练习题
高二一部数学组 刘苏文 2017年5月2日
一、选择题
1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( )
A ．双曲线
B ．一条直线
C ．一条线段
D ．两条射线
2．已知方程x 21＋k －y 2
1－k
＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．－1<k <1 B ．k >0 C ．k ≥0 D ．k >1或k <－1
3．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )
A ．双曲线的一支
B ．圆
C ．抛物线
D ．双曲线
4．以椭圆x 23＋y 24
＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是 A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1 D.y 23－x 24
＝1 5．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|
＝2，则该双曲线的方程是( )
A.x 22－y 23＝1
B.x 23－y 22＝1
C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24
＝1 7．椭圆x 24＋y 2m 2＝1与双曲线x 2m 2－y 22
＝1有相同的焦点，则m 的值是( ) A ．±1 B ．1 C ．－1 D ．不存在
8．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )
A.x 29－y 27＝1
B.x 29－y 27
＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27
＝1(x >0) 9．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2
的周长是( )
A ．16
B ．18
C ．21
D ．26
10．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b
＝1(a >0，b >0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )
A ．m －a
B ．m －b
C ．m 2－a 2 D.m －b
二、填空题
11．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________．
12．过双曲线x 23－y 24
＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．
13．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22
＝1的焦点相同，那么a ＝________.
14．一动圆过定点A (－4,0)，且与定圆B ：(x －4)2＋y 2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
三、解答题
15．设双曲线与椭圆x 227＋y 236
＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．
16．已知双曲线
x 2－y 22
＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，求点M 到x 轴的距离．
答案及详解
1、D
2、A 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.
3、A 设动圆半径为r ，圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，
由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．
4、B 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－x 23
＝1. 5、C ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0.
6、C ∵c ＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，
∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1.
7、A 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1，对椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3.
对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点．
直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2.∴m 2＝1，即m ＝±1.
8、D 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：
x 29－y 27
＝1(x >0) 9、D |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，
∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.
10、A 设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，
由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a .∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a . 11、x 273－y 2
75
＝1 12、833
∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7，该弦所在直线方程为x ＝7， 由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝7x 23－y 24
＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 13、1 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 14、 x 24－y 2
12
＝1(x ≤－2) 设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得|PB |－|P A |＝4<|AB |＝8， 由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．
其方程为：x 24－y 2
12
＝1(x ≤－2)． 15、椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
又点A (x 0,4)在椭圆x 227＋y 236＝1上，∴x 20＝15，又点A 在双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1上，∴16a 2－15b 2＝1， 又a 2＋b 2＝c 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5，所求的双曲线方程为：y 24－x 25＝1. 16、解法一：
设M (x M ，y M )，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，MF 1→＝(－3－x M ，－y M )，MF 2→＝(3－x M ，－y M )
∵MF 1→·MF 2→＝0，∴(－3－x M )·(3－x M )＋y 2M ＝0，
又M (x M ，y M )在双曲线x 2－y 22＝1上，∴x 2M －y 2M 2
＝1， 解⎩
⎪⎨⎪⎧ (－3－x M )(3－x M )＋y 2M ＝1x 2M －y 2M 2＝1得y M ＝±233， ∴M 到x 轴的距离是|y M |＝233. 解法二：连结OM ，设M (x M ，y M )，∵MF 1→·MF 2→＝0，
∴∠F 1MF 2＝90°，∴|OM |＝12
|F 1F 2|＝3， ∴x 2M ＋y 2M ＝3① 又x 2M －y 2M 2
＝1② 由①②解得y M ＝±233， ∴M 到x 轴的距离是|y M |＝233
.。