不是特征方程的根 所以应设特解为y *(axb )cos2x (cxd )sin2x把它代入所给方程 得(3ax 3b 4c )cos2x (3cx 3d 4a )sin2xx cos2x比较两端同类项的系数 得 31-=a b 0 c 0 94=d 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+-= 提示y *(axb )cos2x (cxd )sin2xy *a cos2x 2(axb )sin2xc sin2x 2(cxd )cos2x(2cxa 2d )cos2x (2ax 2bc )sin2xy *2c cos2x 2(2cxa 2d )sin2x 2a sin2x 2(2ax 2bc )cos2x(4ax 4b 4c )cos2x (4cx 4a 4d )sin2xy * y *(3ax 3b 4c )cos2x (3cx 4a 3d )sin2x由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a 得31-=a b 0 c 0 94=d。