2016年4月浙江省普通高中学业水平考试数学试卷选择题一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1. 已知集合{}1,2A =，{}(1)()0,B x x x a a R =--=∈.若A B =，则a 的值为（ ） A.2 B.1 C.1- D.2- 2. 已知角α的终边经过点(3,4)P ，则sin α=（ ）A.35 B.34 C.45 D.43 3. 函数2()log (1)f x x =-的定义域为（ ）A.(,1)-∞-B.(,1)-∞C.(0,1)D.(1,)+∞ 4. 下列图象中，不可能成为函数()y f x =图象的是（ ）5.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的方程为2y x =+，则一点O 到直线l 的距离是A.1226.tan 20tan 251tan 20tan 25+=-⋅o oo o（ ）C.1-D.17. 如图，某简单组合体由半个球和一个圆台组成，则该几何体的侧视图为（ ）8. 已知圆221:1C x y +=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ）A.内含B.外离C.相交D.相切 9. 对任意的正实数a 及,m n Q ∈，下列运算正确的是（ ） A.()m nm na a+= B.()nm n m a a = C.()m nm na a-= D.()m n mna a=10. 已知空间向量(2,1,5)a =-r ，(4,2,)b x =-r()x R ∈.若a r ⊥b r ，则x =（ ）A.10-B.2-C.2D.1011. 在平面直角坐标系xOy 中，设a R ∈.若不等式组1010y a x y x y ⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≤≥，所表示平面区域的边界为三角形，则a 的取值范围为（ ）A.(1,)+∞B.(0,1)C.(,0)-∞D.(,1)(1,)-∞+∞U12. 已知数列{}*()n a n N ∈满足12,1,n n n a a a +⎧=⎨+⎩n n 为奇数为偶数，设n S 是数列{}n a 的前n 项和.若520S =-，则1a 的值为（ ）A.239-B.2031-C.6-D.2-13. 在空间中，设,,a b c 为三条不同的直线，α为一平面.现有： 命题:p 若a α⊄，b α⊂，且a ∥b ，则a ∥α命题:q 若a α⊂，b α⊂，且c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥α.则下列判断正确的是（ ） A.p ，q 都是真命题 B.p ，q 都是假命题 C.p 是真命题，q 是假命题 D.p 是假命题，q 是真命题14. 设*n N ∈，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 15. 在△ABC 中，已知∠A ＝30°，AB ＝3，BC ＝2，则△ABC 的形状是（ ） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不能确定16. 如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，P 是棱BC 上的动点.记直线A 1P 与平面ABC 所成的角为1θ，与直线BC 所成的角为2θ，则12,θθ的大小关系是（ ）A.12θθ=B.12θθ>C.12θθ<D.不能确定17. 已知平面向量,a b r r 满足3a =r ，12()b e e R λλ=+∈r ur u u r ，其中12,e e u r u u r 为不共线的单位向量.若对符合上述条件的任意向量,a b r r恒有a b -r r ≥3，则12,e e u r u u r 夹角的最小值为（ ） A.6π B. 3πC. 23πD. 56π18. 设函数2()(,)f x ax b a b R x=--∈.若对任意的正实数a 和实数b ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x ≥m ，则实数m 的取值范围是（ ）A.(,0]-∞B.1(,]2-∞ C.(,1]-∞ D.(,2]-∞非选择题二、填空题（本题有四小题，每空3分，共15分） 19. 已知函数()2sin()32f x x π=++，x R ∈，则()f x 的最小正周期是 ，而最小值为_____.20. 设函数()2()xf x a a R =+∈.若函数()f x 的图象过点(3,18)，则a 的值为_______.21. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>.若存在圆心在双曲线的一条渐近线上的圆，与另一条渐近线及x 轴均相切，则双曲线的离心率为 . 22. 将棱长为1的正方体ABCD EFGH -任意平移至11111111A B C D E FG H -，连接GH 1，CB 1.设M ，N 分别为GH 1，CB 1的中点，则MN 的长为 .三、解答题（本大题共3小题，共31分）23.