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(完整word版)双曲线及其标准方程详解

2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程【课标要求】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题.【核心扫描】1.用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程.(重点)2.与双曲线定义有关的应用问题.(难点)自学导引1.双曲线的定义把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.试一试:在双曲线的定义中,必须要求“常数小于|F1F2|”,那么“常数等于|F1F2|”,“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时,动点的轨迹是什么?提示(1)若“常数等于|F1F2|”时,此时动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线F1A,F2B(包括端点),如图所示.(2)若“常数大于|F 1F 2|”,此时动点轨迹不存在.(3)若“常数为0”,此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线. 想一想:如何判断方程x a 2-y b 2=1(a >0,b >0)和y a 2-x b 2=1(a >0,b >0)所表示双曲线的焦点的位置?提示 如果x 2项的系数是正的,那么焦点在x 轴上,如果y 2项的系数是正的,那么焦点在y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于b ,因此,不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.名师点睛1.对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ,当2a <|F 1F 2|时,其轨迹是双曲线;当2a =|F 1F 2|时,其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点);当2a >|F 1F 2|时,其轨迹不存在.(2)距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支.若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点,且点P 满足|PF 1|-|PF 2|=2a ,则点P 在右支上;若点P 满足|PF 2|-|PF 1|=2a ,则点P 在左支上.(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|-|PF 2|=2a (0<2a <|F 1F 2|).(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离.”2.双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上,并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程.(2)标准方程中的两个参数a 和b ,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b 2=c 2-a 2,与椭圆中b 2=a 2-c 2相区别,且椭圆中a >b >0,而双曲线中a 、b 大小则不确定.(3)焦点F 1、F 2的位置,是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x 2项的系数为正,则焦点在x 轴上;若y 2项的系数为正,那么焦点在y 轴上.(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时,如不能确定焦点的位置,可设双曲线的标准方程为Ax 2+By 2=1(AB <0)或进行分类讨论.题型一 求双曲线的标准方程【例1】 根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3,154,Q ⎝⎛⎭⎫-163,5; (2)c =6,经过点(-5,2),焦点在x 轴上.[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置,可设x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)和y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0)两种情况,分别求解.另外也可以设双曲线方程为mx 2+ny 2=1(mn <0)或x 2m +y 2n=1(mn <0),直接代入两点坐标求解.对于(2)可设其方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)或x 2λ-y 26-λ=1(0<λ<6).解 (1)法一 若焦点在x 轴上,设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),由于点P ⎝⎛⎭⎫3,154和Q ⎝⎛⎭⎫-163,5在双曲线上, 所以⎩⎨⎧9a 2-22516b 2=1,2569a 2-25b 2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=-16,b 2=-9(舍去).若焦点在y 轴上,设双曲线的方程为y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0),将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2-9b 2=1,25a 2-2569b 2=1,解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=9,b 2=16,所以双曲线的标准方程为y 29-x 216=1.法二 设双曲线方程为x 2m +y 2n=1(mn <0).∵P 、Q 两点在双曲线上,∴⎩⎨⎧9m +22516n=1,2569m +25n =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-16,n =9.∴所求双曲线的标准方程为y 29-x 216=1.(2)法一 依题意,可设双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0).依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2=6,25a 2-4b 2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=5,b 2=1,∴所求双曲线的标准方程为x 25-y 2=1.法二 ∵焦点在x 轴上,c =6,∴设所求双曲线方程为x 2λ-y 26-λ=1(其中0<λ<6).∵双曲线经过点(-5,2), ∴25λ-46-λ=1,∴λ=5或λ=30(舍去). ∴所求双曲线的标准方程是x 25-y 2=1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式,然后用待定系数法求出a ,b 的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂,注意到双曲线过两定点,可设其方程为mx 2+ny 2=1(mn <0),通过解方程组即可确定m 、n ,避免了讨论,实为一种好方法.【变式1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)a =3,c =4,焦点在x 轴上;(2)焦点为(0,-6),(0,6),经过点A (-5,6). 解 (1)由题设知,a =3,c =4,由c 2=a 2+b 2,得b 2=c 2-a 2=42-32=7.因为双曲线的焦点在x 轴上,所以所求双曲线的标准方程为x 29-x 27=1.(2)由已知得c =6,且焦点在y 轴上.因为点A (-5,6)在双曲线上,所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ,即2a =|(-5-0)2+(6+6)2-(-5-0)2+(6-6)2|=|13-5|=8,则a =4,b 2=c 2-a 2=62-42=20.因此,所求双曲线的标准方程是y 216-x 220=1.2.