第二章 函数一．函数1、函数的概念：（1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则（3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)2、定义域：（1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值范围。
（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。
（3）确定函数定义域的常见方法：①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数xy 111+=的定义域。
③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1． 求函数 ()2143432-+--=x x xy 的定义域。
例2． 求函数()02112++-=x x y 的定义域。
④对数函数的真数必须大于零⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10≠=x x⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2x f 的定义域 已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域3、值域 :（1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）（4）确定函数值域的常见方法：①直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
例：求函数1y =的值域。
0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
②配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
例：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。
解：2242(2)6y x x x =-++=--+，∵[1,1]x ∈-，∴2[3,1]x -∈--，∴21(2)9x ≤-≤ ∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。
③分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
例：求函数125xy x -=+的值域。
解：∵177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++， ∵72025x ≠+，∴12y ≠-，∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-。
④换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。
例：求函数2y x =+解：令t =0t ≥），则212t x -=，∴22151()24y t t t =-++=--+ ∵当12t =，即38x =时，max 54y =，无最小值。
∴函数2y x =+5(,]4-∞。
⑤判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a x b x c y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
例：求函数2231x x y x x -+=-+的值域。
解：由2231x x y x x -+=-+变形得2(1)(1)30y x y x y ---+-=，当1y =时，此方程无解；当1y ≠时，∵x R ∈，∴2(1)4(1)(3)0y y y ∆=----≥， 解得1113y ≤≤，又1y ≠，∴1113y <≤ ∴函数2231x x y x x -+=-+的值域为11{|1}3y y <≤值域为{|11}y y -≤<练习：求函数22221x x y x x -+=++的值域4、函数的表示方法（1）解析法、列表法、图象法 （2）求函数解析式的常见方法：①换元法例：已知34)13(+=+x x f , 求)(x f 的解析式. 例：若xxx f -=1)1(,求)(x f .例：已知23,f x =- 求)(x f .②解方程组法例：设函数)(x f 满足)(x f +2 f （x1）= x （x ≠0），求)(x f 函数解析式. 一变：若()f x 是定义在R 上的函数，(0)1f =，并且对于任意实数,x y ，总有2()()(21),f x f x y x y y+=+++求()f x 。
（令x=0，y=2x ）③待定系数法例：已知)(x f 是一次函数，并且34)]([+=x x f f 求)(x f 解：设b kx x f +=)(，则34)()()]([2+=++=++=+=x b kb x k b b kx k b x kf x f f则⎩⎨⎧=+=342b kb k ，解得⎩⎨⎧==12b k 或⎩⎨⎧-=-=32b k故所求一次函数解析式12)(+=x x f 或32)(--=x x f④配变量法例：已知221)1(xx xx f +=-, 求)(x f 的解析式. 例：若x x x f 2)1(+=+,求)(x f . ⑤特殊值代入法（取特殊值法）例：若)()()(y f x f y x f ⋅=+,且2)1(=f ，求值)2004()2005()3()4()2()3()1()2(f f f f f f f f ++++ . 例：设)(x f 是R 上的函数，且满足1)0(=f 并且对任意实数y x ,有 )12()()(+--=-y x y x f y x f 求)(x f 的表达式 解：设y x =则1)12()()0(=+--=x x x x f f 即1)(2++=x x x f或设0=x 则)1(1)1()0()(+--=+--=-y y y y f y f 1)1(1)(2++=++=x x x x x f ⑥利用给定的特性（奇偶性周期性）求解析式.例：对x ∈R, )(x f 满足)1()(+-=x f x f ,且当x ∈[－1,0]时,x x x f 2)(2+=求当x ∈[9,10]时)(x f 的表达式.解析：)1()(+-=x f x f ，则)()1(x f x f -=-则)2()(),1()1(+=+=-x f x f x f x f ，T=25、分段函数(1)定义：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数。
(2)注意：分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集； 分段函数是一个函数，而不是几个函数； 写分段函数定义域时，区间端点不重不漏。
6、复合函数如果)(),(),(),(A x x g u M u u f y ∈=∈=则),(),()]([A x x F x g f y ∈== 称为f 、g 的复合函数。
7、函数图象问题（1）熟悉各种基本初等函数的图象 如：0=y ，)(为常数c c y =，x y =，x y 1=，xy 1-=，2x y = （2）图象变换平移：个单位长度向右平移)0()(>=a a x f y )(a x f y -= 个单位长度向上平移)0()(>=b b x f y b x f y +=)( 对称：轴对称关于x x f y )(=)(-x f y = 轴对称关于y )(x f y =)(x f y -= 关于原点对称)(x f y =)(-x f y -= 翻折：)(,)(x f y x f y ==注意：带绝对值的函数去绝对值方法有分情况讨论法，平方法，图象法***********************************课堂习题********************************* 1.求下列函数的定义域：⑴y⑵y =2.设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _3.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是4.函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x =5.求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈(3)y x =y二．函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增减函数和单调区间设函数)(x f y =的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 称为)(x f y =的单调增区间.如果对于区间D 上的任意两个自变量的值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f 在这个区间上是减函数.区间D 称为)(x f y =的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质； （2）图象的特点如果函数)(x f y =在某个区间是增函数或减函数，那么说函数)(x f y =在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.（3）函数单调区间与单调性的判定方法（重点）(A) 定义法：○1 任取21,x x ∈D ，且21x x <； ○2 作差)()(21x f x f -； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差)()(21x f x f -的正负）； ○5 下结论（指出函数)(x f 在给定的区间D 上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性复合函数)]([x g f 的单调性与构成它的函数)(x g u =，)(u f y =的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.例：是否存在实数a 使函数)(log )(2x ax x f y a -==在闭区间]4,2[上是增函数？如果存在，说明a 可取哪些值；如果不存在，说明理由。