2015年10月浙江省普通高中学业水平考试数学试题一、选择题 （本大题共18小题，每小题3分，共54分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1. 函数()f x =A.（－∞，0）B.[0，+∞）C. [2，+∞）D. （－∞，2）2. 下列数列中，构成等比数列的是A.2，3，4，5，B.1，－2，－4，8C.0，1，2，4D.16，－8，4，－23. 任给△ABC ，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列等式成立的是A.c 2=a 2+b 2+2abcosCB. c 2=a 2+b 2－2abcosCC. c 2=a 2+b 2+2absinCD. c 2=a 2+b 2－2absinC4. 如图，某简单组合体由一个圆锥和一个圆柱组成，则该组合体三视图的俯视图为5. 要得到余弦曲线y=cosx ，只需将正弦曲线y=sinx 向左平移A.2π个单位 B.3π个单位 C.4π个单位 D.6π个单位 6. 在平面直角坐标系中，过点(0，1)且倾斜角为45°的直线不．经过A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7. 已知平面向量a =(1，x)，b =(y ，1)。

若a ∥b ，则实数x ，y 一定满足A.xy －1=0B. xy+1=0C.x －y=0D.x+y=08. 已知{a n }(n ∈N *)是以1为首项，2为公差的等差数列。

设S n 是{a n }的前n 项和，且S n =25，则n=A.3B.4C.5D.69. 设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F 。

若F 到直线p=A.2B.410. 在空间直角坐标系Oxyz中，若y轴上点M到两点P(1，0，2)，Q(1，－3，1)的距离相等，则点M的坐标为A.(0，1，0)B. (0，－1，0)C. (0，0，3)D. (0，0，－3)11. 若实数x，y满足220,20,(1)1,yx yx y-≥-≤⎨⎪-+≤⎩则y的最大值为A. B.1D.4 512. 设a>0，且a≠1，则“a>1”是“log a 12<1”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点。

设AM与平面BB1D1D的交点为O，则A. 三点D1，O，B共线，且OB=2OD1B. 三点D1，O，B不共线，且OB=2OD1C. 三点D1，O，B共线，且OB=OD1D. 三点D1，O，B不共线，且OB=OD1（第13题图）14. 设正实数a，b满足a+λb=2（其中λ为正常数）。

若ab的最大值为3，则λ=A.3B.32C .23D.1315. 在空间中，设l，m为两条不同直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是A.若l⊂α，m不平行于l，则m不平行于αB.若l⊂α，m⊂β，且α，β不平行，则l，m不平行C. 若l⊂α，m不垂直于l，则m不垂直于αD. 若l⊂α，m⊂β，l不垂直于m，则α，β不垂直16. 设a，b，c∈R，下列命题正确的是A.若|a|<|b|，则|a+c|<|b+c|B. 若|a|<|b|，则|a－c|<|b－c|C. 若|a|<|b－c|，则|a |<|b|－|c|D. 若|a|<|b－c|，则|a|－|c|<|b|17. 已知F 1，F 2分别是双曲线22221(,0)y x a b a b-=>的左、右焦点， l 1，l 2为双曲线的两条渐近线。

设过点M(b ，0)且平行于l 1的直线交l 2于点P 。

若PF 1⊥PF 2，则该双曲线的离心率为D.（第17题图）18. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F 。

现将△ABD 沿对 角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是A.(,)63ππB. (,]62ππC. (,]32ππD. 2(,)33ππ（第18题图）二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19. 设a ，b 为平面向量。

若a =(1，0)，b =(3，4)，则|a |= ，a ·b = . 20. 设全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，则A 的补集 U A= . 21. 在数列{a n }(n ∈N *)中，设a 1=a 2=1，a 3=2。

若数列1{}n na a +是等差数列，则a 6= . 22. 已知函数f(x)=||2x a x a ++-，g(x)=ax+1，其中a>0。

若f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23.（本题10分）已知函数f(x)=2sinxcosx ，x ∈R . （Ⅰ）求f(4π)的值； （Ⅱ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅲ）求函数g(x)=f(x)+f(x+4π)的最大值。