若椭圆x 2m +y 2n =1(m >n >0)和双曲线x 2a -y 2b=1(a >0,b >0)有相同的焦点,P 是两曲线的一个交点,则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A .m -aB .m -bC .m 2-a 2D .m -bA 解析:设点P 为双曲线右支上的点,由椭圆定义得|PF 1|+|PF 2|=2m . 由双曲线定义得|PF 1|-|PF 2|=2a .∴|PF 1|=m +a ,|PF 2|=m -a . ∴|PF 1|·|PF 2|=m -a .题型二 双曲线定义的应用【例2】如图,若F 1,F 2是双曲线x 29-y 216=1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16,求点M 到另一个焦点的距离; (2)若P 是双曲线左支上的点,且|PF 1|·|PF 2|=32,试求△F 1PF 2的面积.[思路探索] (1)由双曲线的定义,得||MF 1|-|MF 2||=2a ,则点M 到另一焦点的距离易得; (2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积.解 双曲线的标准方程为x 29-y 216=1,故a =3,b =4,c =a 2+b 2=5.(1)由双曲线的定义,得||MF 1|-|MF 2||=2a =6,又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16,假设点M 到另一个焦点的距离等于x ,则|16-x |=6,解得x =10或x =22.故点M 到另一个焦点的距离为6 或22.(2)将||PF 2|-|PF 1||=2a =6,两边平方,得 |PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=36, ∴|PF 1|2+|PF 2|2=36+2|PF 1|·|PF 2|= 36+2×32=100.在△F 1PF 2中,由余弦定理,得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|=100-1002|PF 1|·|PF 2|=0,∴∠F 1PF 2=90°, ∴S △F 1PF 2=12|PF 1|·|PF 2|=12×32=16.规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、纵坐标,则根据两点间距离公式可求结果;若已知该点到另一焦点的距离,则根据||PF 1|-|PF 2||=2a 求解,注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去,且所求距离应该不小于c -a ).(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,首先要注意定义中的条件||PF 1|-|PF 2||=2a 的应用;其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算,在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.【变式2】1.已知双曲线的方程是x 216-y 28=1,点P 在双曲线上,且到其中一个焦点F 1的距离为10,点N 是PF 1的中点,求|ON |的大小(O 为坐标原点).1.解:连接ON ,ON 是△PF 1F 2的中位线,所以|ON |=12|PF 2|.因为||PF 1|-|PF 2||=8,|PF 1|=10,所以|PF 2|=2或18,|ON |=12|PF 2|=1或9.2.设P 为双曲线x 216-y 29=1上一点,F 1,F 2是该双曲线的两个焦点,若∠F 1PF 2=60°,求△PF 1F 2的面积.解:由方程x 216-y 29=1,得a =4,b =3,故c =16+9=5,所以|F 1F 2|=2c =10.又由双曲线的定义,得||PF 1|-|PF 2||=8,两边平方,得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=64.①在△PF 1F 2中,由余弦定理,得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|cos 60°, 即|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1||PF 2|=100.② ①-②,得|PF 1||PF 2|=36,所以12PF F S =12|PF 1||PF 2|sin 60°=12×36×32=93.3.已知双曲线x 29-y 216=1的左、右焦点分别是F 1、F 2,若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2=60°,求△F 1PF 2的面积.解 由x 29-y 216=1,得a =3,b =4,c =5.由定义和余弦定理,得|PF 1|-|PF 2|=±6, |F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|cos 60°, 所以102=(|PF 1|-|PF 2|)2+|PF 1|·|PF 2|, 所以|PF 1|·|PF 2|=64,∴S △F 1PF 2=12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2=12×64×32=16 3.误区警示 忽略双曲线焦点位置致误【示例】 方程x 22-m +y 2|m |-3=1表示双曲线,那么m 的取值范围是________.[错解] 由⎩⎪⎨⎪⎧2-m >0,|m |-3<0解得-3<m <2,∴m 的取值范围是{m |-3<m <2}.只考虑焦点在x 轴上,忽视了焦点在y轴上的情况.[正解] 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2-m >0|m |-3<0或⎩⎪⎨⎪⎧2-m <0,|m |-3>0,解得-3<m <2或m >3.∴m 的取值范围是{m |-3<m <2或m >3}. 答案 {m |-3<m <2或m >3}方程x 2m +y 2n=1既可以表示椭圆又可以表示双曲线.当方程表示椭圆时,m 、n 应满足m >n >0或n >m >0,当m >n >0时,方程表示焦点在x 轴上的椭圆;当n >m >0时,方程表示焦点在y 轴上的椭圆.当方程表示双曲线时,m 、n 应满足mn <0,当m >0,n <0时,方程表示焦点在x 轴上的双曲线;当m <0,n >0时,方程表示焦点在y 轴上的双曲线.当堂检测1.平面内有两个定点F 1(-5,0)和F 2(5,0),动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=6,则动点P 的轨迹方程是( )A .22=1169x y -(x ≤-4) B .22=1916x y -(x ≤-3) C .22=1169x y -(x ≥4) D .22=1916x y -(x ≥3) 答案:D 解析:由已知动点P 的轨迹是以F 1,F 2为焦点的双曲线的右支,且a =3,c=5,b 2=c 2-a 2=16,∴所求轨迹方程为22=1916x y-(x ≥3). 2.已知双曲线为22=12x y λ+,则此双曲线的焦距为( ) AB.CD.答案:D 解析:由已知λ<0,a 2=2,b 2=-λ,c 2=2-λ,∴焦距2c =3.已知双曲线22=1169x y -上的点P 到(5,0)的距离为15,则点P 到点(-5,0)的距离为( ) A .7 B .23 C .5或25 D .7或23 答案:D 解析:设F 1(-5,0),F 2(5,0), 则由双曲线的定义知:||PF 1|-|PF 2||=2a =8,而|PF 2|=15,解得|PF 1|=7或23.4.在平面直角坐标系xOy 中,已知△ABC 的顶点A (-6,0)和C (6,0),顶点B 在双曲线22=12511x y -的左支上,则sin sin sin A C B-=______. 答案:56解析:如图,||||sin sin ||||210522||sin ||21262BC AB A C BC AB a R R AC B AC c R---=====.5.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线22=1412x y-上一点M的横坐标为3,则点M到此双曲线的右焦点的距离为__________.答案:4解析:设右焦点为F,则点F的坐标为(4,0).把x=3代入双曲线方程得y=±15,即M点的坐标为(3,±15).由两点间距离公式得|MF|=(3-4)2+(±15-0)2=4.。

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