（本题10分）如图，将数列{}*2()n n N ∈依次从左到右，从上到下排成三角形数阵，其中第n 行有n 个数. （Ⅰ）求第5行的第2个数； （Ⅱ）问数32在第几行第几个；（Ⅲ）记第i 行的第j 个数为,i j a （如3,2a 表示第3行第2个数，即3,210a =），求1,12,23,34,45,56,6111111a a a a a a +++++的值.24. (本题10分)已知椭圆2214x y +=，P 是椭圆的上顶点.过P 作 斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B .（Ⅰ）求△PAB 面积的最大值；（Ⅱ）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内 部，求斜率k 的取值范围.25.（本题11分）已知函数11()f x x a x b=---（,a b 为实常数且a b <）. （Ⅰ）当1a =，3b =时，（i ）设()(2)g x f x =+，判断函数()y g x =的奇偶性，并说明理由； （ii ）求证：函数()f x 在[2,3)上是增函数.（Ⅱ）设集合{}(,)()M x y y f x ==，2(,)(),2a b N x y y x R λλ⎧+⎫==-∈⎨⎬⎩⎭.若M N φ=I ， 求λ的取值范围.答案一、选择题1.A2.C3.D4.A5.C6.D7.B8.B9.D 10.C 11.A 12.D 13.C 14.A 15.A 16.C 17.B 18.B 二、填空题19. π2，三、解答题23.解：（Ⅰ）记n a n =2，由数阵可知，第5行的第2个数为a 12，因为n a n =2，所以第5行的第2个数为24.（Ⅱ）因为n a =32，所以n =16.由数阵可知，32在第6行第1个数.（Ⅲ）由数阵可知,,,,,,,,,,,a a a a a a ======1122334455662612203042.所以，,,,,,,...()()...()a a a a a a +++++=+++=-+-++-=-=⨯⨯⨯112233445566111111111111111611122367223677724.解：（Ⅰ）由题意得椭圆的上顶点(),P 01，设点A 为(),x y 00.因为B 是A 关于原点O的对称点，所以点B 为(),x y --00.设PAB ∆的面积为S ，则PAO PB PAO S S S S PO x x ∆∆∆=+==⨯=0001222.因为x -≤≤022，所以当x =±02时，S 有最大值2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()(),,,(,P B x y x --≠000010且)y ≠-01.所以，直线PB 的斜率为y x +001，线段PB 的中点为,x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭00122， 于是PB 的中垂线方程为y x x y x y -⎛⎫-=-+ ⎪+⎝⎭00001212. 令x =0，得N 的纵坐标()N x y y y --=+22000121.又直线l 的方程为y kx =+1，将方程代入x y +=2214并化简得()k x kx ++=221480.由题意，,,k k x y k k -=-=++200228141414 所以，()()()N k k k k k y k k k ----++==--+++222222222814112141414142114.因为点N 在椭圆内部，所以k k-<-<+22121114.解得k <<. 又由已知k ≠0，所以斜率k的取值范围是()(00U . 25.解：（Ⅰ）因为,a b ==13，所以()f x x x =---1113. （ⅰ）所以()()g x f x x x =+=-+-11211. 因为()()g x g x x x x x -=-=-=-+--+-11111111,又因为()g x 的定义域为{|,x x ≠-1且}x ≠1，所以()y g x =是偶函数. （ⅱ）设,[,)x x ∈1223且x x <12，()()()()()()()()()()x x x x f x f x x x x x x x x x -+--=---=--------1212121212112224111113131313 因为,[,)x x ∈1223且x x <12，所以,,()()()()x x x x x x x x -<+->---->1212112204013130综上得()(),f x f x -<120即()()f x f x <12. 所以，函数()f x 在[,)23上是增函数.（Ⅱ）因为M N =∅I ，所以函数()y f x =与()a b y x λ+=-22的图像无公共点， 即方程()a b x x a x b λ+-=---2112无实数解，也即方程()()()(,a b a b x a x b x x a λ+-=---≠22且)x b ≠（﹡）无实数解.①当λ=0时（﹡）无解，显然符合题意. ②当λ≠0时，令()()()a b y x a x b x +=---22， 变形得()[()]()a b a b a b y x x +-+=---222242.又令(),a b t x +=-22得()()()[][]a b a b a b y t t t ---=-=--22424864.于是当()a b t -=28，即a b x +=±2min ()a b y -=-464. 所以，要使（﹡）无实数解，只要(),a ba b λ--<-464，解得()b a λ<<-3640. 综上可得()b a λ≤<-3640.。