24. （本题10分）设F1，F2分别是椭圆C：2212x y+=的左、右焦点，过F1且斜率不为零的动直线l与椭圆C交于A，B两点。

（Ⅰ）求△AF1F2的周长；（Ⅱ）若存在直线l，使得直线F2A，AB，F2B与直线x=－12分别交于P，Q，R三个不同的点，且满足P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，求该直线l的方程。

25. （本题11分）已知函数f(x)=ax1111x x+++-，a∈R.（Ⅰ）判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）当a<2时，证明：函数f(x)在(0，1)上单调递减；（Ⅲ）若对任意的x∈(0，1)∪(1，+∞)，不等式(x－1)[f(x)－2x]≥0恒成立，求a的取值范围。

数学试题参考答案一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分）二、填空题19.1，3 20.{4} 21.120 22.0<a<1三、解答题（本大题共3小题，共31分）23.解：（Ⅰ）由题意得f(4π)=2 sin4πcos4π=1（Ⅱ）∵f(x)= sin2x∴函数f(x)的最小正周期为T=π（Ⅲ）∵g(x)= sin2x+ sin(2x+2π)4xπ+∴当,8x kππ=+k∈Z时，函数g(x)24.解：（Ⅰ）因为椭圆的长轴长，焦距2c=2.又由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a所以△AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2（Ⅱ）由题意得l不垂直两坐标轴，故设l的方程为y=k(x+1)(k≠0)于是直线l与直线x=－12交点Q的纵坐标为2Qky=设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，显然x 1，x 2≠1， 所以直线F 2A 的方程为11(1)1y y x x =-- 故直线F 2A 与直线x=－12交点P 的纵坐标为1132(1)Py y x -=-同理，点R 的纵坐标为2232(1)R y y x -=-因为P ，Q ，R 到x 轴的距离依次成等比数列，所以|y P |·|y R |=|y Q |2即2121233||2(1)2(1)4y y k x x --⨯=--即2212129(1)(1)||(1)(1)k x x k x x ++=-- 整理得121212129|()1||()1|x x x x x x x x +++=-++。

（*）联立22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2－2=0 所以x 1+x 2=22412k k -+ ，x 1x 2=222212k k -+代入（*）得222222222242249|1||1|12121212k k k k k k k k----++=-+++++ 化简得|8k 2－1|=9 解得k= 经检验，直线l 的方程为y=±(x+1) 25. （Ⅰ）解：因为f(－x)=－ax 1111x x ++-+--=－( ax 1111x x +++-)=－f(x)又因为f(x)的定义域为{x ∈R |x≠－1且x≠1} 所以函数f(x)为奇函数。

（Ⅱ）证明：任取x 1，x 2∈(0，1)，设x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)=a(x 1－x 2)+ 21211212(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x --+--++=12121211()[](1)(1)(1)(1)x x a x x x x -----++ =121222122(1)()[](1)(1)x x x x a x x +----因为0<x 1<x 2<1，所以2(x 1x 2+1)>2，0<(x 12－1)(x 22－1)<1 所以1222122(1)2(1)(1)x x a x x +>>--所以1222122(1)0(1)(1)x x a x x +-<-- 又因为x 1－x 2<0，所以f(x 1)>f(x 2) 所以函数f(x)在(0，1)上单调递减 （Ⅲ）解：因为(x －1)[f(x)－2x ]=(x －1)[ ax 221x x +-－2x]=2222(1)22(1)(1)ax x x x x x -+--+=22(1)2(1)ax x x x -++所以不等式ax 2(x 2－1)+2≥0对任意的x ∈(0，1)∪(1，+∞)恒成立。

令函数g(t)=at 2－at+2，其中t=x 2，t>0且t≠1. ①当a<0时，抛物线y=g(t)开口向下，不合题意； ②当a=0时，g(t)=2>0恒成立，所以a=0符合题意； ③当a>0时，因为g(t)=a(t －12)2－4a +2所以只需－4a +2≥0 即0<a≤8综上，a 的取值范围是0≤a≤8。